1、高一數(shù)學(xué)高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)與三角代換三角函數(shù)與三角代換人教版人教版 【本講教育信息本講教育信息】 一. 教學(xué)內(nèi)容： 三角函數(shù)與三角代換 二. 本周教學(xué)重難點(diǎn)： 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正、余弦定理、三角函數(shù)的應(yīng)用。 【典型例題典型例題】 例 1 已知（）5cossin34cos4)( 2 xxxxfRx （1）求取得最大值時(shí)的集合；)(xfx （2）求的單調(diào)遞增區(qū)間。)(xf 解：解：32cos22sin3252sin32 2 2cos1 4)( xxx x xf 3) 6 2sin(4 x （1）當(dāng)時(shí)，取得最大值，這時(shí)（）1) 6 2sin( x)(xf 2 2 6 2 kxZk （） 3 kx

2、Zk 使取得最大值的的集合為，)(xfx 3 | kxxZk （2）令（） kxk2 26 22 2 Zk （） kxk 36 k 的單調(diào)增區(qū)間為（）)(xf 3 , 6 kkZk 例 2 已知正弦函數(shù)（，）的一部分圖象如圖所示。)sin(xAy0A0 （1）求此函數(shù)的解析式；)( 1 xf （2）求與的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)的函數(shù)解析式)( 1 xf8x)( 2 xf （3）作出函數(shù)的圖象的簡(jiǎn)圖。)()( 21 xfxfy 解：解： （1）設(shè)，由圖象可知，)sin(xAy2A16)26(4 2 T 解得，即， 8 ) 8 sin(2 xy 將，代入得2x2y)2 8 sin(22 即 解得1) 4 s

3、in( 4 ) 48 sin(2)( 1 xxf （2）設(shè)（，）是圖象上的任意點(diǎn)，與它關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（， x y )( 1 xf8xx ） y 則代入中 yy xx16 )( 1 xfy 可得) 4 3 8 sin(2 4 )16( 8 sin2 xxy ) 4 3 8 sin(2)( 2 xxf （3）xxxxfxfy 8 cos2) 4 3 8 sin(2) 48 sin(2)()( 21 簡(jiǎn)圖如圖所示。 O-44 812 2 x y 例 3 已知的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)的值。)(xfxax2cos2sin 6 xa 解法解法 1：將變形為xaxxf2cos2sin)()2sin(1

4、)( 2 xaxf 直線(xiàn)是其一條對(duì)稱(chēng)軸 必是的最大值或最小值 6 x) 6 ( f)(xf 從而，即1| ) 6 (| 2 af 1| ) 3 cos() 3 sin(| 2 aa 解得 3 3 a 解法解法 2： 的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)xaxxfcos2sin)( 6 x 取， 則 0 1 x 3 2 x) 3 ()0( ff 即 解得) 3 2 cos() 3 2 sin(0 aa 3 3 a 例 4 已知，且，試)cos(sin 1 xa)sin(cos 2 xa)1(cos 3 xa)0, 2 1 (x 比較，的大小。 1 a 2 a 3 a 解：解： ) 1, 2 1 (1x), 2 ()

5、1( x0)1(cos 3 xa 又 ，)0, 2 ( x0)cos(sin 1 xa0)sin(cos 2 xa 設(shè)法比較與的大小 1 a 2 a 令，則，于是xt) 4 ,0() 2 1 ,0( t)cos(sin)cossin( 1 tta 由可知，)sin(cos)sincos( 2 tta) 2 ,0( t0sint0cost 且 2 2) 4 sin(2cossin ttt 2 sin 2 cos0 tt 由于正弦函數(shù)在（0，）上是增函數(shù)，故可得 2 ，即)cos(sin)sin 2 sin()sin(cos0ttt 12 aa 綜上可知 123 aaa 例 5 已知，)sin,(

6、cosa)sin,(cosb) 4 , 4 ( 4 ，求的值。 5 3 basin 解：解： ，即 5 3 ba 5 3 sinsincoscosa 5 3 )cos( 又 4 5 3 ) 4 cos( ) 4 , 4 ( )0, 2 ( 4 ， 5 4 ) 4 sin( 從而 4 ) 4 sin(sin 4 sin) 4 cos( 4 cos) 4 sin( 10 2 2 2 5 3 2 2 5 4 例 6 如圖，ABCD 是一塊邊長(zhǎng)為 100m 的正方形地皮，其中 AST 是一半徑為 90m 的扇形 小山，其余部分都是平地，一開(kāi)發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車(chē)場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn) P 在上，相

7、鄰兩邊 CQ、CR 落在正方形的邊 BC、CD 上，求矩形停車(chē)場(chǎng) PQCR 面積的最 ST 大值和最小值。 B Q A M T P C S D R 解：解：設(shè)（） ，延長(zhǎng) RP 交 AB 于 M，則 AM=，MP=PAB900cos90 sin90 PQ=MB= cos90100sin90100MPMRPR )sin90100)(cos90100(PRPQS PQCR矩形 cossin8100)cos(sin900010000 令（）則cossint21 t 2 1 cossin 2 t 2 1 8100900010000 2 t tS PQCR矩形 950) 9 10 (4050 2 t 故

8、當(dāng)時(shí)，的最小值為，當(dāng)時(shí)，的最大值為 9 10 t PQCR S矩形 2 950m2t PQCR S矩形 2 )2900014050(m 例 7 已知，問(wèn)：是否存在滿(mǎn)足)(cos)(coscos)( 222 F 的、，使得 F（）的值不隨的變化而變化？如果存在。求出、0 的值；如果不存在，說(shuō)明理由。 解：解： 2 )22cos(1 2 )22cos(1 2 2cos1 )( F )22cos()22cos(2cos 2 1 2 3 2sin)2sin2(sin 2 1 2cos)2cos2cos1( 2 1 2 3 的值不隨變化的充要條件是，)(F 02sin2sin 02cos2cos1 可得

9、 ，同理12sin)2cos1 ( 22 2 1 2cos 2 1 2cos 又 存在，滿(mǎn)足題意。0 3 3 2 例 8 在中，角 A、B、C 所對(duì)的邊分別為、，且，求ABCabcacb 2 的取值范圍。 BB B y sincos 2sin1 解：解：由條件，利用余弦定理：acb 2 2 1 22 cos 22222 ac acca ac bca B 3 0 B 從而) 4 sin(2cossin sincos )cos(sin sincos 2sin1 2 BBB BB BB BB B y 即 12 7 44 B2) 4 sin(21 B2,1 (y 【模擬試題模擬試題】 一. 選擇： 1

10、. 函數(shù)定義在區(qū)間（ ，） （）內(nèi)，則（ ）xysinttRt A. 有最大值 B. 有最大值或最小值 C. 有最小值D. 可能既無(wú)最大值又無(wú)最小值 2. 設(shè)，若、，且，則下列結(jié)論中，必xxxfsin)( 1 x 2 , 2 2 x)()( 21 xfxf 成立的是（ ） A. B. C. D. 21 xx 0 21 xx 21 xx 2 2 2 1 xx 3. 在（0，）內(nèi)，使成立的取值范圍為（ ）2xxcossinx A. ) 4 5 ,() 2 , 4 ( B. ), 4 ( C. ) 4 5 , 4 ( D. ) 2 3 , 4 5 (), 4 ( 4. 若 A、B、C 是的三個(gè)內(nèi)角，

11、且（） ，則下列結(jié)論中正確的ABCCBA 2 C 是（ ） A. B. CAtantanCAcotcot C. D. CAsinsinCAcoscos 5. 函數(shù)是奇函數(shù)，則等于（ ）)3sin()3cos(3)(xxxf A. B. C. D. k 6 k 3 k 3 k 6. 已知，且，則的值是（ ） 8 3 cossin 24 sincos A. B. C. D. 2 1 2 1 4 1 4 1 7. 函數(shù)的圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它的一條對(duì)稱(chēng)軸可以是（ ）) 6 2sin(3 xy A. 軸 B. 直線(xiàn) C. 直線(xiàn) D. 直線(xiàn)y 6 x 12 x 3 x 8. 有四個(gè)函數(shù)： 其中周期xy 2

12、 sin|sin|xy x x y 2sin 2cos1 |sin xy 為，且在（0，）上為增函數(shù)的是（ ）T 2 A. B. C. D. 二. 填空： 1. 若的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的一個(gè)可取值為 。)3sin(xyy 2. 若的最小正周期為 T，且，則的取值范圍為 。) 6 sin( xy 2 5 , 2 T 3. 函數(shù)的最小正周期為 。 xx xx y 2sin2cos 2sin2cos 4. 在高出地面的小山頂上建造一座電視塔 CD（如圖） ，今在距離 B 點(diǎn) 60m 的地面m30 上取一點(diǎn) A。若測(cè)得 CD 所張的角為，則該電視塔的高度為 m。45 AB C D 三. 解答題： 1.

13、 已知、都是銳角，求的值。 5 4 cos 3 1 )tan(cos 2. 已知半徑為 1，圓心角為的扇形，求一邊在半徑上的扇形的內(nèi)接矩形的最大面積。 3 D A O B C 3. 設(shè)、為銳角，且，問(wèn)是否存在最大值與最小120 22 coscosy 值？如果存在請(qǐng)求出，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 4. 已知外接圓半徑為 6 的的邊長(zhǎng)為、，角 B、C 和面積 S 滿(mǎn)足條件：ABCabc 和。 22 )(cbaS 3 4 sinsinCB （1）求；Asin （2）求面積的最大值。ABC 試題答案試題答案 一. 1. D 2. D 3. C 4. C 5. D 6. B 7. B 8. D 二. 1

14、. 2. 或 3. 4. 150 2 5 4 ,44, 5 4 2 三. 1. 解： 、為銳角， ， 5 4 cos 5 3 sin 4 3 tan 9 13 ) 3 1 ( 4 3 1 ) 3 1 ( 4 3 )tan(tan1 )tan(tan )(tantan 從而 50 109 ) 9 13 (1 1 tan1 1 cos 2 2 2. 解：如圖，設(shè)，則，) 3 0( COBsin|BCcos|OB 又 sin 3 3 3 cot| 3 cot|BCADOA sin 3 3 cos|AB )sin 3 3 (cossin ABCD S矩形 2 2cos1 3 3 2sin 2 1 6 3 ) 6 2sin( 3 3 6 3 2cos 6 3 2sin 2 1 當(dāng)，即時(shí)，1) 6 2sin( 6 6 3 max S D A O B C 3. 解： 2 2cos1 2 2cos1 y)2cos2(cos 2 1 1 )cos( 2 1 1)cos()cos(1 、 )90,0(90900)cos( 即無(wú)最大值，故函數(shù)無(wú)最大值)cos( 22 cosc