1、數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力測試（四）一選擇題: 在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1. 若集合A、B分別表示函數(shù)y=lg(x2-3x-4) 2. 與y=的定義域, 則A 3. B=( )A.x|-1x3 B.x|-7x-1 C.x|x-1D.x| x 42. 下列命題種錯誤的是( )與一個平面相交成等角的兩條直線平行;兩條異面直線在一個平面上的射影一定是兩條相交直線;若平面外的一條直線上有兩個點到平面的距離相等, 則此直線必與平面平行;對于兩條異面直線及它們之外的任一點, 一定存在過該點的一個平面與兩條異面直線都平行.A. B. C. D. 3. 若函數(shù)y=2cos(x2-)的定義域是(

2、0,), 則值域是( )A. (-1, 1) B. C. (-, 1) D. (-,) 4. 在復(fù)平面內(nèi), 已知點A(2, 1), B(0, 2), C(-2, 1), O(0, 0). 給出下面結(jié)論: 直線OC與直線BA平行; ; ; . 其中正確的結(jié)論個數(shù)是( )A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個 5. 在等比數(shù)列an中, Sn為前n項和, 若S4=1, S8=3, 則a17+ a18+ a19+ a20=( )A. 16 B. 25C. 31 D. 9 6. 正方體ABCD-A1B1C1D1中, EF是異面直線AC和A1D的公垂線段, 則EF和BD1的位置關(guān)系為( )A. 相

3、交且垂直 B. 互相平行C. 異面垂直 D. 相交不垂直 7. 已知、為銳角, cos=, tan(-)=-1, 則的值是( )A. B. C. D. 8. 某農(nóng)貿(mào)市場出售西紅柿, 當(dāng)價格上漲時, 供給量相應(yīng)增加, 而需求量相應(yīng)減少, 具體調(diào)查結(jié)果如下表:表1 市場供給量單價(元/kg)22.42.83.23.64供給量(1000kg)506070758090表2 市場需求量單價(元/kg)43.42.92.62.32需求量(1000kg)506065707580根據(jù)以上提供的信息, 市場供需平衡點(即供給量和需求量相等時的單價)應(yīng)在區(qū)間( )A.(2.3, 2.6)內(nèi)B. (2.4, 2.6

4、)內(nèi)C.(2.6, 2.8)內(nèi) D. (2.8, 2.9)內(nèi) 9. 定義在R上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù), 又是以2為周期的周期函數(shù), 那么f(1)+f(2)+f(3)+f(99)的值等于( )A. -1 B. 0 C. 1 D. 4 10.雙曲線是虛軸長為4, 離心率e=, F1、F2分別是它們的左、右焦點, 若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點, 且|AB|是|AF2|與|BF2|的等差中項, 則|AB|等于( )A. 8 B. 4 C. 2 D. 8 二 填空題: 把答案填在題中橫線上.11. 棱長為1的正方體木塊加工成一個體積最大的球, 那么這個球的體積為 .12. 點P(x, y)

5、是直線x+3y-2=0上的動點, 則代數(shù)式3x+27y的最小值為 .13. 在ABC中, B=90, AB=2BC, 若BC平面, AB和所成的角為, 那么= 時, ABC在內(nèi)的射影三角形為等腰三角形.14. 梯形的兩對角線把梯形分成四部分, 有五種不同的顏色給這四部分涂色, 每一部分涂一種顏色, 任何相鄰(具有公共邊)的兩部分涂不同的顏色, 則不同的涂色方法有 種.三 解答題:15.ABC中, 已知三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列, A、B、C所對邊為a、b、c, 且c-a等于AC邊上的高h, 求sin的值.16. 設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn, 且(3-m) Sn+2man=m+3 (nN).

6、其中m為常數(shù), 且m -3.()求證an是等比數(shù)列; ()若數(shù)列an的公比q=f(m), 數(shù)列bn滿足b1=a1, bn=f(bn-1) (nN, n2 ),求證:為等差數(shù)列, 并求bn.17. 已知三棱錐S-ABC中, SA底面ABC, ABBC, E是SC的中點, EDSC交AC于D, SA= AB=1, BC=.()求證: SC平面BDE;()求三棱錐A-BDE的體積;()求平面SAB與平面EDB所成的二面角的大小(平面角為銳角).ABCSDE18. 某地區(qū)計劃今年用經(jīng)過處理的工業(yè)廢渣填河造地. ()若該地區(qū)以每年1%的速度減少填河面積, 并為保持生態(tài)平衡, 使填河總面積永遠不會超過現(xiàn)有

7、水面面積的, 問今年所填面積最多只能占現(xiàn)有面積的百分之幾? ()水面的減少必然會使該地區(qū)蓄水能力降低, 為了保持其防洪能力不會下降, 就要增加排水設(shè)備, 設(shè)其經(jīng)費y(元)與當(dāng)年所填土地面積x(畝)的平方成正比, 比例系數(shù)為a, 又設(shè)每畝水面平均經(jīng)濟收入為b(元), 所填的每畝土地年平均收入為c(元), 那么要使每年的收入不少于支出. 試求出當(dāng)年所填面積x的最大值(其中a、b、c為常數(shù)).19. 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù), 當(dāng)x0時, f(x)=-.()求x0時, f(x)的解析式;()試確定函數(shù)y=f(x) (x0)單調(diào)區(qū)間, 并證明你的結(jié)論;()若x12, 且x22, 證明:|f

8、(x1)- f(x2)|0, b0)的離心率為e, 右準線l與兩條漸進線交于P、Q兩點, 右焦點為F, 且PQF為等邊三角形. 以F為左焦點, l為左準線的橢圓為C2的短軸端點為B.()若雙曲線C1被直線y=ax+b截得的弦長是, 試求雙曲線C1的方程;()若雙曲線C1過點(1, 0), 試求離心率為 的橢圓C2的方程;()在()的條件下, 求BF中點的軌跡方程.數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力測試(四)一、選擇題1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.C 8.C 9.B 10.A二、填空題11. 6 12.6 13.60 14.260三、解答題15.解：A、B、C成等差數(shù)列，且A+B+C=180

9、，B=60，A+C=120.又c= ,依題意有： .sinC-sinA=sinCsinA.2cos cos(C+A)-cos(C-A).sin - cos(C-A).sin2 .解得：sin 或sin (舍).故所為sin 。16.()證：由(3-m)Sn+2man=m+3得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3.兩式相減得(3+m)an+1=2man,m-3, 。an是等比數(shù)列.()b1=a1=1,q=f(m)= ,nN且n2時，bn= (bn-1) .bnbn-1+3bn=3bn-1， . . . SA面ABCAB 面ABC17.()證：由 SAAB，SA面ABCAC 面ABC又 SAA

10、C.在RtSAB中，SA=AB=1.SB= ,BC= ,SB=BC.在等腰SBC中，E是SC中點，BESCEDSCBEED=ESC面BDE. ()解：VA-BDE=VE-ABD,SA面ABC是E為SC中點，三棱錐E-ABD的高等于 SA= .SC面BDEBD 面BDEBD面SACAC 面SAC SCBD.SA面ABCBD 面ABC又 SABD.BD面SACAC 面SAC由 BDAC.在RtABC中易求出BD= ,AD= ,VA-BDE=VE-ABD= ()解： SA 面SAC，ED 面SAC.且SA，ED不平行，故延長SA，ED后必相交，設(shè)交點為F，連結(jié)FB，S-FB-E是面SAB與面EDB所

11、成的二面角.依條件易證明RtSEFRtSAC，SE= SC= 2=1,AF=2-1=1.SBF=SBA+ABF=45+45=90.SE面FBE.EBF=90，SBE是S-FB-E的平面角.在RtSBC中E為SC中點，且SB=BC,SBE=45.所求二面角的大小為45.18.解()設(shè)現(xiàn)有水面面積為M(畝)，今年所填面積為t(畝).依條件有：t+t(1-1%)+t(1-1%)2+ M.即t+t(0.99+0.992+) M，t+t M.t(1+99) M.t M.今年所填面積最多只能占現(xiàn)有水面面積的0.25%.()依條件可知cx-(ax2+bx)0，ax2+(b-c)x0.xax-(c-b)0.當(dāng)

12、c-b0時， x0，不能填地；當(dāng)c-b0時，0x .當(dāng)年所填面積最大值為 畝.19.解()若x0則-x0，f(x)是偶函數(shù)，f(x)=f(-x)= (x0.()設(shè)x1,x2是區(qū)間0，+上任意兩個實數(shù)，且0x1x2,則f(x1)-f(x2)= ，當(dāng)0x1x21時，x1-x20,x1x2-10而x12+x1+10及x22+x2+10，f(x1)-f(x2)0 即f(x)在0，1上為減函數(shù).同理當(dāng)1x1x2時，f(x1)-f(x2)0，即f(x)在(1，+)上為增函數(shù)()f(x)在(1，+)是增函數(shù)，由x2得f(x)f(2)=-2 又x2+x+10，-7x0，f(x)= .-2f(x)0.x1,x2

13、2，-2f(x1)0，且-2f(x2)0.即0-f(x2)2.-2f(x1)-f(x2)2 f(x1)-f(x2)2.20.解() 由.設(shè)PQ交x軸于R，則RF= ,PFR=30，得 = .得b= a,從而e=2.此時C1: .此方程與y=ax+ a聯(lián)立得(a2-3)x2+2 a2x+6a2=0.當(dāng)a23時，由=12a4-24a2(a2-3)0得a26.0a ,或 a . 由弦長公式得 x1-x2= .即13a4-77a2+102=0.解得a2=2，或a2= .故C1方程為 =1或 =1.當(dāng)a2=3時y= x+3與漸近線平行，不舍題意.()C1 過點(1，0)，a=1,b= ,c=2,此時F(2,0),1:x= ,分別為橢圓C2的左焦點和左準線.設(shè)橢圓中心為0(h,0),顯然h2，則其半焦距C=OF=h-2,由離心率 得a=2(h-2)