1、課 題空間向量與立體幾何課 時(shí)共 3課時(shí)本節(jié)第1 課時(shí)選用教材專題五知識(shí)模塊立體幾何課 型復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)會(huì)用建立空間直角坐標(biāo)系的方法解決立體幾何問題重 點(diǎn)會(huì)用建立空間直角坐標(biāo)系的方法解決立體幾何問題難 點(diǎn)會(huì)用建立空間直角坐標(biāo)系的方法解決立體幾何問題關(guān) 鍵會(huì)用建立空間直角坐標(biāo)系的方法解決立體幾何問題教學(xué)方法及課前準(zhǔn)備多媒體輔助教學(xué) 學(xué)生自主探究 講練結(jié)合教學(xué)流程多媒體輔助教學(xué)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建考點(diǎn)溯源思考1若直線l的方向向量為a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分別為(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)則(1)laaa1a2b1b2c1c20；(2)laak(a1，b1，c1)k(a2，b2，

2、c2)；(3)vv(a2，b2，c2)(a3，b3，c3)；(4)vva2a3b2b3c2c30.正確嗎？提示：正確思考2直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，設(shè)直線l與平面的夾角，則sin |cosa，n|.正確嗎？提示：正確思考3若非零向量a，b分別是平面，的法向量，若二面角l的平面角為銳角，則cos |cosn1，n2|；若二面角l所成的角為鈍角，則cos |cosn1，n2|.正確嗎？提示：正確復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)，用多媒體展示，帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行回憶與記憶教學(xué)流程多媒體輔助教學(xué)內(nèi)容考向一利用向量證明平行與垂直常利用向量的數(shù)量積或向量共面證明平行；常利用法向量垂直證明線線、線面垂直恰當(dāng)建立

3、坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵【例1】 如圖所示，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四邊形ABCD中，BC90，AB4，CD1，點(diǎn)M在PB上，PB4PM，PB與平面ABCD成30的角(1)求證：CM平面PAD；(2)求證：平面PAB平面PAD.思路點(diǎn)撥(1)建立空間直角坐標(biāo)系，證明向量與平面PAD的法向量垂直(2)取AP的中點(diǎn)E，利用向量證明BE平面PAD即可證明以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.PC平面ABCD，PBC為PB與平面ABCD所成的角，PBC30.

4、PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，(1)令n(x，y，z)為平面PAD的一個(gè)法向量，則即令y2，得n(，2,1)n2010，n，又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)取AP的中點(diǎn)E，并連接BE，則E(，2,1)，(，2,1)，PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，則BEDA.PADAA.BE平面PAD，又BE平面PAB，平面PAB平面PAD.探究提升 (1)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面，然后說

5、明直線在平面外即可(2)證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉(zhuǎn)化為直線與直線垂直證明【變式訓(xùn)練1】 如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC為等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)求證：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.證明如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，令A(yù)BAA14，則A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(xiàn)(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4)(1)取AB中點(diǎn)為N，并連接NC，則N(2,0,0)，又C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,

6、0)，.DENC，又NC在平面ABC內(nèi)，DE不在平面ABC內(nèi)，故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)，(2)22(2)(4)(2)0，則，B1FEF，(2)222(4)00，即B1FAF.又AFEFF，B1F平面AEF.考向二利用空間向量求線線角、線面角向量法求線線角，線面角的一般步驟為：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量坐標(biāo)；結(jié)合公式進(jìn)行計(jì)算【例2】 如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDABCD的對(duì)角線BD上，PDA60. (1)求DP與CC所成角的大??；(2)求DP與平面AADD所成角的大小思路點(diǎn)撥由正方體的幾何特征，易于建立空間坐標(biāo)系，關(guān)鍵在

7、于求直線DP的一個(gè)方向向量，可延長DP交DB于點(diǎn)H，可轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)解如圖，以D為原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)正方體棱長為1，則(1,0,0)，(0,0,1)連接BD，BD，在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè)(m，m,1)(m0)，由已知，60，由|cos，可得2m.解得m，所以，(1)因?yàn)閏os，所以，45.即DP與CC所成的角為45.(2)平向AADD的一個(gè)法向量是(0,1,0)因?yàn)閏os，所以，60.可得DP與平面AADD所成的角為30.探究提升 1.求解本題的關(guān)鍵在于求向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量平行，求向量，簡(jiǎn)化了解題過程2(1)異面直線所成角(090)設(shè)

8、a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則cos |cosa，b|.(2)線面角(090)設(shè)a是直線l的方向向量，n是平面的法向量，則sin |cosa，n|.【變式訓(xùn)練2】 (2020福建高考改編)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求證：CD平面ADD1A1；(2)若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為，求k的值；(1)證明取CD的中點(diǎn)E，連接BE. ABDE，ABDE3k，四邊形ABED為平行四邊形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2，

9、BEC90，即BECD，又BEAD，所以CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)解以D為原點(diǎn)，的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k,3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)設(shè)平面AB1C的法向量n(x，y，z)，則由得取y2，得n(3,2，6k)設(shè)AA1與平面AB1C所成角為，則sin |cos，n|，解之得k1，故所求實(shí)數(shù)k的值為1.考向三利用向量求二面角常考查：利用空間向量求二面角；由二面角的大小求相關(guān)量

10、常用法向量來求解二面角【例3】 (2020天津高考)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，側(cè)棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E為棱AA1的中點(diǎn)(1)證明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)設(shè)點(diǎn)M在線段C1E上，且直線AM與平面ADD1A1所成角的正弦值為，求線段AM的長思路點(diǎn)撥由條件特征，易建立空間坐標(biāo)系，方便運(yùn)用向量求解(1)利用向量證明0；(2)求平面B1CE與平面CEC1的法向量，進(jìn)而求二面角的正弦值；(3)設(shè)出，根據(jù)線面角求，進(jìn)一步求出AM的長(1)證明如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，B(0，0

11、,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1，2,1)，E(0,1,0)(1)易得(1,0，1)，(1，1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)解(1，2，1)設(shè)平面B1CE的法向量m(x，y，z)，則即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一個(gè)法向量為m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，從而B1C1平面CEC1.故(1,0，1)為平面CEC1的一個(gè)法向量于是cosm，從而sinm，所以二面角B1CEC1的正弦值為.(3)解(0,1,0)，(1,1,1)，設(shè)(，)，01，有(，1，)可取(0,0,2)為平面ADD1A1的一個(gè)法向量設(shè)為直線AM與平面ADD1A1

12、所成的角，則sin|cos，|，于是，解得，故AM.探究提升 1.(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，直線的方向向量與平面法向量夾角不是線面角(2)利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要細(xì)心注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性2求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角其計(jì)算公式為：設(shè)m，n分別為平面，的法向量，則與m，n互補(bǔ)或相等，|cos |cosm，n|.課堂同步練習(xí)：1(2020青島質(zhì)檢)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線NO，AM的位置關(guān)系是()A平行 B相交C異面垂直 D異面不垂直解析建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則A(2,0,0)，M(0，0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，(1，0，2)，(2,0,1)，0，則直線NO，AM的位置關(guān)系是異面垂直答案C考點(diǎn)探究突破典型例題講解，先讓學(xué)生