1、專題: 考題特征剖析:直線與圓錐曲線問題是高中數(shù)學的重點內容,它的特點是用代數(shù)的方法研究解決幾何問題,重點是用數(shù)形結合的思想把幾何問題目轉化為代數(shù)問題,尤其是新課程改革增加了平面向量與導數(shù)之后,向量與解析幾何的融合便成為高考的熱點問題目之一這類問題目涉及的知識面廣,綜合性強,題目新穎,靈活多樣,解題對能力要求較高.根據(jù)對近幾年高考試題的分析,特別對2020年全國高聚物考18套34份不同數(shù)學試卷的分析,可知本專題目分什約占全卷的20-25,選擇題填空題,解答題均有涉及,是高考的重熱點問題,這一專題在考高中有舉足輕重的地位,主要呈現(xiàn)在以下幾個方面的特點:1. 考查直線與圓的有關基本概念,基本方法多

2、以選擇題填空題的形式出現(xiàn),基本屬于中低檔題,有時也分散于解答題中,特別近幾年出現(xiàn)的線性規(guī)劃,解析幾何與平面向量的結合等是?？汲Ｐ碌念}目.2. 考查圓錐曲線的基本概念,標準方程與幾何性質等基礎知識以及處理有關問題的基本技能,基本方法,也常以選擇題和填空題形式出現(xiàn).3. 直線與圓錐曲線的位置關系,圓錐曲線與有關知識綜合問題常以壓軸題目或中難題的形式出現(xiàn),性質,基本概念,基礎知識常以新的知識為載體,附以新情景,考查學生綜合應用知識靈活解決問題的能力.因此加強本專題復習地分必要,尤其是要注意把握以下幾點:1. 深化對基礎知識的理解,重視知識間的內在聯(lián)系,特別是知識交匯點要重點把握,提高綜合應用知識解決

3、問題目的能力.2. 提高應用數(shù)學思想方法解決問題的熟練程度,特別是對幾種曲線各有的特征以及解法之間的相互聯(lián)系,做到重通法,輕技巧,重思想方法的提煉與升華,達到優(yōu)化解題思維,簡化解題過程的目的.3. 突出抓好重,熱點考查內容的復習,如軌跡問題,對稱問題,范圍問題,最值問題,直線與圓錐曲線位置關系問題,開放性及探索問題,向量,導數(shù)與解析幾何綜合問題等.4. 對基礎知識的復習既要全面又要重點突出,對生點支撐學科知識的問題要融會貫通,學會在知識網(wǎng)絡交匯點處思考問題,解決問題.考點知識題型分析對直線與圓,以及線性規(guī)劃就不加以舉例了,這里主要是針對圓錐曲線這部分舉例考點一 圓錐曲線的概念與性質圓錐曲線的概

4、念與性質是解析幾何問題的解題基礎,高考試題中有些題目直接去考 查概念與性質,因些要注重對定義(第一,第二定義),標準方程,焦點或交點坐標,離心率,準性方程,漸近線,焦半徑及焦點弦等概念的復習,熟習有關性質,掌所握基本技能和基本方法.問題1：求圓錐曲線的標準方程、離心率、準線方程等.利用待定系數(shù)法求出相應的a，b，p等.1（2020年福建卷）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 （ C ）（A）（B）（C）（D）點評：充分認識圓錐曲線中參數(shù)a,b,c,e,p的意義及相互關系，在求標準方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關.問題2：

5、圓錐曲線的幾何性質由方程來討論其性質.例：設F1、F2為橢圓 的兩個焦點，P為上一點，已知P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，且PF1PF2，求的值.思路分析：由已知，F(xiàn)1不是直角頂點，所以只要對P、F2中哪一個是直角頂點分兩種情況即可.解法1：由已知，PF1PF2，PF1PF26，F(xiàn)1F2，若PF2F1為直角，則PF12PF22F1F22，可解得：PF1，PF2，這時.若F2PF1為直角，則PF12PF22F1F22，可解得：PF14，PF22，這時.解法2：由橢圓的對稱性，不妨設P(x,y)（其中x0,y0），.若PF2F1為直角，則P（），這時PF1，PF2，這時.若PF2F1為直

6、角，則由，解得：.于是PF14，PF22，這時.點評：由橢圓的方程，熟練準確地寫出其幾何性質（如頂點，焦點，長、短軸長，焦距，離心率，焦半徑等）是應對考試必備的基本功；在解法2中設出了P點坐標的前提下，還可利用PF1a+ex,PF2=a-ex來求解.問題3：有圓錐曲線的定義的問題利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.1（2020年四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則_;思路分析：因為已知條件中涉及到橢圓上的點到焦點的距離，所以可以從橢圓的定義入手.點評：涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上

7、的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準線對應，不能弄錯.考點二: 圓錐曲線與直線的關系些類問題通常是聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程消元,轉化一元二次方程,”設而不求”應用韋達定理求解,但要注意判別式的應用,解題時充分利用圓錐曲線的有關性質,另一方面充分注意方程中變量的取值范圍.例.2020年遼寧卷）直線與曲線 的公共點的個數(shù)為(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】將代入得：，顯然該關于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D?！军c評】本題考查了方程與曲線的關系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。例：拋物

8、線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；（）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；（）當=1時，若點P的坐標為（1，-1），求PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.思路分析：將直線方程和拋物線方程組成的方程組轉化為一元二次方程，用韋達定理來求解.解：（）由拋物線的方程（）得，焦點坐標為，準線方程為（）證明：設直線的方程為，直線的方程為點和點的坐標是方程組的解將式代入式得，于是，故又點和點的坐標是方程組的解將式代

9、入式得于是，故由已知得，則設點的坐標為，由，則將式和式代入上式得，即線段的中點在軸上（）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點、的坐標為，于是，因為鈍角且、三點互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點的縱坐標滿足，故當時，；當時，即點評：解析幾何解題思維方法比較簡單，但對運算能力的要求比較高，平時練習要注意提高自己的運算能力.考點三 :軌跡與方程解幾的思想就是用方程的思想研究曲線,用曲線的性質研究方程,軌跡問題正是休現(xiàn)這一思想的重要表現(xiàn)形式,歷來都是高考的熱點,求軌跡的基本方法有:直接法,定義法,轉移法,交軌法,參數(shù)法等.這里僅舉一例,

10、供同學們領悟例（2020年江西卷）如圖，橢圓Q：（ab0）的右焦點F（c，0），過點F的一動直線m繞點F轉動，并且交橢圓于A、B兩點，P是線段AB的中點（1） 求點P的軌跡H的方程（2） 在Q的方程中，令a21cosqsinq，b2sinq（0b0）上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設P點坐標為P（x，y），則1當AB不垂直x軸時，x1x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3）故所求點P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx0（2）因為，橢圓Q右準線l方程是x，原點距l(xiāng)的距離為，由

11、于c2a2b2，a21cosqsinq，b2sinq（0q）則2sin（）當q時，上式達到最大值。此時a22，b21，c1，D（2，0），|DF|1設橢圓Q：上的點 A（x1，y1）、B（x2，y2），三角形ABD的面積S|y1|y2|y1y2|設直線m的方程為xky1，代入中，得（2k2）y22ky10由韋達定理得y1y2，y1y2，4S2（y1y2）2（y1y2）24 y1y2令tk211，得4S2，當t1，k0時取等號。因此，當直線m繞點F轉到垂直x軸位置時，三角形ABD的面積最大。點評：這是一道重要的數(shù)學問題,幾乎是高考數(shù)學每年的必考內容之一,此類問題一定要“大膽假設,細心求解”,根據(jù)

12、題目要求先將題目所涉及的未知量都可以設出來,然后根據(jù)題目把所有的條件都變成等式,一定可以求出來,當然求的過程中,采取適當?shù)男〖记?例如化簡或適當分類討論,可以大為簡化過程,而且會盡量多多得分,同時這一類題目也需要很強的計算能力.考點四: 圓錐曲線中的定值,最值,范圍以及存在性問題(1)存在性問題解決的方法一般是先假設是存在的,然后根據(jù)條件去求解析式,如有解則表示存在,否則不存在(2)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的取值范圍；或建立關于參數(shù)的目標函數(shù)，轉化為函數(shù)的值域 3)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種 當題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾

13、何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結合法解；當題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值例.2020年安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。OFxyPM第22題圖H（）寫出雙曲線C的離心率與的關系式；（）當時，經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。解：四邊形是，作雙曲線的右準線交PM于H，則，又，。（）當時，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所以為所求。例2如圖，

14、已知橢圓=1(2m5),過其左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值 命題意圖 本題主要考查利用解析幾何的知識建立函數(shù)關系式，并求其最值，體現(xiàn)了圓錐曲線與代數(shù)間的科間綜合 知識依托 直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調性求函數(shù)的最值 錯解分析 在第(1)問中，要注意驗證當2m5時，直線與橢圓恒有交點 技巧與方法 第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數(shù)，則可迅速將|AB|CD|化簡 第(2)問，利用函數(shù)的單調性求最值是常用方法 解 (1)設橢圓的半長軸、半短軸及半焦距

15、依次為a、b、c，則a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點為F1(1,0),F2(1,0) 故直線的方程為y=x+1,又橢圓的準線方程為x=,即x=m A(m,m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得 (m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得 (2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC= 又A、B、C、D都在直線y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA),|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD

16、|=|xB+xC|=|= (2m5)故f(m)=，m2,5 (2)由f(m)=，可知f(m)= 又222，f(m)故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5 點評：解決有關最值問題時，首先要恰當?shù)匾胱兞浚ㄈ琰c的坐標、角、斜率等），建立目標函數(shù)，然后利用函數(shù)的有關知識和方法求解.考點五:與數(shù)列,不等式,向量等綜合.,這類題都是屬于知識的交匯點處,綜合性較強,屬于偏難的題目,請同學們務必注意例.( 2020年重慶卷)已知一列橢圓Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若橢圓C上有一點Pn使Pn到右準線ln的距離d.是PnFn與PnCn的等差中項，其中Fn、Cn分別是Cn的

17、左、右焦點.（）試證：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面積，試證：S1S1且SnSn+3 (n3).圖()圖證：（1）由題設及橢圓的幾何性質有 設 因此，由題意應滿足即即,從而對任意（）設點 得兩極，從而易知f(c)在（，）內是增函數(shù)，而在（，1）內是減函數(shù).現(xiàn)在由題設取是增數(shù)列.又易知故由前已證，知專題小結1、求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應的a，b，p等.要充分認識橢圓中參數(shù)a,b,c,e的意義及相互關系，在求標準方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關. 2、涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐

18、曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準線對應，不能弄錯.3、直線與圓錐曲線的位置關系問題，利用數(shù)形結合法或將它們的方程組成的方程組轉化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.4、對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等.5、與圓錐曲線有關的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的概念和性質來求解或證明.5 直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題，實際上是研究它們的方程組成的方程是否有實數(shù)解成實數(shù)解的個數(shù)問題，此時要注意用好分類討論和數(shù)形結合的思想方法 6當直線與圓錐曲線相

19、交時 涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長(即應用弦長公式)；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯(lián)系起來，相互轉化 同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍 7以向量,導數(shù)為載體或聯(lián)系相關學科知識,構成知識交匯的問題,綜合考查分析和解決問題的能力.訓練能力1.（2020年上海卷）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 2（2020年上海卷）若曲線|1與直線沒有公共點，則、分別應滿足的條件是 =0,-11 3. ( 2020年湖南卷）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相