1、2020年年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽廣西賽區(qū)預(yù)賽試卷(9月23日上午8:3010：30)一、選擇題（每題6分，共36分）1、若點P（x，y）在直線x+3y=3上移動，則函數(shù)f（x，y）=的最小值等于（ ） （A） （B） （C） （D）2、滿足的正整數(shù)數(shù)對（x，y）（ ） （A）只有一對 （B）恰有有兩對 （C）至少有三對 （D）不存在3、設(shè)集合M=-2，0，1，N=1，2，3，4，5，映射f：MN使對任意的xM，都有是奇數(shù)，則這樣的映射f的個數(shù)是（ ） （A）45 （B）27 （C）15 （D）114、設(shè)方程所表示的曲線是（ ） （A）雙曲線 （B）焦點在x軸上的橢圓 （C）焦點在y軸上的橢圓 （D

2、）以上答案都不正確5、將一個三位數(shù)的三個數(shù)字順序顛倒，將所得到的數(shù)與原數(shù)相加，若和中沒有一個數(shù)字是偶數(shù)，則稱這個數(shù)為“奇和數(shù)”。那么，所有的三位數(shù)中，奇和數(shù)有（ ）個。 （A）100 （B）120 （C）160 （D）2006、設(shè)，其中x表示不超過x的最大整數(shù)。則的個位數(shù)字為（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4二、填空題（每小題9分，共54分）1、已知三個正整數(shù)x，y，z的最小公倍數(shù)是300，并且，則方程組的解（x，y，z）= 。2、已知關(guān)于x的實系數(shù)方程和的四個不同的根在復(fù)平面上對應(yīng)的點共圓，則m的取值范圍是 。3、設(shè)平面上的向量滿足關(guān)系，又設(shè)與的模為1，且互相垂直，則與的夾角為

3、。4、設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與x軸所圍成圖形中的封閉部分的面積是 。5、已知單位正方體ABCDEFGH棱AD與直線BC上分別有動點Q、P。若PQG與BDE相截得到的線段MN長度為y，設(shè)AQ=x（0x1），則y的最小值寫成關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是 。6、設(shè)a1，a2，a2020均為正實數(shù)，且，則的最小值是 。三、（20分）已知ABC的三邊長分別為a、b、c，且滿足abc=（1）是否存在邊長均為整數(shù)的ABC？若存在，求出三邊長；若不存在，說明理由。（2）若a1，b1，c1，求出ABC周長的最小值。四、（20分）已知O1與O2相交于兩不同點A、B，點P、E在O1上，點Q、F在O2上，且滿足：EF為兩圓的公

4、切線，PQEF，PE與QF相交于點R。證明：PBR=QBR。五、已知橢圓過定點A（1，0），且焦點在x軸上，橢圓與曲線|y|=x的交點為B、C?，F(xiàn)有以A為焦點，過點B、C且開口向左的拋物線，拋物線的頂點坐標(biāo)為M（m，0）。當(dāng)橢圓的離心率e滿足時，求實數(shù)m的取值范圍。2020年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)系廣西賽區(qū)試卷參考答案一、 選擇題（每小題6分，共36分）1（A） 解： =，等號當(dāng)且僅當(dāng)，即時成立，故f（x，y）的最小值是2、（B） 解：設(shè)，其中a，b均為自然數(shù)，則y=a+b，。因為b+a與b-a有相同的奇偶性，且b+ab-a,所以或解得或3、（A） 解：當(dāng)x=-2時，x+f（x）+xf（x）=-2-f

5、（-2）為奇數(shù)，則f（-2）可取1，3，5，有三種取法；當(dāng)x=0時，x+f（x）+xf（x）=f（0）為奇數(shù)，則f（0）可取1，3，5，有3種取法；當(dāng)x=1時，x+f（x）+xf（x）=1+2f（1）為奇數(shù)，則f（1）可取1，2，3，4，5，有5種取法。由乘法原理知，共有335=45個映射。4、（C） 解：于是，同理。因為，故應(yīng)選（C）5、（A） 解：設(shè)三位數(shù)是，則+。 若不進位，則和數(shù)的十位數(shù)必為偶數(shù)，不符合題意，所以=11，13，15，17。因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以取值有種可能；因13=9+4=8+5=7+6，所以取值有種可能；因15=9+6=8+7，所以取值有種可能；

6、因17=9+8，所以取值有種可能；由于不能進位，所以只能取0，1，2，3，4。因此，滿足條件的數(shù)共有：5（+）=100（個）6、（B） 解：由猜想： 。由已知遞推關(guān)系式，易用數(shù)學(xué)歸納法給予證明（略） 于是，當(dāng)n1時, 故 因此,應(yīng)選(B)二、 填空題（每小題9分，共54分）1（20，60，100） 解：記方程組中的兩個方程為（1），（2），消去x得 ，即 所以 ， （3） 或 ， （4） 由（1）、（3）得，即x：y：z=1：3：5，于是，由已知條件，必有x=20，y=60，z=100； 由（1）（4），得x=-y=-z，與已知條件矛盾。2m|-1m1或m=-3/2 解：易知方程的兩根為 當(dāng)，

7、即時，方程有兩個共軛的虛根，且的實部為，這時在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成等腰梯形或矩形，它們共圓。當(dāng)，即或時，方程有兩個不等的實根，則對應(yīng)的點在以對應(yīng)的點為直徑端點的圓上，該圓的方程為，即，將及對應(yīng)點的坐標(biāo)（1，1）代入方程，即得。故m的取值范圍是m|-1m1或m=-3/23、 解：由已知，得，設(shè)與的夾角為，則，所以=4、 7 解：函數(shù)的圖象如圖的實線部分所示。所求的封閉部分的面積為yxD 2-3 -2 -1 O 1 2 31 ECBA5、 解：當(dāng)AQ=x時，設(shè)GQ與面BDE交于點N，作NMBD于點M，聯(lián)結(jié)QM交直線BC于點，取點為點P，知此時y=|MN|最小。DQQz建立如圖1的空間直角坐標(biāo)系，則

8、Q（0，x，1）且BDE所在平面上的點（x，y，z）滿足x+y=z，故可令。MQA由點N在QG上，知在（0，1）內(nèi)存在使QN=QG。NCPBGQ代入消去得EBGQFGQGQHQyx從而，于是，而點M在BD上，故可令由，知于是，6、 解：設(shè)，則，且，所以=三、滿分20分解：（1）不妨設(shè)整數(shù)abc，顯然c2。若c5，這時由，可得。矛盾。故c只可能取2，3，4。當(dāng)c=2時，有又ab2，故無解。當(dāng)c=3時，即又ab3，故或或解得或或能構(gòu)成三角形的只有a=8，b=7，c=3。當(dāng)c=4時，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。能構(gòu)成三角形的只有a=6，b=5，c=4。故存在三邊長均為整數(shù)的ABC，其三邊長分別為4，5，6或3，7，8（2）由，可得所以，又，則有故ABC的周長最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得此最小值。四、滿分20分O2O1N2N1M2YXM1BZQAPGHFER證明：如圖2，設(shè)O1的半徑為r1，易知。故由EGXBPX，知