1、柯西不等式在解題中的幾點(diǎn)應(yīng)用摘要：本文利用怎樣運(yùn)用柯西不等式解題的技巧，介紹了柯西不等式在解等式、不等式、極值、三角問題等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：柯西不等式、技巧、應(yīng)用一、 引言人民教育出版社高中代數(shù)下冊(cè)“不等式”一章的習(xí)題中有這樣一道題（P、15練習(xí)第2題）： 求證：ac+bd*這題用比較法是很容易證明的，這里用比值的方法來證明。證明：當(dāng)a=b=c(或c=d=0)時(shí)，顯然成立；假設(shè)+0 且+0,則=1故ac+bd(1) 式就是著名的柯西不等式的一個(gè)簡(jiǎn)單特例。柯西不等式的一般形式為：對(duì)任意的實(shí)數(shù) (2)或 (3)其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立（當(dāng)時(shí)，認(rèn)為柯西不等式有許多證明方法，這里就不作證明，僅就如何利

2、用柯西不等式解題作一些介紹。一、 柯西不等式在解題中的應(yīng)用1、 利用柯西不等式證明恒等式利用柯西不等式來證明恒等式，主要是利用其取等號(hào)的充分必要條件來達(dá)到目的，或者是利用柯西不等式進(jìn)行夾逼的方法獲證。 例、已知求證：。證明：由柯西不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，于是 。2、 利用柯西不等式解無理方程（或方程組）用柯西不等式解無理方程，是先把方程的（含有無理式的）運(yùn)用柯西不等式化為不等式，然后結(jié)合原方程把不等式又化成等式，在判定為等式后再利用柯西不等式取等號(hào)的特性，得到與原方程同解的且比原方程簡(jiǎn)單的無理方程，進(jìn)而得到簡(jiǎn)單的整式方程，從而求得原方程的解。例：解方程 。解： = 由柯西不等式知即

3、當(dāng)上式取等號(hào)時(shí)有成立，即（無實(shí)根） 或，即，經(jīng)檢驗(yàn)，原方程的根為用柯西不等式解方程組，也同樣是利用柯西不等式取等號(hào)的條件，從而求得方程組的解。 例：解方程組解：原方程組可化為運(yùn)用柯西不等式得, 兩式相乘，得當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=w=3時(shí)取等號(hào)。故原方程組的解為x=y=z=w=3.3、 柯西不等式證明不等式。很多重要的不等式都可以由柯西不等式導(dǎo)出，而利用柯西不等式的技巧有很多。如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等，下面略舉一、二說明怎樣利用柯西不等式證明不等式。例：設(shè)a,b,c為正數(shù)且不相等到，求證：分析：我們利用9與2這兩個(gè)常數(shù)進(jìn)行巧拆，9=，這樣就給我們利用柯西不等式提供了條件。證明：2a,b

4、,c各不相等， 等號(hào)不可能成立，從而原不等式成立。有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一下多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，認(rèn)清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，就可以達(dá)到利用柯西不等式解題的目的。下面略舉一例加以說明。例：設(shè)求證：分析：這道題初看似乎無法使用柯西不等式，但改變其結(jié)構(gòu)，我們不妨改為證：證明：為了運(yùn)用柯西不等式，我們將寫成于是即故我們進(jìn)一步觀察柯西不等式，可以發(fā)現(xiàn)其特點(diǎn)是：不等式左邊是兩個(gè)因式這和，其中每一個(gè)因式都是項(xiàng)平方和，右邊是左邊中對(duì)立的兩兩乘積之和的平方，證題時(shí)，只要能將原題湊成此種形式，就可以引用柯西不等式來證明。例：求證：證明：由柯西不等式得其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) ， 時(shí)成立。其中等號(hào)

5、當(dāng)且僅當(dāng) ， 時(shí)成立。4、 用柯西不等式證明條件不等式柯西不等式中有三個(gè)因式 ， ，而一般題目中只有一個(gè)或兩個(gè)因式，為了運(yùn)用柯西不等式，我們需要設(shè)法嵌入一個(gè)因式（嵌入的因式之和往往是定值），這也是利用柯西不等式的技巧之一。又柯西不等式中諸量 ， 具有廣泛的選擇余地，任意兩個(gè)元素 ， （或 ， ） 的交換，可以得到不同的不等式，因此在證題時(shí)根據(jù)需要重新安排各量的位置，這種形式上的變更往往會(huì)給解題帶來意想不到的方便。這種變換也是運(yùn)用柯西不等式的一種技巧，下面我們簡(jiǎn)單舉例說明怎樣利用上述技巧運(yùn)用柯西不等式來證明條件不等式。例：已知a,b，a+b=1,求證： 分析：如果對(duì)不等式左端用柯西不等式，就得不

6、到所要證明的結(jié)論。若把第二個(gè)小括號(hào)內(nèi)的前后項(xiàng)對(duì)調(diào)一下，情況就不同了。 證明： = = 。例、設(shè)求證： （1984年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）證明：在不等式的左端嵌乘以因式，也即嵌以因式，由柯西不等式，得 于是 .5、 利用柯西不等式求函數(shù)的極值有些極值問題從表面上看不能利用柯西不等式，但只要適當(dāng)添加上常數(shù)項(xiàng)或和為常數(shù)的各項(xiàng)，就可以應(yīng)用柯西不等式來解，這也是運(yùn)用柯西不等式解題的技巧；而有些極值問題的解決需要反復(fù)利用柯西不等式才能達(dá)到目的，但在運(yùn)用過程中，每運(yùn)用一次前后等號(hào)成立的條件必須一致，不能自相矛盾，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。這多次反復(fù)運(yùn)用柯西不等式的方法也是常用技巧之一。下面略舉例加以說明怎樣利用柯西不

7、等式來求解一些極值問題。例 設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)滿足求的最小值。（1982年西德數(shù)學(xué)奧林匹克度題）解：易驗(yàn)證+1=同理可得+1=+1=令故+為了利用柯西不等式，注意到+=+等號(hào)當(dāng)且公當(dāng)時(shí)成立，從而有最小值例 設(shè)都是正數(shù)，且求證： （1989年全國(guó)數(shù)學(xué)冬令營(yíng)試題）證明：令由柯西不等式，得 即 同理，得即 又由柯西不等式，得故從而 6，利用柯西不等式解三角問題。三角問題包括三角不等式，三角方程。三角極值等到，對(duì)于一些三角問題，我們?yōu)榱私o運(yùn)用柯西不等式創(chuàng)造條件，經(jīng)常引進(jìn)一些待定的參數(shù)，其值的確定由題設(shè)或者由等號(hào)成立的充要條件共同確定，也有一些三角極值問題我們可以反復(fù)運(yùn)用柯西不等式進(jìn)行解決。例 在中 ，求證： 證明：當(dāng)且僅當(dāng)A=B時(shí)等號(hào)成立。 令，于是引進(jìn)參求的最值。 由柯西不等式， =又由平均值不等式得= （1）當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)等號(hào)成立。例、已知a,b為正常數(shù)，且0x,