1、特別解析：橢圓經(jīng)典例題分類題型一 .橢圓定義的應(yīng)用例1 橢圓的一個頂點為，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長軸端點時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：； （2）當(dāng)為短軸端點時，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；說明：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個，給出一個頂點的坐標(biāo)和對稱軸的位置，是不能確定橢圓的橫豎的，因而要考慮兩種情況例2 已知橢圓的離心率，求的值 分析：分兩種情況進(jìn)行討論解：當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，得由，得 當(dāng)橢圓的焦點在軸上時，得 由，得，即 滿足條件的或說明：本題易出現(xiàn)漏解排除錯誤的辦法是：因為與9的大小關(guān)系不定，所以橢圓的焦點可能在軸上，也可能在軸上故必

2、須進(jìn)行討論例3 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓 例4 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍 解：方程可化為因為焦點在軸上，所以 因此且從而 說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方 (2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件 例5 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式

3、解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程： 說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法題型二 .焦半徑及焦三角的應(yīng)用 例1 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示） 分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知：由橢圓定義知： ， 則得：故 例2 已知橢圓內(nèi)有一點，、分別是橢圓的左、右焦點

4、，點是橢圓上一點求的最大值、最小值及對應(yīng)的點坐標(biāo)；分析：本題考查橢圓中的最值問題，通常探求變量的最值有兩種方法：一是目標(biāo)函數(shù)當(dāng)，即代數(shù)方法二是數(shù)形結(jié)合，即幾何方法本題若按先建立目標(biāo)函數(shù)，再求最值，則不易解決；若抓住橢圓的定義，轉(zhuǎn)化目標(biāo)，運用數(shù)形結(jié)合，就能簡捷求解解：如上圖，設(shè)是橢圓上任一點，由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線由，等號僅當(dāng)時成立，此時、共線建立、的直線方程，解方程組得兩交點、綜上所述，點與重合時，取最小值，點與重合時，取最大值題型三 參數(shù)方程應(yīng)用例1 求橢圓上的點到直線的距離的最小值分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值解：橢圓的參數(shù)方程為設(shè)

5、橢圓上的點的坐標(biāo)為，則點到直線的距離為：當(dāng)時，說明：當(dāng)直接設(shè)點的坐標(biāo)不易解決問題時，可建立曲線的參數(shù)方程 例2 (1)寫出橢圓的參數(shù)方程；(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積分析：本題考查橢圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用為簡化運算和減少未知數(shù)的個數(shù)，常用橢圓的參數(shù)方程表示曲線上一點坐標(biāo)，所求問題便化歸為三角問題解：(1) (2)設(shè)橢圓內(nèi)接矩形面積為，由對稱性知，矩形的鄰邊分別平行于軸和軸，設(shè)為矩形在第一象限的頂點，則， 故橢圓內(nèi)接矩形的最大面積為12說明：通過橢圓參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，一般地，與圓錐曲線有關(guān)的最值問題，用參數(shù)方程形式較簡便 例3橢圓與軸正向交于點，若這個橢圓上總存在點，使(為坐標(biāo)

6、原點)，求其離心率的取值范圍分析：、為定點，為動點，可以點坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點，即，解得或，（舍去），又，又，說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點使如何證明？題型四 相交情況下-弦長公式的應(yīng)用 例1 已知橢圓及直線 （1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？ （2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程 解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得 （2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：解得方程為 說

7、明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程 例2 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長 分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求 解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而 ( 法2

8、)利用橢圓的定義及余弦定理求解 由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則， 在中，即 ；所以同理在中，用余弦定理得，所以 (法3)利用焦半徑求解 先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出題型五 .相交情況下點差法的應(yīng)用 例1 已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與直線交于、兩點，為中點，的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得， 為所求說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題 例2 已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程分析一：已知一

9、點求直線，關(guān)鍵是求斜率，故設(shè)斜率為，利用條件求解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得 由韋達(dá)定理得是弦中點，故得所以所求直線方程為分析二：設(shè)弦兩端坐標(biāo)為、，列關(guān)于、的方程組，從而求斜率：解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為說明：（1）有關(guān)弦中點的問題，主要有三種類型：過定點且被定點平分的弦；平行弦的中點軌跡；過定點的弦中點軌跡（2）解法二是“點差法”，解決有關(guān)弦中點問題的題較方便，要點是巧代斜率（3）有關(guān)弦及弦中點問題常用的方法是：“韋達(dá)定理應(yīng)用”及“點差法”有關(guān)二次曲線問題也適用 例3 已知橢圓，（1）求過點且被平分的

10、弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點分別為，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為：（橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ， 將平方并整理得：， 將代入得： 再將代入式得：， 即：此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還

11、可用其它方法解決 例4 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱 分析：若設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍 解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，直線與交于點的斜率，設(shè)直線的方程為由方程組消去得。于是，即點的坐標(biāo)為點在直線上，解得將式代入式得，是橢圓上的兩點，解得(法2)同解法1得出，即點坐標(biāo)為，為橢圓上的兩點，點在橢圓的內(nèi)部，解得(法3)設(shè)，是橢圓上關(guān)于對稱的兩點，直線與的交點的坐標(biāo)為，在橢圓上，兩式相減得：，即又直線，即。又點在直線上，。由，得點的坐標(biāo)為以下同解法2.

12、說明：涉及橢圓上兩點，關(guān)于直線恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式，建立參數(shù)方程(2)利用弦的中點在橢圓內(nèi)部，滿足，將，利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式 例5 已知是直線被橢圓所截得的線段的中點，求直線的方程 分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去(或)，得到關(guān)于(或)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出，(或，)的值代入計算即得并不需要求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的解：方法一：設(shè)所求直線

13、方程為代入橢圓方程，整理得： 設(shè)直線與橢圓的交點為，則、是的兩根，為中點，所求直線方程為 方法二：設(shè)直線與橢圓交點，為中點，又，在橢圓上，兩式相減得，即直線方程為 方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為，另一個交點、在橢圓上，。 從而，在方程的圖形上，而過、的直線只有一條，直線方程為說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法題型六 軌跡問題這一問題難，但是解決法非常多，有如下幾種。1.直接法：根據(jù)條件，建立坐標(biāo)系，設(shè)動點(x，y)，直接列出動點所應(yīng)滿足的方程。2.代入法：一個是動點Q(x0,y0)在已知曲線F(x,y)=0，上運動，而動點P

14、(x,y)與Q點滿足某種關(guān)系，要求P點的軌跡。其關(guān)鍵是列出P、Q兩點的關(guān)系式3.定義法：通過對軌跡點的分析，發(fā)現(xiàn)與某個圓錐曲線的定義相符，則通過這個定義求出方程。4.參數(shù)法：在x，y間的方程F(x,y)=0難以直接求得時，往往用(t為參數(shù))來反映x，y之間的關(guān)系。常用的參數(shù)有斜率k與角等。例：的一邊的的頂點是B(0,6)和C(0,-6)，另兩邊斜率的乘積是，求頂點A的軌跡方程：解：設(shè)，由題設(shè)得?；喌酶奖恚豪}例1 已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由，根據(jù)關(guān)系可求出的值解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得又，所以，適合故例2 已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過

15、點，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：因橢圓的中心在原點，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點，知又，代入得，故橢圓的方程為當(dāng)焦點在軸上時，設(shè)其方程為由橢圓過點，知又，聯(lián)立解得，故橢圓的方程為例3 的底邊，和兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解（2）由的軌跡方程、坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求的軌跡方程解： （1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標(biāo)系設(shè)點坐標(biāo)為，由，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，有，故其方程為（2）設(shè)，則 由題

16、意有代入，得的軌跡方程為，其軌跡是橢圓（除去軸上兩點）例4 已知點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點到兩焦點的距離分別為和，過點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程解：設(shè)兩焦點為、，且，從橢圓定義知即從知垂直焦點所在的對稱軸，所以在中，可求出，從而所求橢圓方程為或例5 已知橢圓方程，長軸端點為，焦點為，是橢圓上一點，求：的面積（用、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用求面積解：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限由余弦定理知： 由橢圓定義知： ，則得 故 例6 已知動圓過定點，且在定圓的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程分析

17、：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式解：如圖所示，設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點動點到兩定點，即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，即點的軌跡是以，為兩焦點，半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7 已知橢圓，（1）求過點且被平分的弦所在直線的方程；（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；（3）過引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（4）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線、斜率滿足，求線段中點的軌跡方程 分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法解：設(shè)弦兩端點分別為

18、，線段的中點，則得由題意知，則上式兩端同除以，有，將代入得（1）將，代入，得，故所求直線方程為： 將代入橢圓方程得，符合題意，為所求（2）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（3）將代入得所求軌跡方程為： （橢圓內(nèi)部分）（4）由得 ： ， ， 將平方并整理得， ， ， 將代入得： ， 再將代入式得： ， 即 此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決例8 已知橢圓及直線（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即，解得（2）設(shè)直線與橢圓的兩個交點的橫坐標(biāo)為，由（1）得，根據(jù)弦長公式得 ：

19、解得方程為說明：處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運算過程例9以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程解：如圖所示，橢圓的焦點為，點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為（9，6），直線的方程為解方程組得交點的坐標(biāo)為（5，4）此時最小所求橢圓的長軸：，又，因此，所求橢圓的方程為例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍解：由得，且滿足條件的的取值范圍是，且說明：本題易出現(xiàn)

20、如下錯解：由得，故的取值范圍是出錯的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中這個條件，當(dāng)時，并不表示橢圓例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取值范圍分析：依據(jù)已知條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍解：方程可化為因為焦點在軸上，所以因此且從而說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知，這是容易忽視的地方(2)由焦點在軸上，知， (3)求的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過和兩點的橢圓方程分析：由題設(shè)條件焦點在哪個軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計算簡便起見，可設(shè)其方程為(，)，且不必去考慮焦點在哪個坐標(biāo)軸上，直接可求出方程解：設(shè)所求橢圓方

21、程為(，)由和兩點在橢圓上可得即所以，故所求的橢圓方程為例13 知圓，從這個圓上任意一點向軸作垂線段，求線段中點的軌跡分析：本題是已知一些軌跡，求動點軌跡問題這種題目一般利用中間變量(相關(guān)點)求軌跡方程或軌跡解：設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，則，因為在圓上，所以將，代入方程得所以點的軌跡是一個橢圓說明：此題是利用相關(guān)點法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動點的坐標(biāo)為，設(shè)已知軌跡上的點的坐標(biāo)為，然后根據(jù)題目要求，使，與，建立等式關(guān)系，從而由這些等式關(guān)系求出和代入已知的軌跡方程，就可以求出關(guān)于，的方程，化簡后即我們所求的方程這種方法是求軌跡方程的最基本的方法，必須掌握例14 已知長軸為12

22、，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它對的左焦點作傾斜解為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長分析：可以利用弦長公式求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解因為，所以因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：設(shè)，為方程兩根，所以， 從而(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為，設(shè)，則，在中，即；所以同理在中，用余弦定理得，所以(法3)利用焦半徑求解先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程求出方程的兩根，它們分別是，的橫坐標(biāo)再根據(jù)焦半徑，從而求出例15橢圓上的點到焦點的距離為2，為的中點，則（為坐標(biāo)原點）的值為A4B2 C8 D解：如圖所示，設(shè)橢圓的另一個焦點為，由橢圓第一定義得，所以，又因為為的中位線，所以，故答案為A說明：(1)橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓(2)橢圓上的點必定適合橢圓的這一定義，即，利用這個等式可以解決橢圓上的點與焦點的有關(guān)距離例16 已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱分析：若設(shè)橢圓上，兩點關(guān)于直線對稱，則已知條件等價于：(1)直線；(2)弦的中點在上利用上述條件建立的不等式即可求得的取值范圍解：(法1)設(shè)橢圓上，兩點