1、太原市2020年高三年級模擬試題（一）數(shù)學試卷（理工類）一、選擇題。1.已知集合，則（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】對集合化簡，求出.【詳解】，故本題選A.【點睛】本題考查了集合的交集運算,本題的關(guān)鍵是對數(shù)不等式要解正確，不要忘記對數(shù)函數(shù)的真數(shù)要大于零.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】運用復(fù)數(shù)的除法運算法則，直接求出.【詳解】，故本題選C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算.3.下列命題中的真命題是（ ）A. 若，則向量與的夾角為鈍角B. 若，則C. 若命題“是真命題”，則命題“是真命題”D. 命題“，”的否定是“，”【答案】D

2、【解析】【分析】對于選項A：當時，向量與的夾角為鈍角或夾角，可以判斷是否為真命題；對于選項B:要注意成立時，這個特殊情況， 對此可以判斷是否為真命題；對于選項C: 命題“是真命題”中至少有一個為真命題，不能確定是真命題；對于選項D：含有特稱量詞命題否定要求改為全稱量詞，同時否定結(jié)論，對此可以判斷是否為真命題。【詳解】選項A：是鈍角或平角，所以選項A是假命題；選項B:或者，所以選項B是假命題；選項C: 命題“是真命題”中至少有一個為真命題，只有當都是真命題時，才是真命題，所以選項C是假命題；選項D;根據(jù)含有特稱量詞命題的否定要求改為全稱量詞，同時否定結(jié)論，這一原則，“，”的否定是“，”是真命題，

3、故本題選D.【點睛】本題考查了命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】用二倍角的正弦公式和誘導(dǎo)公式，對所求的式子進行化簡，根據(jù)題目特點，用，構(gòu)造出關(guān)于的雙齊式，進行求解?！驹斀狻浚驗?，所以，原式故本題選B?！军c睛】本題考查了二倍角的正弦公式及誘導(dǎo)公式。重點考查了同角三角函數(shù)之間的關(guān)系。5.已知函數(shù)在處的切線經(jīng)過原點，則實數(shù)（ ）A.B.C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出切線的斜率，利用點斜式寫出直線方程，把原點的坐標代入，求出的值，最后求出的值?！驹斀狻?，把（0，0）代入方程中， =，故本題選A。【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)

4、的幾何意義、曲線的切線方程。6.已知等比數(shù)列滿足，則（ ）A. 5B. -5C. 7D. -7【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可以求出的值，連同已知，可以求出的值，進而求出首項和公比，分類求出的值。詳解】等比數(shù)列有，而，聯(lián)立組成方程組，或，設(shè)公比為當時，解得，當時，解得，故本題選D?！军c睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、通項公式。7.下圖是某幾何體的三視圖，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（ ）A. 12B. 15C.D. 【答案】D【解析】【分析】由三視圖可以判定出這是一個底面為四邊形的四棱錐，其高為5，求出底面積，用棱錐的體積公式求出體積?！驹斀狻坑扇晥D可以判

5、定出這是一個底面為四邊形的四棱錐，其高為5.底面四邊形可以分割成二個三角形，面積，體積，故本題選D?！军c睛】本題考查了通過三視圖識別幾何體的形狀求其體積。8.在平面區(qū)域，內(nèi)任取一點，則存在，使得點的坐標滿足的概率為（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先求出平面區(qū)域的面積，找到的成立條件，利用幾何概型的公式求解?！驹斀狻慨嫵銎矫鎱^(qū)域圖中邊界及內(nèi)部是所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：，它表示在已知平面區(qū)域內(nèi)，圓心(2,0)，半徑為的圓外（包括圓周），如上圖所示：解方程組：，在已知平面區(qū)域內(nèi)，圓心(2,0)，半徑為的圓內(nèi)（包括圓周）的面積為，所求的概率，故本題選A?！军c睛】本題考查了幾何概

6、型,解決本題的關(guān)鍵是對存在，使得點的坐標滿足，這句話的理解。9.已知數(shù)列的前項和滿足，則（ ）A. 196B. 200C.D. 【答案】B【解析】【分析】已知遞推公式再遞推一步，得到兩個遞推公式，相減，對這個式子分類討論，求出需要的項，然后求值?！驹斀狻浚?）當時，（2），（1）-（2）得;,當為偶數(shù)時，當時，當為奇數(shù)時，時， 。【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推公式,重點考查了分類討論思想。10.已知雙曲線的左右焦點分別為，斜率為2直線過點與雙曲線在第二象限相交于點，若，則雙曲線的離心率是（ ）A.B.C. 2D. 【答案】B【解析】【分析】由，可知是直角三角形，且,斜率為2直線過點與雙曲線在第二

7、象限相交于點,所以，在中，利用同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，求出的值，然后求出的值，利用雙曲線的定義，可求出曲線的離心率?！驹斀狻恳驗椋灾苯侨切?，且,由意可知，所以有，由雙曲線定義可知：，故本題B?！军c睛】本題考查了雙曲線的定義以及離心率。11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則的解集是（ ）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】先對對數(shù)換元，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知，判斷構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，最后求出不等式的解集?！驹斀狻苛?構(gòu)造函數(shù)，由已知可知：，所以是上的減函數(shù)，當時，所以當時，成立，也就當時，成立，故本題選A?！军c睛】本題考查了通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求不等式解集的問題。關(guān)鍵是換元法、構(gòu)

8、造函數(shù)法。12.已知函數(shù)（，）滿足，且在上是單調(diào)函數(shù)，則的值可能是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】通過給出的等式，可以判斷出函數(shù)的對稱性，進而能求出周期，結(jié)合選項，作出判斷?！驹斀狻亢瘮?shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于對稱，同時又滿足，所以函數(shù)又關(guān)于對稱，設(shè)周期為,而顯然是奇數(shù)，當=3時，關(guān)于對稱，而，顯然不單調(diào)；當=5時，關(guān)于對稱，而，顯然單調(diào)，故本題選C【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的對稱性、周期,熟記推到周期和對稱軸的表達式是關(guān)鍵.二、填空題。13.拋物線的準線方程為_.【答案】【解析】由拋物線的標準方程為x2=y，得拋物線是焦點在y軸正半軸的拋物線，2P=1，其準線方程是

9、y=，。故答案為：。14.已知的展開式的所有項的系數(shù)和為64，則其展開式中的常數(shù)項為_.【答案】15【解析】【分析】令，可以求出，利用二項展開式的通項公式，求出常數(shù)項。【詳解】已知的展開式的所有項的系數(shù)和為64，令，得，二項展開式的通項公式為，令，所以常數(shù)項為?！军c睛】本題考查了二項展開式中所有項系數(shù)和公式。重點考查了二項展開式中的常數(shù)項。15.如圖，正方體的棱長為4，點在棱上，且，是面內(nèi)的正方形，且，是面內(nèi)的動點，且到平面的距離等于線段的長，則線段長度的最小值為_.【答案】【解析】【分析】過作,連接,則,當最小時，最小，利用空間直角坐標系，求出的表達式，求出最小值，最后求出長度的最小值?！驹?/p>

10、解】建立如下圖所示的空間直角坐標系：過作,連接,則,當最小時，最小。因為到平面的距離等于線段的長，所以時，有最小值6，所以的最小值為22，.【點睛】本題考查了空間直角坐標系的應(yīng)用問題。16.已知函數(shù)，其中，若恒成立，則當取最小值時， _.【答案】1【解析】【分析】把不等式變形為：，因此可以考慮直線與相切的情況。設(shè)出切點的坐標為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出的方程，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求出的最小值，也就能求出的值?！驹斀狻坑?，可得，設(shè)直線與相切于點，所以有，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，所以當時，有最小值，也就有當時，有最小值，此時所以.【點睛】本題考查了不等式恒成立問題,解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用導(dǎo)數(shù)得

11、出最值.三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.如圖，已知的內(nèi)角，的對邊分別是，且，點是的中點，交于點，且，.（1）求；（2）求的面積.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）通過正弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，再應(yīng)用余弦定理，可求出。（2）根據(jù)已知條件可以確定，并求出它們的表達式，在中，運用外角與內(nèi)角的關(guān)系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出面積?！驹斀狻拷猓?），由得，由余弦定理得，:（2）連接，如下圖：是的中點，在中，由正弦定理得， ，【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理、三角形面積公式。18.如圖，在五面體中，面是直角梯形，面是菱形，.（I）證明：；（I）已知點在線段上

12、，且，若二面角的大小為，求實數(shù)的值.【答案】(1)見證明；(2) 【解析】【分析】（1）通過菱形的性質(zhì)可以得到，通過計算，由勾股定理的逆定理，可以得到，已知，能推出，也就能推出面，最后證出（2建立空間直角坐標系，分別求出平面DFP和平面的法向量，利用空間向量數(shù)量積，求出的值?！驹斀狻浚?）證明：是菱形，面，；. （2）由（I）知以為坐標原點，的方向為軸的正方向，為單位長，建立如下圖的空間直角坐標系，由題設(shè)可得，.，設(shè)是平面DFP的一個法向量，則 令，則=，由（1）可知是平面的一個法向量，二面角的大小為60，.【點睛】本題考查了線線垂直，利用空間向量數(shù)量積求參數(shù)。19.為方便市民出行，倡導(dǎo)低碳出

13、行.某市公交公司推出利用支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，在推廣期內(nèi)采用隨機優(yōu)惠鼓勵市民掃碼支付乘車.該公司某線路公交車隊統(tǒng)計了活動推廣期第一周內(nèi)使用掃碼支付的情況，其中（單位：天）表示活動推出的天次，（單位：十人次）表示當天使用掃碼支付的人次，整理后得到如圖所示的統(tǒng)計表1和散點圖.表1：x第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天y71220335490148（1）由散點圖分析后，可用作為該線路公交車在活動推廣期使用掃碼支付的人次關(guān)于活動推出天次的回歸方程，根據(jù)表2的數(shù)據(jù)，求此回歸方程，并預(yù)報第8天使用掃碼支付的人次（精確到整數(shù)）.表2：4523.5140206911

14、2表中，.（2）推廣期結(jié)束后，該車隊對此期間乘客的支付情況進行統(tǒng)計，結(jié)果如表3.表3：支付方式現(xiàn)金乘車卡掃碼頻率10%60%30%優(yōu)惠方式無優(yōu)惠按7折支付隨機優(yōu)惠(見下面統(tǒng)計結(jié)果)統(tǒng)計結(jié)果顯示，掃碼支付中享受5折支付的頻率為，享受7折支付的頻率為，享受9折支付的頻率為.已知該線路公交車票價為1元，將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記隨機變量為在活動期間該線路公交車搭載乘客一次的收入（單位：元），求的分布列和期望.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)，人次為2447 (2)見解析【解析】【分析】（1）由題意得，利用所給的公式求出，求出關(guān)于

15、的線性回歸方程，然后預(yù)測第8天的使用掃碼支付的人次；（2）由題意得的所有取值為0.5，0.7，0.9，1，求出所有取值的概率，然后列出分布列，算出期望?！驹斀狻拷猓海?）由題意得， 關(guān)于的線性回歸方程為，關(guān)于的回歸方程為，當時，第8天使用掃碼支付的人次為2447；（2）由題意得的所有取值為0.5，0.7，0.9，1，的分布列為：0.50.70.91P0.100.750.050.10【點睛】本題考查了線性回歸方程、離散型隨機變量公布列、數(shù)學期望。20.已知橢圓的左、右焦點分別是，是其左右頂點，點是橢圓上任一點，且的周長為6，若面積的最大值為.（1）求橢圓的方程；（2）若過點且斜率不為0的直線交橢

16、圓于，兩個不同點，證明：直線與的交點在一條定直線上.【答案】(1) (2)見解析【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義，可求出周長的表達式，當點是橢圓的上（或下）頂點時，面積有最大值為，列出等式，結(jié)合，求出橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得到一個一元二次方程，求出直線與的交點的坐標，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，得出結(jié)論。【詳解】解：（1）由題意得橢圓的方程為；（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，由，得，直線的方程為，直線的方程為，直線與的交點在直線上.【點睛】本題考查了橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、定直線問題。21.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當，時，若對于任意，

17、都存在，使得，證明：.【答案】(1) 當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； (2)見證明【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分類討論函數(shù)的正負性，求出單調(diào)區(qū)間；（2）對式子進行化簡，結(jié)合，得到，計算的值，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，證出，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，.【詳解】（1）解：由題意得，當時，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當時，令則；令則，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減； （2）證明：當時，令，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。22.在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為，以原點0為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若曲線

18、方程中的參數(shù)是，且與有且只有一個公共點，求的普通方程；（2）已知點，若曲線方程中的參數(shù)是，且與相交于，兩個不同點，求的最大值.【答案】(1)或 (2) 【解析】【分析】（1）利用公式直接把極坐標方程化為直角坐標方程，利用圓與圓相切，可以得到等式，求出的值；（2）把曲線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，得到一個一元二次方程，設(shè)與點，相對應(yīng)的參數(shù)分別是，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，求出的表達式，求出最大值。【詳解】解：（1），曲線的直角坐標方程為，是曲線的參數(shù)，的普通方程為，與有且只有一個公共點，或，的普通方程為或（2）是曲線的參數(shù)，是過點的一條直線，設(shè)與點，相對應(yīng)的參數(shù)分別是，把，代入得，當時，取最大