1、1,第三章 貝葉斯估計,3.1貝葉斯推斷方法 一 、統(tǒng)計推斷中可用的三種信息,美籍波蘭統(tǒng)計學(xué)家耐(E.L.Lehmann18941981)高度概括了在統(tǒng)計推斷中可用的三種信息：,1總體信息，即總體分布或所屬分布族給我們的信息。譬如“總體是指數(shù)分布”或“總體是正態(tài)分布”在統(tǒng)計推斷中都發(fā)揮重要作用，只要有總體信息，就要想方設(shè)法在統(tǒng)計推斷中使用。,2樣本信息，即樣本提供我們的信息，這是任一種統(tǒng)計推斷中都需要。,2,3先驗信息，即在抽樣之前有關(guān)統(tǒng)計推斷的一些信息。譬如，在估計某產(chǎn)品的不合格率時，假如工廠保存了過去抽檢這種產(chǎn)品質(zhì)量的資料，這些資料（包括歷史數(shù)據(jù)）有時估計該產(chǎn)品的不合格率是有好處的。這些資

2、料所提供的信息就是一種先驗信息。又如某工程師根據(jù)自己多年積累的經(jīng)驗對正在設(shè)計的某種彩電的平均壽命所提供的估計也是一種先驗信息。由于這種信息是在“試驗之前”就已有的，故稱為先驗信息。,以前所討論的點估計只使用前兩種信息，沒有使用先驗信息。假如能把收集到的先驗信息也利用起來，那對我們進(jìn)行統(tǒng)計推斷是有好處的。只用前兩種信息的統(tǒng)計學(xué)稱為經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)，三種信息都用的統(tǒng)計學(xué)稱為貝葉斯統(tǒng)計學(xué)。本節(jié)將簡要介紹貝葉斯統(tǒng)計學(xué)中的點估計方法。,3,二、貝葉斯公式的密度函數(shù)形式,貝葉斯統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)是著名的貝葉斯公式，它是英國學(xué)者貝葉斯（T.R.Bayes17021761）在他死后二年發(fā)表的一篇論文論歸納推理的一種方法中

3、提出的。經(jīng)過二百年的研究與應(yīng)用，貝葉斯的統(tǒng)計思想得到很大的發(fā)展，形成一個統(tǒng)計學(xué)派貝葉斯學(xué)派。為了紀(jì)念他，英國歷史最悠久的統(tǒng)計雜志Biometrika在1958年又全文刊登貝葉斯的這篇論文。,初等概率論中的貝葉斯公式是用事件的概率形式給出的。可在貝葉斯統(tǒng)計學(xué)中應(yīng)用更多的是貝葉斯公式的密度函數(shù)形式。下面結(jié)合貝葉斯統(tǒng)計學(xué)的基本觀點來引出其密度函數(shù)形式。貝葉斯統(tǒng)計學(xué)的基本觀點可以用下面三個觀點歸納出來。,4,假設(shè) 隨機變量X有一個密度函數(shù)p（x；），其中是一個參數(shù)，不同的對應(yīng)不同的密度函數(shù)，故從貝葉斯觀點看，p（x；）在給定后是個條件密度函數(shù)，因此記為p（x）更恰當(dāng)一些。這個條件密度能提供我們的有關(guān)的

4、信息就是總體信息。,假設(shè) 當(dāng)給定后，從總體p（x）中隨機抽取一個樣本X1，Xn，該樣本中含有的有關(guān)信息。這種信息就是樣本信息。,假設(shè) 我們對參數(shù)已經(jīng)積累了很多資料，經(jīng)過分析、整理和加工，可以獲得一些有關(guān)的有用信息，這種信息就是先驗信息。參數(shù)不是永遠(yuǎn)固定在一個值上，而是一個事先不能確定的量。,5,從貝葉斯觀點來看，未知參數(shù)是一個隨機變量。描述這個隨機變量的分布可從先驗信息中歸納出來，這個分布稱為先驗分布，其密度函數(shù)用（）表示。,1 先驗分布 定義3.1 將總體中的未知參數(shù)看成一取值于的隨機變量，它有一概率分布，記為（），稱為參數(shù)的先驗分布。,2 后驗分布 在貝葉斯統(tǒng)計學(xué)中，把以上的三種信息歸納起

5、來的最好形式是在總體分布基礎(chǔ)上獲得的樣本X1，Xn，和參數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù),6,在這個聯(lián)合密度函數(shù)中。當(dāng)樣本 給定之后，未知的僅是參數(shù)了，我們關(guān)心的是樣本給定后，的條件密度函數(shù)，依據(jù)密度的計算公式，容易獲得這個條件密度函數(shù),這就是貝葉斯公式的密度函數(shù)形式， 稱為的后驗密度函數(shù)，或后驗分布。而,7,是樣本的邊際分布，或稱樣本 的無條件分布，它的積分區(qū)域就是參數(shù)的取值范圍，隨具體情況而定。,前面的分析總結(jié)如下：人們根據(jù)先驗信息對參數(shù)已有一個認(rèn)識，這個認(rèn)識就是先驗分布（）。通過試驗，獲得樣本。從而對的先驗分布進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整的方法就是使用上面的貝葉斯公式，調(diào)整的結(jié)果就是后驗分布 。后驗分布是三種信息的綜

6、合。獲得后驗分布使人們對的認(rèn)識又前進(jìn)一步，可看出，獲得樣本的的效果是把我們對的認(rèn)識由（）調(diào)整到 。所以對的統(tǒng)計推斷就應(yīng)建立在后驗分布 的基礎(chǔ)上。,8,例1 設(shè)事件A的概率為 ，即 。為了估計 而作n次獨立觀察，其中事件A出現(xiàn)次數(shù)為X， 則有X服從二項分布 即,如果此時我們對事件A的發(fā)生沒有任何了解，對 的大小也沒有任何信息。在這種情況下，貝葉斯建議用區(qū)間（0，1）上的均勻分布作為的先驗分布。因為它在（0，1）上每一點都是機會均等的。這個建議被后人稱為貝葉斯假設(shè)。,9,此式在定義域上與二項分布有區(qū)別。再計算X的邊際密度為,樣本X與參數(shù)的聯(lián)合分布為,即,10,拉普拉斯計算過這個概率,研究男嬰的誕生

7、比例是否大于0.5?如抽了251527個男嬰,女嬰241945個,貝葉斯統(tǒng)計學(xué)首先要想方設(shè)法先去尋求的先驗分布。先驗分布的確定大致可分以下幾步：,第一步，選一個適應(yīng)面較廣的分布族作先驗分布族，使它在數(shù)學(xué)處理上方便一些，這里我們選用分布族,11,注：,作為的先驗分布族是恰當(dāng)?shù)模瑥囊韵聨追矫婵紤]：,1 參數(shù)是廢品率，它僅在（0，1）上取值。因此，必需用區(qū)間（0，1）上的一個分布去擬合先驗信息。分布正是這樣一個分布。,2 分布含有兩個參數(shù)a與b，不同的a與b就對應(yīng)不同的先驗分布，因此這種分布的適應(yīng)面較大。,12,3 樣本X的分布為二項分布b（n，）時，假如的先驗分布為分布，則用貝葉斯估計算得的后驗分

8、布仍然是分布，只是其中的參數(shù)不同。這樣的先驗分布（分布）稱為參數(shù)的共軛先驗分布。選擇共軛先驗分布在處理數(shù)學(xué)問題上帶來不少方便。,4 國內(nèi)外不少人使用分布獲得成功。,第二步，根據(jù)先驗信息在先驗分布族中選一個分布作為先驗分布，使它與先驗信息符合較好。利用的先驗信息去確定分布中的兩個參數(shù)a與b。從文獻(xiàn)來看，確定a與b的方法很多。例如，如果能從先驗信息中較為準(zhǔn)確地算得先驗平均和先驗方差，則可令其分別等于分布的期望與方差最后解出a與b。,13,如果從先驗信息獲得 則可解得a=3，b=12這意味著的先驗分布是參數(shù)a=3，b=12的分布。 假如我們能從先驗信息中較為準(zhǔn)確地把握的兩個分位數(shù)，如確定確定的10分

9、位數(shù)0。1和50的中位數(shù)0。5，那可以通過如下兩個方程來確定a與b。,14,假如的信息較為豐富，譬如對此產(chǎn)品經(jīng)常進(jìn)行抽樣檢查，每次都對廢品率作出一個估計，把這些估計值看作的一些觀察值，再經(jīng)過整理，可用一個分布去擬合它。,假如關(guān)于的信息較少，甚至沒有什么有用的先驗信息，那可以用區(qū)間（0，1）上的均勻分布（a=b=1情況）。用均勻分布意味著我們對的各種取值是“同等對待的”，是“機會均等的”。,15,貝葉斯本人認(rèn)為，當(dāng)你對參數(shù)的認(rèn)識除了在有限區(qū)間（c，d）之外，其它毫無所知時，就可用區(qū)間（c，d）上的均勻分布作為的先驗分布。這個看法被后人稱之為“貝葉斯假設(shè)”。 確定了先驗分布后，就可計算出后驗分布，

10、過程如下：,x=0，1，n，01,于是X的邊際分布為,16,最后在給出X=x的條件下，的后驗密度為,顯然這個后驗分布仍然是分布，它的兩個參數(shù)分別是a+x和b+n-x。我們選后驗期望作為的貝葉斯估計，則的貝葉斯估計為,與前面的極大似然估計是不同的。,17,如果用（0，1）上的均勻作為的先驗分布，則的貝葉斯估計為,計算如下：,后驗分布為,18,三、 常用的一些共軛先驗分布,對于一些常用的指數(shù)分布族，如果僅對其中的參數(shù)感興趣，下表列出了它們的共軛先驗分布及后驗期望。,19,EX1 設(shè)是一批產(chǎn)品的不合格率，已知它不是0.1就是0.2，且其先驗分布為（0.1）=0.7,（0.2）=0.3 假如從這批產(chǎn)品

11、中隨機取8個進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)有2個不合格，求的后驗分布。,解：,20,EX2 設(shè)一卷磁帶上的缺陷數(shù)服從泊松分布P（）其中可取1.0和1.5中的一個,又設(shè)的先驗分布為 （1.0）=0.4 （1.5）=0.6 假如檢查一卷磁帶發(fā)現(xiàn)了3個缺陷，求的后驗分布。,21,四、貝葉斯推斷（估計）,條件方法,由于未知參數(shù)的后驗分布是集三種信息（總體、樣本和先驗）于一身，它包含了所有可供利用的信息。故有關(guān)的參數(shù)估計和假設(shè)檢驗等統(tǒng)計推斷都按一定方式從后驗分布提取信息，其提取方法與經(jīng)典統(tǒng)計推斷相比要簡單明確得多?；诤篁灧植嫉慕y(tǒng)計推斷就意味著只考慮已出現(xiàn)的數(shù)據(jù)（樣本觀察值）而認(rèn)為未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)與推斷無關(guān)，這一重要的觀點

12、被稱為“條件觀點”，基于這種觀點提出的統(tǒng)計方法被稱為條件方法。,22,例如經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)認(rèn)為參數(shù)的無偏估計應(yīng)滿足： 其中平均是對樣本空間中所有可能出現(xiàn)的樣本而求的，可實際中樣本空間中絕大多數(shù)樣本尚未出現(xiàn)過，而多數(shù)從未出現(xiàn)的樣本也要參與平均是實際工作者難以理解的。故在貝葉斯推斷中不用無偏性，而條件方法是容易被實際工作者理解和接受的。,23,估計,1.貝葉斯估計,定義3.2 使后驗密度 達(dá)到最大的值 稱為最大后驗估計；后驗分布的中位數(shù) 稱為后驗中位數(shù)估計；后驗分布的期望值 稱為 的后驗期望值估計，這三個估計都稱為貝葉斯估計，記為 。,例1 為估計不合格率 ，今從一批產(chǎn)品中隨機抽取n件，其中不合格品數(shù)X

13、服從 ，一般選取 為 的先驗分布，設(shè) 已知，由共軛先驗分布可知， 的后驗分布為 可計算得：,24,選用貝葉斯假設(shè) ，則,第一、在二項分布時， 的最大后驗估計就是經(jīng)典統(tǒng)計中的極大似然估計，即 的極大似然估計就是取特定的先驗分布下的貝葉斯估計。,第二、 的后驗期望值估計 要比最大后驗估計 更合適一些。,第三、 的后驗期望值估計要比最大后驗估計更合適一些。 表2.1列出四個實驗結(jié)果,在試驗1與試驗2中,“抽檢3個產(chǎn)品沒有一件不合格”與抽檢10個產(chǎn)品沒有一件是不合格”這兩件事在人們心目中留下的印象是不同的。后者的質(zhì)量要比前者的質(zhì)量更信得過。,25,表3.1 不合格率 的二種貝葉斯估計的比較,26,在試

14、驗3和試驗4中，“抽檢3個產(chǎn)品全部不合格”與抽檢“10個產(chǎn)品全部不合格”也是有差別的。在實際中，人們經(jīng)常選用后驗期望估計作為貝葉斯估計。,2.貝葉斯估計的誤差,設(shè) 是 的一個貝葉斯估計，在樣本給定后， 是一個數(shù)，在綜合各種信息后， 是按 取值，所以評價一個貝葉斯估計的誤差的最好而又簡單的方式是用對 的后驗均方差或平方根來度量，定義如下：,稱為 的后驗均方差,而其平方根稱為后驗標(biāo)準(zhǔn)差.,定義3.2 設(shè)參數(shù)的后驗分布為 , 貝葉斯估計為 ,則 的后驗期望,27,當(dāng) 時,則 ,稱為后驗均方差. 后驗均方差與后驗方差有如下關(guān)系:,這表明,當(dāng) 時,可使后驗均方差達(dá)到最小,實際中常取后驗均值作為 的貝葉斯

15、估計值.,28,例2 設(shè)一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個一個進(jìn)行,直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格品為止,若X為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品時已檢查的產(chǎn)品數(shù),則X服從幾何分布,其分布列為,設(shè) 的先驗分布為 , 如今只獲得一個樣本觀察值x=3,求 的最大后驗估計,后驗期望估計,并計算它的誤差.故聯(lián)合分布為,X=3的無條件概率為(利用全概率公式),29,故,或,可看出, 的最大后驗估計,的后驗方差為,30,3.區(qū)間估計(可信區(qū)間),對于區(qū)間估計問題,貝葉斯方法具有處理方便和含義清晰的優(yōu)點,而經(jīng)典方法求置信區(qū)間常受到批評.,定義3.3 參數(shù) 的后驗分布為 ,對給定的樣本 和概率 ,若存在這樣的二個統(tǒng)計量 與 ,使得,則

16、稱區(qū)間 為參數(shù)的可信水平為 貝葉斯可信區(qū)間,或簡稱為 的 可信區(qū)間.而滿足,31,的 稱為 的 (單側(cè))可信下限.,滿足 的 稱 為 的 (單側(cè))可信上限.,這里的可信水平和可信區(qū)間與經(jīng)典統(tǒng)計中的置信水平與置信區(qū)間雖是同類的概念,但兩者還是有本質(zhì)的差別,主要表現(xiàn)在下面二點:,1. 在條件方法下,對給定的樣本 和可信水平 ,通過后驗分布可求得具體的可信區(qū)間,譬如, 的可信水平為0.9的可信區(qū)間是 ,這時我們可以寫出,32,2.在經(jīng)典統(tǒng)計中尋求置信區(qū)間有時是困難的,因為它要設(shè)法構(gòu)造一個樞軸量,使它的分布不含未知參數(shù),這是一項技術(shù)性很強的工作.相比之下可信區(qū)間只要利用后驗分布,不需要再去尋求另外的分

17、布, 可信區(qū)間的尋求要簡單得多.,例3 設(shè) 是來自正態(tài)總體 的一個樣本觀察值,其中 已知,若正態(tài)均值的先驗分布取為 ,其中 與 已知,則可求得 的后驗分布為 ,由此獲得 的 可信區(qū)間,33,EX1 設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為 (1)假如的先驗分布為U(0,1),求的后驗分布. (2)假如的先驗分布為 求的后驗分布及后驗期望估計,34,3、2貝葉斯決策方法,決策就是對一件事作決定。它與推斷的差別在于是否涉及后果。統(tǒng)計學(xué)家在作推斷時是按統(tǒng)計理論進(jìn)行的，但很少考慮結(jié)論在使用后的損失。可決策者在使用推斷時必需與得失聯(lián)系在一起，能帶來利潤的就會使用，使他遭受損失的就不會采用，度量得失的尺度就是損失函數(shù)。它

18、是著名的統(tǒng)計學(xué)家A.Wald（19021950）在40年代引入的一個概念。從實際歸納出損失函數(shù)是決策的關(guān)鍵。,貝葉斯決策：把損失函數(shù)加入貝葉斯推斷就形成 貝葉斯決策論，損失函數(shù)被稱為貝葉斯統(tǒng)計中的第四種信息。,35,一、決策的基本概念,例1 設(shè)甲乙二人進(jìn)行一種游戲，甲手中有三張牌， 分別標(biāo)以 。乙手中也有三張牌，分別標(biāo)以 。游戲的規(guī)則是雙方各自獨立的出牌，按下表計算甲的得分與乙的得分。,36,這是一個典型的雙人博弈（賭博）問題。不少實際問題可歸納為雙人博弈問題。把上例中的乙方改為自然或社會，就形成人與自然（或社會）的博弈問題。,例2 農(nóng)作物有兩個品種：產(chǎn)量高但抗旱能力弱的品種 和抗旱能力強但產(chǎn)

19、量低的品種 。 在明年雨量不知的情況下，農(nóng)民應(yīng)該選播哪個品種可使每畝平均收益最大？這是人與自然界的博弈。以明年60mm雨量為界來區(qū)分雨量充足 和雨量不充足 。寫出收益矩陣（單位：元）,37,例3 一位投資者有一筆資金要投資，有以下幾個投資供他選擇：,購買股票，根據(jù)市場情況，可凈賺5000元，但可 能使他虧損10000元,存入銀行，不管市場情況如何總可凈賺1000元,這位投資者在金融市場博弈。未來的金融市場也有兩種情況：看漲 與看跌 可寫出投資者的收益矩陣,投資者將依據(jù)收益矩陣決定他的資金投向何方,這種人與自然（或社會）的博弈問題稱為決策問題,38,二、決策的三要素,1 狀態(tài)集 ，其中每個元素

20、表示自然界（或社會）可能出現(xiàn)的一種狀態(tài)，所有可能狀態(tài)的全體組成狀態(tài)集。,2 行動集 ，其中a表示人對自然界可能采取的一個行動,一般行動集有兩個以上的行動可供選擇。若有兩個行動無論對自然界的哪一個狀態(tài)出現(xiàn)， 總比 收益高，則 就沒有存在的必要，可把它從行動集中去掉，使留在行動集中的行動總有可取之處。,39,3 收益函數(shù) ，函數(shù)值 表示當(dāng)自然界處于狀態(tài) ，而人們選取行動 時所得到的收益大小。,收益函數(shù)的值可正可負(fù)，若正表示盈利，負(fù)表示虧損，單位常用貨幣單位，收益函數(shù)的建立不是件容易的事，要對所研究的問題有全面的了解才能建立起來。收益矩陣,40,三、損失函數(shù),1、從收益到損失,為了統(tǒng)一處理，在決策中

21、常用一個更為有效的概念：損失函數(shù)。在狀態(tài)集和行動集都為有限時用損失矩陣。,這里的損失函數(shù)不是負(fù)的收益，也不是虧損。例如，某商店一個月的經(jīng)營收益為1000元，即虧1000元。這是對成本而言。我們不能稱為損失，而稱其為虧損。我們講的損失是指“該賺而沒有賺到的錢”，例如該店本可以賺2000元，當(dāng)由于某種原因虧了1000元，那我們說該店損失了3000元。用這種觀點認(rèn)識損失對提高決策意識是有好處的。,按上述觀點從收益函數(shù)可以很容易獲得損失函數(shù)。,41,例4 某公司購進(jìn)某種貨物可分大批、中批和小批三種行動，記為 ，未來市場需求量可分為高、中、低三種狀態(tài)，記為 ，三個行動在不同的市場的利潤如下,這是一個收益矩陣，我們把它改寫為損失矩陣如下：,42,2、損失函數(shù),構(gòu)成決策問題的三要素：,由收益函數(shù)容易獲得損失函數(shù),例5 某公司購進(jìn)一批貨物投放市場，若購進(jìn)數(shù)量a低于市場需求量 ，每噸可賺15萬元。若購進(jìn)數(shù)量超過市場需求量 ，超過部分每噸反要虧損35萬元。由此可寫出收益函數(shù),43,顯然，當(dāng)購進(jìn)數(shù)量a等于市場