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文檔簡介

,首先證明第一格林公式,格林公式一般表示為：,D,x,y,兩式相減得,3：建立二維情況下調(diào)和函數(shù)的積分表達式。,取 u 為調(diào)和函數(shù)，,= 0,在圓周 上，,代入到等式：,同理,稱 為拉普拉斯方程格林函數(shù)。,則平面上狄氏問題,解的表達式為,則,4. 平面上狄氏問題解的表達式,求球域(R )的Green函數(shù)及Laplace方程的Dirichlet 問題的解.,解：1) 設(shè)M0為球內(nèi)任一點，,P 為球面上一點。,則Green函數(shù)為,由余弦定理，在極坐標(biāo)下,其中, 是 OM0與 OM 的夾角。,又,2) 計算,所以球坐標(biāo)下Laplace方程Dirichlet問題的解為：,球的Piosson公式,二維平面上基本解為,設(shè)M0為圓域 (R)內(nèi)的一點，,在M0點放一單位正電荷,在OM0的延長線上某點,物理意義：平面上M0點處單位正線電荷在介電常數(shù)為1的介質(zhì)中產(chǎn)生的場。,M0點處電荷密度為q的線電荷產(chǎn)生的場的大小為,處放一電量為q負電荷，則這兩個線電荷在圓內(nèi)點,所產(chǎn)生的電勢為,由余弦定理，在極坐標(biāo)下,其中,是 OM， OM0,與x軸的夾角的夾角。,由條件,上式對任意 都成立，故,即,化簡可得,線性無關(guān)，故得,解之,代入,解得,又,所以極坐標(biāo)下圓域的Green函數(shù)為：,6

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