1、第四章 數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計 一數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的內(nèi)容 數(shù)學(xué)概念是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性，是人們通過實踐，從數(shù)學(xué)所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而成的。概念的形成，標(biāo)志人的認識已從感性認識上升為理性認識。 數(shù)學(xué)概念是進行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點。因此數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要的組成部分。 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的實質(zhì)就是概括出數(shù)學(xué)中一類事物的共同本質(zhì)屬性，正確區(qū)分同類事物的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，概念的肯定例證和否定例證。,一般來說，數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)包括以下四個方面： 第一，數(shù)學(xué)概念名稱。例如“三

2、角形”、“正方體”和“圓”等。 第二，數(shù)學(xué)概念定義。例如“三角形”的定義是“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形”。 第三，數(shù)學(xué)概念的例子。符合數(shù)學(xué)概念定義的事物是數(shù)學(xué)例如直角三角形是“三角形”的正例，而四邊形則是“三角形”的反例。 第四，數(shù)學(xué)概念屬性。例如“三角形”這個數(shù)學(xué)概念的屬性是平面圖形、封閉的、有三條邊、有三個角等。,二、數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形式 數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的形式一般有兩種： 1.數(shù)學(xué)概念形成 數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實際例子出發(fā)，經(jīng)過比較與分類，最后通過概括得到定義并用符號表達出來。數(shù)學(xué)概念形成的過程有以下幾個階段： (1)觀察實例。觀察概念的各種不同的正面實例，可以是日

3、常 生活中的經(jīng)驗或事物，也可以是教師提供的典型事例。例如要形成平行線的概念，可以觀察黑板相對的兩條邊，立在路邊的兩根電線桿，橫格練習(xí)本中的兩條橫線等。,(2)分析共同屬性。分析所觀察實例的屬性，通過比較得出各 實例的共同屬性。例如上面的各個實例分別有各自的屬性，通過比較可以得出它們的共同屬性是：兩條直線、在同一個平面內(nèi)、兩條直線間的距離處處相等、兩條直線不相交、兩條直線可以向兩邊無限延伸等。 (3)抽象本質(zhì)屬性。從上面得出的共同屬性中提出本質(zhì)屬性的假設(shè)。例如提出平行線的本質(zhì)屬性的假設(shè)是：在同一個平面內(nèi)、兩條直線距離處處相等、兩條直線不相交。,(4)確認本質(zhì)屬性。通過比較正例和反例檢驗假設(shè)，確認

4、本質(zhì) 屬性。例如舉出平行直線、相交直線的例子確認平行線的本質(zhì)屬性。 (5)概括定義。在驗證假設(shè)的基礎(chǔ)上，從具體實例中抽象出本 質(zhì)屬性，推廣到一切同類事物，概括出概念的定義。例如可以概括出“在同一個平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線”。 (6)符號表示。用習(xí)慣的形式符號表示概念。例如平行線用符 號“”表示。,(7)具體運用。通過舉出概念的實例，在一類事物中辨認出概念，或運用概念解答數(shù)學(xué)問題，使新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念建立起牢固的實質(zhì)性聯(lián)系，把所學(xué)的概念納入到相應(yīng)的概念體系中。,2數(shù)學(xué)概念同化 概念同化是美國心理學(xué)家戴維奧蘇伯爾(Davad.Ausubel)提出的一種概念學(xué)習(xí)形式。指的是新

5、信息與原有的認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念相互發(fā)生作用，實現(xiàn)新舊知識的意義的同化，從而使原有認知結(jié)構(gòu)發(fā)生某些變化。數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)過程一般是直接揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，通過對數(shù)學(xué)概念的分類和比較，建立與原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，明確新的數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，再通過實例的辨認，將新數(shù)學(xué)概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的某些數(shù)學(xué)概念相區(qū)別，將新的數(shù)學(xué)概念納入到相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)中，從而完善原有的知識結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)過程有以下幾個階段：,(1)揭示本質(zhì)屬性。給出概念的定義名稱和符號，揭示概念的 本質(zhì)屬性。例如學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念，先學(xué)習(xí)它的定義：“如果 ，那么 的二次函數(shù)?！?(2)討論特例。對概念進行

6、特殊的分類，討論各種特例，突出概念的本質(zhì)同性。例如二次函數(shù)的特例是： ， 等。,(3)新舊概念聯(lián)系。使新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念建立聯(lián)系，把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，同化新概念。例如把二次函數(shù)和一次函數(shù)、函數(shù)等聯(lián)系起來，把它納入到函數(shù)概念的體系中。 (4)實例辨認。辨認正例和反例，確認新概念的本質(zhì)屬性，使新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念精確分化。例如舉出 等讓學(xué)生辨認。,(5)具體運用。通過各種形式運用概念，加深對新概念的理解， 使有關(guān)概念融會貫通成整體結(jié)構(gòu)。,數(shù)學(xué)概念形成與數(shù)學(xué)概念同化是有區(qū)別的，數(shù)學(xué)概念形成需要的是對物體或事件的直接經(jīng)驗，從這些物體或事件中抽象出它們的共同屬性。而在數(shù)

7、學(xué)概念同化的過程中，新的數(shù)學(xué)概念的共同屬性一般都是教師指出的，不需要學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，重要的是使學(xué)生把新知識與頭腦中已有的有關(guān)知識聯(lián)系起來。在數(shù)學(xué)概念形成過程中，要求學(xué)生對所發(fā)現(xiàn)的共同同性進行檢驗，并通過對所發(fā)現(xiàn)的共同屬性的修正，最終確定它們的本質(zhì)屬性。而在數(shù)學(xué)概念同化過程中，則要求學(xué)生辨別所學(xué)習(xí)的新概念與原有認知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)概念的異同，并將新概念納入到原有的認知結(jié)構(gòu)中去。,但是數(shù)學(xué)概念形成與數(shù)學(xué)概念同化也不是互相排斥的，在教學(xué)中把這兩種數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)形式有機地結(jié)合起來，常?？梢允盏捷^好的效果。具體做法可以是，教師在向?qū)W生講述定義之前*有意識地舉出一些數(shù)學(xué)概念的實際例子，一方面讓學(xué)生觀察、思考，并

8、從中歸納事物的本質(zhì)屬性，另一方面又直接揭示這些例子中所蘊含的某一類事物的本質(zhì)屬性，并給出有關(guān)數(shù)學(xué)概念的定義。這樣學(xué)生對數(shù)學(xué)概念既有感性認識又有理性認識，從具體到抽象，符合人的認識規(guī)律，同時又可提高教學(xué)效率，使學(xué)生能在較短的時間內(nèi)正確理解數(shù)學(xué)概念所反映的事物的本質(zhì)同性。,第二節(jié) 數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程設(shè)計 一、對數(shù)學(xué)概念的分析 在進行數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程設(shè)計之前，必須對數(shù)學(xué)概念進行分析。 除了前面所說的背景、功能和結(jié)構(gòu)分析以外，還需進行以下幾個方面的分析： 1數(shù)學(xué)概念的名稱和表達形式 例如平行四邊形的概念的名稱是“平行四邊形”，用符號表示,2。數(shù)學(xué)概念的定義 例如平行四邊形的定義是“兩組對邊分別平行的四邊

9、形叫做平行四邊形”。,3數(shù)學(xué)概念的例子 舉出與數(shù)學(xué)概念相一致的正例以及與數(shù)學(xué)概念不一致的反例。 對于不符合數(shù)學(xué)概念的反例應(yīng)能細分出與概念不一致的地方。例如矩形是平行四邊形的正例，梯形是平行四邊形的反例。矩形兩組對邊分別平行，而梯形一組對邊平行，另一組對邊不平行。 4數(shù)學(xué)概念的屬性 例如平行四邊形的屬性有：對邊平行、對邊相等、對角相等和對角線互相平分等。 5數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)形式 從學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中篩選出與新概念有關(guān)的一些概念，確定所篩選出的概念與新概念的上位、下位與并列關(guān)系。例如在學(xué)習(xí)平行四邊形概念之前，學(xué)生原有認知結(jié)構(gòu)中的四邊形概念是平行四邊形的概念的上位概念，平行四邊形概念學(xué)習(xí)是下位學(xué)習(xí)。,

10、二、數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程的設(shè)計 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)過程一般分成引入、理解和運用幾個階段下面我們分別加以說明。 1.數(shù)學(xué)概念的引入 引入數(shù)學(xué)概念是理解和運用數(shù)學(xué)概念的前提。數(shù)學(xué)概念形成的學(xué)習(xí)方式，主要是通過提供一定數(shù)量的實例來引入數(shù)學(xué)概念，從這些實例中概括出它們的共同同性。因此恰當(dāng)?shù)剡x擇實例是非常重要的，在選擇時要注意以下幾個方面： (1)針對性。應(yīng)圍繞數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性選擇實例，要淡化這 些實例中的非本質(zhì)同性，以免干擾數(shù)學(xué)概念的形成。,2)可比性。既要設(shè)計所要形成的數(shù)學(xué)概念的正例，又要設(shè)計不符合這一概念的反例，在概念引入階段，正例與反例應(yīng)當(dāng)容易識別，能明顯區(qū)分它們的某些不同屬性。 (3)適量性。實例要有一定的數(shù)量，數(shù)量太少不足以形成概念， 數(shù)量太多會浪費學(xué)習(xí)時間并使學(xué)生感到乏味，實例的數(shù)量應(yīng)因人而異，為此應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與接受能力。 (4)趣味性。實例應(yīng)盡可能生動、有趣，語言要簡練，以利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可借助實物模型、圖片、錄像、多媒體課件等多種形式引入概念。 (5)參與性。組織學(xué)生對所列舉的實例進行比較、分類，并進一步展開討論，找出它們的本質(zhì)屬性。,數(shù)學(xué)概念同化的學(xué)習(xí)方式，直接揭示概念的本質(zhì)屬性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的定義、名稱和符號。為了使新概