1、主講教師:冉揚(yáng)強(qiáng),工程數(shù)學(xué) 復(fù)變函數(shù),輔導(dǎo)課程十二,第三章 復(fù)變函數(shù)的積分 5 柯西積分公式,第二篇 復(fù)變函數(shù),5 柯西積分公式 定理(柯西積分公式)：設(shè) c 為區(qū)域D 的邊界， 在 上解析，則對(duì)于區(qū)域D內(nèi)任一點(diǎn) ，有 討論： 1)柯西公式表明，對(duì)于某有界閉區(qū)域上解析的函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值用它在邊界上的值表示出來(lái). 或者說(shuō)解析函數(shù)在邊界上的值完全決定了它在區(qū)域內(nèi)部各點(diǎn)的值.,2)對(duì)于復(fù)連通區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù) ，只要將積分路徑c 理解為該區(qū)域的全部邊界(都取正方向)，則柯西積分公式仍然成立，例如：由 組成的復(fù)連通區(qū)域D ，( 的正方向如圖3.9所示)， 則： 有 3)利用柯西積分公式可以計(jì)算

2、某些復(fù) 變函數(shù)沿閉曲線的積分. 例7：設(shè)c 為圓周 ，求,解：由于函數(shù) 在 內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn) 在 內(nèi)解析，由柯西公式可 得,6 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù) 定理：設(shè)區(qū)域D的邊界為圍線 c ， 在 上解析，則函數(shù) 的 n 階導(dǎo)數(shù)存在，且 討論：1)該定理說(shuō)明，解析函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在，換句話說(shuō)，在某個(gè)區(qū)域上，復(fù)變函數(shù)只要處處都有一階導(dǎo)數(shù)，也就有任意階的導(dǎo)數(shù).,2)可以將n 階導(dǎo)數(shù)公式與柯西積分公式通稱為柯西公式，其主要應(yīng)用是通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分. 例8 計(jì)算 ，其中c是由 確定的區(qū)域. 解： 所以 在 內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn) ， 分別以i, -i 為心作兩個(gè)互,不相交的圓 ，使它們含 于c 內(nèi)，則由柯西定理得 對(duì)于第

3、一個(gè)積分，由于 在 內(nèi)解析，由柯西公式得,同理,7 解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系 1、調(diào)和函數(shù)的定義 定義：如果實(shí)變函數(shù) 在某區(qū)域D上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足方程 則稱 為區(qū)域D上的調(diào)和函數(shù)，方程稱為拉普拉斯方程.,2、解析函數(shù)的實(shí)部和虛部是調(diào)和函數(shù) 設(shè) 在區(qū)域D上解析，則C-R條件成立 ， . 我們知道，某個(gè)區(qū)域上的解析函數(shù)在該區(qū)域上必有任意階的導(dǎo)數(shù)，因此可對(duì)上式求偏導(dǎo)數(shù) ,兩式相加可得 同理可得 即 , 都滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。 注意：反過(guò)來(lái)定理不一定成立，如果 是調(diào)和函數(shù)， 不一定解析，因?yàn)榻馕龊瘮?shù)必須滿足C-R條件. 由C-R條件聯(lián)系著的調(diào)和函數(shù) u 與 v 稱為,共軛調(diào)和函數(shù)，

4、這樣上述定理可表述為： 定理：任何一個(gè)在區(qū)域D上的解析函數(shù)，其實(shí)部與虛部在該區(qū)域上互為共軛調(diào)和函數(shù)。 由上面的討論可得，解析函數(shù)的實(shí)部與虛部互為共軛調(diào)和函數(shù)。如果已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)，可以把它作為某解析函數(shù)的實(shí)部（或虛部），然后利用柯西黎曼條件求出它的共軛調(diào)和函數(shù)，該調(diào)和函數(shù)為解析函數(shù)的虛部(或?qū)嵅?，由此得到一個(gè)解析函數(shù)。,第四章 級(jí) 數(shù),主要內(nèi)容 (1)、復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念和性質(zhì) (2)、冪級(jí)數(shù)的收斂性，冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì) (3)、解析函數(shù)的泰勒展式 (4)、雙邊冪級(jí)數(shù)，解析函數(shù)的羅朗展式,重點(diǎn)和難點(diǎn) 重點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂性，收斂半徑；解析函數(shù)的泰勒展式和羅朗展式 難點(diǎn)：解析函數(shù)的泰勒展開(kāi)

5、和羅朗展開(kāi),第四章 級(jí)數(shù) 1 復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、定義：考慮各項(xiàng)均為復(fù)數(shù)的級(jí)數(shù) 它的每一項(xiàng)都可分為實(shí)部和虛部，設(shè)為 ，則級(jí)數(shù)的部分和為：,2、級(jí)數(shù)的收斂性 如果 為有限數(shù) s，則稱級(jí)數(shù)收斂，并稱s為它的和，記為 不收斂的級(jí)數(shù)稱為發(fā)散級(jí)數(shù)，顯然 這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題就歸結(jié)于兩個(gè)實(shí)數(shù),項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題，即級(jí)數(shù) 收斂于 的充要條件是兩個(gè)實(shí)級(jí)數(shù) 及 分別收斂于 及 。 3、絕對(duì)收斂和條件收斂 如果由級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù) 收斂，則稱 絕對(duì)收斂。 收斂而非絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，稱為條件收斂，顯然，絕對(duì)收斂必收斂。,二、一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 討論各項(xiàng)均在區(qū)域D有定義的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 1、定義：如果對(duì)

6、于D上每一點(diǎn)Z，上述級(jí)數(shù)均收斂，就稱級(jí)數(shù)在D上收斂，其和在D上構(gòu)成一函數(shù) ，稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)，記為 2、性質(zhì)：如果級(jí)數(shù) 在D上一致收斂于,(1)若 在D上連續(xù)，則 也在D上連續(xù)，即由連續(xù) 函數(shù)組成的一致收斂的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和也連續(xù)。 (2)如果 在C上連續(xù)，則沿C可逐項(xiàng)積分，且 (3)如果 在D上解析， 則 在D上解析，并且,即 一致收斂于 3、一致且絕對(duì)收斂判別法 如果對(duì)于某區(qū)域D上所有各點(diǎn)z，復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模 ，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂，則復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在D上絕對(duì) 且一致收斂。級(jí)數(shù) 稱為 的強(qiáng)級(jí)數(shù)，即其強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致且絕對(duì)收斂。,2 冪 級(jí) 數(shù) 一、冪級(jí)數(shù)的收斂性 1、冪級(jí)數(shù)

7、 各項(xiàng)均為冪函數(shù)的復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù) 其中 ，都是復(fù)常數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)叫做以 z0 為中心的冪級(jí)數(shù)。 2、冪級(jí)數(shù)的收斂性，收斂半徑 先看由上級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模所組成的正項(xiàng)級(jí)數(shù),應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法可知，如果 則級(jí)數(shù)收斂，即原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，可引入記號(hào) 即，如果 則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，,如果 ，則 即級(jí)數(shù)后面的項(xiàng)的模越來(lái)越大，不滿足級(jí)數(shù) 收斂的心要條件 ，因而級(jí)數(shù) 發(fā)散，即當(dāng) 時(shí)，級(jí)數(shù)(1)發(fā)散。以 為圓心作一半徑為R的圓周 ，原冪級(jí)數(shù)在圓的內(nèi)部（即 ）絕對(duì)收斂，在圓外發(fā)散，這個(gè)圓叫冪級(jí)數(shù)的收斂圓，它的半徑R叫做收斂半徑，在收斂圓周上各點(diǎn)，冪級(jí)數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散，應(yīng)具體分析。,用根值判別法可得到收斂半徑的另一公式 例1. 求級(jí)數(shù) 的收斂半徑。 解： 故級(jí)數(shù)在任何z點(diǎn)收斂。,例2.求級(jí)數(shù) 的收斂半徑。 解： 故它們的收斂半徑都為1。在收斂圓周上，即,， 由于通項(xiàng)不趨于