1、定義2.8(單葉函數(shù)） 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有定義,且對D內(nèi)任意不同的兩點(diǎn)z1及z2都有f(z1)f(z2),則稱函數(shù) f(z)在D內(nèi)是單葉的.并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域. 顯然,區(qū)域D到區(qū)域G的單葉滿變換w=f(z)就是D 到G的一一變換. f(z)=z2不是C上的單葉函數(shù). f(z)=z3是C上的單葉函數(shù),第三節(jié) 初等多值函數(shù),定義2.9 若z=wn,則稱w為z的n次根式函數(shù)，記為：, 根式函數(shù),為冪函數(shù)z=wn 的反函數(shù).,(1) 根式函數(shù)的多值性.,1. 根式函數(shù),(2) 分出根式函數(shù)的單值解析分支.,從原點(diǎn)O起到點(diǎn)任意引一條射線將z平面割破，該直線稱為割線，在割破了的平面

2、(構(gòu)成以此割線為邊界的區(qū)域，記為G)上，argz2，從而可將其轉(zhuǎn)化為單值函數(shù)來研究。,wk在其定義域上解析,且,分成如下的n個(gè)單值函數(shù)：,(3) 的支點(diǎn)及支割線,定義1 設(shè) 為多值函數(shù)， 為一定點(diǎn)，作小圓周,，若變點(diǎn) 沿 轉(zhuǎn)一周，回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，,函數(shù)值發(fā)生了變化，則稱 為 的支點(diǎn)，如,就是其一個(gè)支點(diǎn)，這時(shí)繞 轉(zhuǎn)一周也可看作繞點(diǎn),轉(zhuǎn)一周，故點(diǎn) 也是其一個(gè)支點(diǎn).,常用方法： 從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破,即可將根式函數(shù):,定義2 設(shè)想把平面割開，借以分出多值函數(shù)的單值分支的割線，稱為多值函數(shù)的支割線.,如 可以以負(fù)實(shí)軸為支割線.,注 a) 支割線可以有兩岸.,b) 單值解析分支可連續(xù)延拓到岸上.

3、,c) 支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨之改變.,d) 對 ，當(dāng)以負(fù)實(shí)軸為支割線時(shí)，當(dāng) 時(shí)取正值的那個(gè)分支稱為主值支.,二、對數(shù)函數(shù),1. 定義,2.計(jì)算公式：,說明：,w=Lnz是指數(shù)函數(shù)ew=z的反函數(shù)，,Lnz一般不能寫成lnz,其余各值為,例1,解,注意: 在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無對數(shù), 而復(fù)變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.,例2,解,3. 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),4. 分出w=Lnz的單值解析分支,從原點(diǎn)起沿著負(fù)實(shí)軸將z平面割破，就可將對數(shù)函數(shù),w=Lnz分成如下無窮多個(gè)單值解析分支：,wk在定義域上解析,且,例1 設(shè) 定義在沿負(fù)實(shí)軸割破的平面上，且,以 為支點(diǎn)，連接 的任一 （廣義

4、）簡單曲線可作為其支割線.,解：,求值：,（是下岸相應(yīng)點(diǎn)的函數(shù)值）求 的值.,三、乘冪 與冪函數(shù),1. 乘冪:,3. 冪函數(shù)的解析性,原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)是解析的,例1,解,它是無窮多個(gè)獨(dú)立的、在z平面上單值解析的函數(shù)。,1. 反三角函數(shù)的定義,兩端取對數(shù)得,同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復(fù)以上步驟, 可以得到它們的表達(dá)式:,四、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),2. 反雙曲函數(shù)的定義,例1,解,五、具有有限個(gè)支點(diǎn)的情形,設(shè)有任意N次多項(xiàng)式：,分別為P(z)的一切相異零點(diǎn)，對應(yīng)重?cái)?shù)為,且有,則函數(shù),的支點(diǎn)有以下結(jié)論：,(1) 的可能支點(diǎn)為 和 ；,(2) 當(dāng)且僅當(dāng) 不能整除 時(shí)， 是 的支點(diǎn)

5、；,(3) 當(dāng)且僅當(dāng) 不能整除 時(shí)， 是 的支點(diǎn)；,(4) 若 能整除 中若干個(gè)之和，則 中對應(yīng)的幾個(gè)就可以聯(lián)結(jié)成割線，即變點(diǎn) z 沿只包含它們在其內(nèi)部的簡單閉曲線轉(zhuǎn)一整周后，函數(shù)值不變.,例1 作出一個(gè)含 i 的區(qū)域,使得函數(shù),在此區(qū)域內(nèi)可分解成單值解析分支,求一個(gè)分支在i點(diǎn),解,可能的支點(diǎn)為,易知函數(shù),因,0,1,2與無窮，,具體分析見下圖,結(jié)論：0、1、2與無窮都是支點(diǎn)。,的值,使其滿足,支點(diǎn)確定后，我們作區(qū)域，將函數(shù)分解成單值解析分支。,首先，在復(fù)平面內(nèi)作一條連接0,1,2及無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的任意無界簡單連續(xù)曲線作為割線,在所得區(qū)域內(nèi),可以把w分解成連續(xù)分支。例如,可取 作為割線,得到區(qū)域D。,其次,也可以取線段0,1及從2出發(fā)且不與0,1相交的射線為割線,在所得區(qū)域內(nèi),可以把w分解成連續(xù)分支。例如，可取0,1及 作為割線,得到區(qū)域 。,例2 驗(yàn)證函數(shù),內(nèi)可以分解成解析分支;求出這個(gè)分支函數(shù)在(0,1),解,由于,故0,1是支點(diǎn)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)不是支點(diǎn)。,在區(qū)域D=C0,1,上沿取正實(shí)值的一個(gè)分支在z=-1處的值。,結(jié)論:0,1是支