1、110函數(shù)的奇偶性 第一課時 一、素質(zhì)教育目標 (一)知識教學(xué)點 1函數(shù)的奇偶性概念 2函數(shù)奇偶性的判定 (二)能力訓(xùn)練點 1培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念進行判斷、推理的能力 2加強化歸轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練 (三)德育滲透點 1通過新概念的引進過程培養(yǎng)學(xué)生探索問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納概括的能力 2教學(xué)中注意滲透常用的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、數(shù)值法、實驗法等，培養(yǎng)學(xué)生辯證思維、求異思維等能力,二、教學(xué)的重點、難點、疑點及解決辦法 1教學(xué)的重點和難點：函數(shù)奇偶性的判定 2教學(xué)的疑點： 判定函數(shù)的奇偶性，必須先考察其定義域是否關(guān)于原點對稱，同時判定函數(shù)的奇偶性必須嚴格從定義出發(fā)，不能主觀想象臆斷如判斷函 其為偶函數(shù)，

2、而忽視f(x)的定義域-1x1，不關(guān)于原點對稱，因此f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 3解決辦法：注意概念的引入要淺顯易懂，認清說透奇偶性定義的判定作用和奇偶性的性質(zhì)并適當介紹一些判斷函數(shù)奇偶性的方法,三、課時安排 本課題安排2課時 四、教學(xué)過程設(shè)計 教師出示兩道題并讓學(xué)生回答： (1)已知f(X)=3x，求f(-X)； (2)已知g(x)=x2，求g(-x) 生：f(-x)=-3x g(-x)=x2 師：大家分別觀察以上兩題，說出f(x)、f(-x)和g(x)、g(-x)之間有何關(guān)系？ 生：f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x) 師：請一學(xué)生用文字簡潔地描述一下上述兩式的含義 生：f(-

3、x)=f(x)表明f(x)中自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值不變，g(-x)=-g(x)表明g(x)中自變量取相反數(shù)時，函數(shù)值為原函數(shù)值的相反數(shù),師：-x、x在幾何上有何關(guān)系？ 生：x，-x對應(yīng)點關(guān)于原點對稱 師：這就是說，f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)是對函數(shù)定義域內(nèi)任一個x(不是某些x)而言，由此對函數(shù)的研究就可以從自變量取正值時函數(shù)的變化情況推斷出函數(shù)在整個定義域內(nèi)的變化情況，具有這一特性的函數(shù)在數(shù)學(xué)中大量存在，有必要對這類函數(shù)作深入的討論(由此引入課題，并在黑板的左上角板書) 函數(shù)的奇偶性 首先讓學(xué)生打開代數(shù)課本P54，師生一起閱讀函數(shù)的奇偶性的定義 即對于f(x)： 1如果對于

4、函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 2如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 根據(jù)定義，f(x)=x，g(x)=x2分別是什么函數(shù) 生：f(x)為奇函數(shù)，g(x)為偶函數(shù),師：下面通過一些練習(xí)來熟悉函數(shù)的奇偶性定義 例1 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性： (1)f(x)=x3；(2)f(x)=2x4+3x2； (讓四位學(xué)生在黑板上板書，其余學(xué)生作練習(xí)) 生：(1)f(-x)=(-x)3=-x3 即f(-X)=-f(x)，所以f(x)=x3是奇函數(shù) (2)f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x

5、2即f(-x)=f(x)，所以f(x)=2x4+3x2是偶函數(shù),(4)f(-x)=-x+1，-x+1-f(x)，而且-x+1f(x)所以f(x)=x+1既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 師：初學(xué)函數(shù)的奇偶性應(yīng)注意，書寫格式要規(guī)范，過程不可隨意刪減，上述的描述是完整的對于(4)當f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)時，不能作如下的敘述 (1)f(-x)(x)f(x)，f(x)不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)f(-x)f(x)，且f(-x)f(x)，f(x)不是奇偶函數(shù) 對函數(shù)的奇偶性概念有了初步了解之后，現(xiàn)在來深人研究一下函數(shù)奇偶性定義 我們知道數(shù)學(xué)的定義具有兩面性即它不僅可以作為判定的依據(jù)，同時它還具有性質(zhì)定

6、理的作用，剛才解決例1就是利用定義的判定作用，下面大家探討一下函數(shù)具有奇偶性時它有哪些性質(zhì)呢？ 注意到函數(shù)奇偶性定義中“對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個x”中“任意”的含義，并組合-x，x的幾何意義，可以得到這時函數(shù)的定義域應(yīng)具有什么特性？,生：奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱 師：反之若函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，能否判定函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)呢？ 生：不行比如y=2x+1，它的定義域xR關(guān)于原點對稱，但顯然f(-x)f(x)，f(-x)f(x)它不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù) 師：對！一般地說，判定函數(shù)的奇偶性要考慮兩點，一是定義域，二是f(=x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立，初學(xué)時往往比較

7、注意第二點而忽視定義域，如f(x)=x2，xR是偶函數(shù)，而改變定義域為xR+，f(x)=x2是否還是偶函數(shù)呢？為什么？ 生：因為對于函數(shù)f(x)=x2，xR+，f(1)=1，但-1不在定義域內(nèi)，f(-1)不存在，談不上f(-1)=f(1)，即并不是對于函數(shù)定義域內(nèi)所有x的值，都有f(-x)=-f(x)成立，所以f(x)=x2(xR+)不是偶函數(shù)，顯然也不是奇函數(shù) 師：講得好 下面大家再來判斷下列函數(shù)的奇偶性,例2 判斷下列函數(shù)的奇偶性： 生：它是偶函數(shù) 師：為什么？ 生：因為對于定義域R內(nèi)任意一個x，都有f(x)=f(x) 師：大家還有什么不同的看法嗎？ 生：它還是奇函數(shù) 師：為什么？ 生：因

8、為對于任意xR，都有f(-x)=0，-f(x)=0，即f(-x)=-f(x)，所以f(x)還是奇函數(shù) 師：對！f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么還能不能舉出既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的例子呢？ 生甲：有！x=0就是 生乙：不對！x=0不滿足函數(shù)的定義即一個x值x=0對應(yīng)著無窮多個y值，yR，因此x=0不是函數(shù),師：言之有理，至于如何找這樣的函數(shù)我們還應(yīng)從函數(shù)的奇偶性定義出發(fā) 生：如果f(x)在定義域M內(nèi)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，必須對M內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，且f(-x)=f(x)，即應(yīng)有-f(x)=f(x)，即f(x)=0，從此看出既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有f(x)=0 師：以上

9、回答基本正確，但美中不足的是忽略了函數(shù)的定義域xM，隨著定義域不同函數(shù)也不同，因此既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)個，不過它們的表達式都是(或可化為)f(x)=0的形式，所不同的只是它們的定義域 對于(2)請一位同學(xué)說出你的判斷,生乙：f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) 師：為什么？ 生：f(-1)=0，但f(1)不存在，事實上，這個函數(shù)的定義域不關(guān)于 師：對！如果一個函數(shù)解析式比較復(fù)雜，且未指出其定義域，那么在判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再決定是否需要將解析式化簡，并用函數(shù)奇偶性定義加以判斷，以免導(dǎo)致錯誤 課堂練習(xí)P57 總結(jié)：這一節(jié)課主要學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性的概念以及奇偶性的判定方法判

10、定函數(shù)的奇偶性時務(wù)必要注意先判定它的定義域是否關(guān)于原點對稱，初學(xué)者最容易忽略這一點當定義域關(guān)于原點對稱時，若函數(shù)式較簡單，可通過計算f(-x)后運用定義判斷；若函數(shù)式較為復(fù)雜，則應(yīng)設(shè)法恒等變形將其化簡為易知其奇偶性的形式來判斷,五、作業(yè) 代數(shù)(上)P57中2、3；P59中8、9、12 六、板書設(shè)計,第二課時 一、素質(zhì)教育目標 (一)知識教學(xué)點 1函數(shù)奇偶性的性質(zhì)定理 2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 (二)能力訓(xùn)練點 1培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)概念進行判斷、推理的能力 2加強化歸轉(zhuǎn)化能力的訓(xùn)練 (三)德育滲透點 1通過定理的證明培養(yǎng)學(xué)生探索問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、歸納概括的能力 2教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力

11、二、教學(xué)的重點、難點、疑點及解決辦法 1教學(xué)的重點和難點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)定理的證明和應(yīng)用,2教學(xué)的疑點： 奇函數(shù)或偶函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱或關(guān)于y軸對稱，反之不對奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)定理本質(zhì)是通過局部的函數(shù)性質(zhì)(如自變量取正值)來推斷它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì)這一點對于初學(xué)者往往會認識不夠 3解決辦法：熟悉函數(shù)奇偶性的定義，注意貫穿數(shù)形結(jié)合的方法 三、課時安排 本課題是函數(shù)奇偶性的第2課時 四、教學(xué)過程設(shè)計,作出它們的示意圖 (讓兩位學(xué)生上臺作圖，其余學(xué)生在練習(xí)本上練習(xí)) 師：觀察它們的圖象，說明它們具有怎樣的對稱性 于y軸對稱 師：能否具體說明一下在坐標平面內(nèi)關(guān)于原點(關(guān)于中心對稱)和關(guān)

12、于y軸(軸對稱)的含義,生：坐標平面內(nèi)任意一點p(x，y)關(guān)于原點的對稱點p(-x，-y)即點p，點p關(guān)于原點成中心對稱p(x，y)關(guān)于y軸的對稱點的坐標p(-x，y)即1，p關(guān)于y軸成軸對稱 師：下面我們一起來嚴格證明一下我們上述觀察得到的結(jié)果，即奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖象 首先我們先來證明：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形 若在f(x)的圖象上任取一點p(a，f(a)，那么點1關(guān)于原點的對稱點是什么？ 生：p(-a，-f(a) 師：利用奇函數(shù)的條件f(-x)=-f(x)，點p(-a，-f(a)還可以寫成另一種形式嗎？ 生：可以由于-f(a)=f(

13、-a)，所以p還可以寫為p(-a，f(-a),師：點p(-a，f(-a)與f(x)的圖象的位置關(guān)系如何？ 生：點p(-a，f(-a)恰是f(x)的圖象上的點 師：這就是說，函數(shù)f(x)圖象上任意一點(x，y)關(guān)于原點的對稱點(-x，-y)都在f(x)的圖象上 在這個定理的證明過程中我們通過點的對稱性推證得圖象的對稱性 證明這一定理，大家考慮一下這一定理的作用是什么？(讓大家思考、討論、并請一位同學(xué)回答，其他同學(xué)補充) 生：這個定理告訴我們對于奇函數(shù)的研究，可由取正值時(或取負值時)的圖象和性質(zhì)，來推斷它在整個定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì) 師：很好，對于數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)，不僅要弄懂它的含義、證明，而且還應(yīng)

14、清楚它的作用或應(yīng)用是什么？ 用同樣的方法可以證明偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱這一證明請同學(xué)們課后作為作業(yè)證明一下,例1 已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，它在y軸右邊的圖象如圖1-40所示，請畫出f(x)在y軸左邊的圖象 請一位學(xué)生上臺合作示意圖，其他學(xué)生在練習(xí)本上作圖 師：針對某些同學(xué)作圖時比較隨意的情況，強調(diào)作圖時應(yīng)注意幾點 (1)在y軸右邊的圖象上取幾個點，如A1、A2、A3、A4、A5(這些點一般應(yīng)該包括圖象曲線的最低、最高點等“關(guān)鍵”點)如圖141,(2)畫出這些點關(guān)于y軸的對稱點如點A1、A2、A3、A4、A5的對稱點分別為A1、A2、A3、A4、A5，如圖142 (3)用一條平滑曲線把對

15、稱點連結(jié)起來，例如用平滑曲線連結(jié)點A1、A2、A3、A4、A5后，就得到f(x)在y軸左邊的圖象 例2 設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且x0時，f(x)=x2+3求當x0時，f(x)的表達式,師：解題要從圖143和定理兩方面去分析、解答 (讓學(xué)生思考若干時間，師生邊議、邊敘、邊寫) 設(shè)x0，則-x0 f(x)=-f(-x)=-(-x)2+3 =-x2-3， 即當x0時f(x)=-x2-3 解答此時要注意幾個問題： (i)求哪一個區(qū)域上的表達式，就應(yīng)在這一區(qū)域上求自變量x(如0，則-x0) (ii)利用f(x)=-f(-x)求得表達式f(x)即為所求，因為這時x已設(shè)x0初學(xué)者往往會從已知函數(shù)表達式的區(qū)域x

16、0上去取自變量x，這會給解答帶來許多麻煩，應(yīng)當回避這種做法,例3 已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在(，0)上是增函數(shù)，f(x)在(0，+)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？ (讓學(xué)生思考討論若干時間) 生：減函數(shù) 師：為什么呢？ 生：因為根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，通過作圖可以知道這時在(0，+)是減函數(shù),師：(在黑板上畫出示意圖1-44) 能否根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明呢？(讓學(xué)生思考、討論片刻，教師可作適當?shù)囊龑?dǎo)) 生：設(shè)x2x10，則-x1-x20 f(x)為偶函數(shù)，f(-x1)=f(x1) f(-x2)=f(x2)且f(-x1)f(-x2) f(x2)-f(x1)=f(-x2)-f(-x1)0

17、f(x2)f(x1)即在(0，)上 f(x)為減函數(shù) 師：正確，通過這一問題的解答可以看出對于函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性要從“形”和“數(shù)”兩方面去把握它，方能深入理解它,(1)證明它是偶函數(shù)；(2)求證f(x)0(讓學(xué)生思考若干時間，師生邊議邊敘邊寫)(1)f(x)的定義域為x|x0， 當x0時，-x0 f(-x)=f(x) f(x)為偶函數(shù) f(x)0，又由(1)證知f(x)為偶函數(shù)x0時，-x0且f(-x)0 f(x)=f(-x)0 針對大家在解答中的問題，提醒大家注意以下幾點,針對大家在解答中的問題，提醒大家注意以下幾點 (i)判定函數(shù)的奇偶性首先應(yīng)先求定義域，因此先求x0是很重要的 (ii)判定函數(shù)