1、4.1 差商（均差）及性質(zhì),1 差商（均差）,即有定義：,4 差商與牛頓插值多項(xiàng)式,定義4,即,2 基本性質(zhì),定理5,均差與節(jié)點(diǎn)順序無關(guān)，即,例如：,共6個(gè),的線性組合，即,分析 ：,當(dāng)k =1時(shí),(1)可用歸納法證明。(2)利用(1)很容易得到。只證(1),證明：,（1）當(dāng)k =1時(shí),表2.4,3 差商表,計(jì)算順序:同列維爾法，即每次用前一列同行的差商與前一列 上一行的差商再作差商。,4.2 牛頓插值多項(xiàng)式,由差商定義及對(duì)稱性，得,1 牛頓插值多項(xiàng)式的推導(dǎo),將(b)式兩邊同乘以,(d)式兩邊同乘以,把所有式子相加,得,(c)式兩邊同乘以,記,- 牛頓插值多項(xiàng)式,- 牛頓插值余項(xiàng),可得以下結(jié)論

2、。,定理6,（牛頓插值多項(xiàng)式）,- 牛頓插值余項(xiàng),2 n +1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,由n次插值多項(xiàng)式的唯一性，則有, 牛頓插值多項(xiàng)式,只是表達(dá)方式不同.,?,因?yàn)?而 的基函數(shù)可為:,已知 函數(shù)表,階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，由插值多項(xiàng)式的唯一性有余項(xiàng)公式,n+1階差商函數(shù),導(dǎo)數(shù),則n 階差商與導(dǎo)數(shù),的關(guān)系為,其中,n +1階差商函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,定理7,計(jì)算步驟:,(2) 用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計(jì)算 .,3 牛頓插值多項(xiàng)式計(jì)算次數(shù)(當(dāng)k =n 時(shí)),(1) 計(jì)算差商表(計(jì)算 的系數(shù)),除法次數(shù)(k =n):,(2) 用秦九韶算法或著說用嵌套乘法計(jì)算 .,乘法次數(shù): n,優(yōu)點(diǎn):,(1)計(jì)算量小,較

3、L- 插值法減少了3-4倍.,(2)當(dāng)需要增加一個(gè)插值節(jié)點(diǎn)時(shí),只需再計(jì)算一項(xiàng),即,- 遞推公式,(適合計(jì)算機(jī)計(jì)算).,乘除法次數(shù)大約為:,4 兩函數(shù)相乘的差商,定理8（兩函數(shù)相乘的差商）,顯然公式成立。,事實(shí)上，,一般情況，可用歸納法證明。 #,設(shè),證明：,階差商為,5 重節(jié)點(diǎn)差商,（通過差商極限定義）,定義5 (重節(jié)點(diǎn)差商),若 ,互異，有了重節(jié)點(diǎn)差商的定義，該式中的節(jié)點(diǎn)可以相同。,說明：,?,則定義,類似的有,其中,- 牛頓插值多項(xiàng)式,- 牛頓插值余項(xiàng),4 差商與牛頓插值多項(xiàng)式,牛頓插值公式,5 重節(jié)點(diǎn)差商,定義5 (重節(jié)點(diǎn)差商),若 ,?,則定義,類似的有,證明：,(2)首先,由定義,泰勒展開式,本課重點(diǎn)：,1、理解差商定義,3、會(huì)用牛頓插值多項(xiàng)式解簡單題目。,2、掌握牛頓插值公式,- 牛頓插值余項(xiàng),一、 Lagrange 插值多項(xiàng)式,， k = 0, 1 , n .,復(fù)習(xí)：,過n +1個(gè)節(jié)點(diǎn)，滿足插值條件：L j( xj)= yj(j=0,1, n )的n次插值,或,插值 基函數(shù),優(yōu)點(diǎn)：,計(jì)算量大,缺點(diǎn)：,乘除法次數(shù)：,多項(xiàng)式Ln(x)：,二、列維爾(Nevi