1、1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理. 2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.,1數(shù)學(xué)歸納法定義 用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法 2數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟 (1)驗(yàn)證：n1時(shí)，命題成立； (2)在假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)命題成立的前提下，推出當(dāng)nk 1時(shí)，命題成立，根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)于一切正整 數(shù)n都成立,思考探究 數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的作用分別是什么？,提示：數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想，第一步是遞推基礎(chǔ)，也叫歸納奠基，第二步是遞推的依據(jù)，也叫歸納遞推.兩者缺一不可.,1.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線(xiàn)為 n(n3) 條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于 ( ) A.1 B.2

2、C.3 D.0,解析：因?yàn)閚3，所以，第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.,答案：C,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (a1)， 在驗(yàn)證n1時(shí)，等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是 ( ) A.1 B.1a C.1aa2 D.1aa2a3,解析：因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，an1a2，所以驗(yàn)證n1時(shí)， 等式左端計(jì)算所得的項(xiàng)是1aa2.,答案：C,3.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn) 2n13(2n1)，nN+”時(shí)，從“nk”變到“nk 1”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是 ( ) A.2k1 B.2(2k1) C. D.,解析：當(dāng)nk(kN+)時(shí)，左式為(k1)(k2)(kk)； 當(dāng)nk1時(shí)，左式為(k11)(k12)(k1k1)(

3、k1k)(k1k1)， 則左邊應(yīng)增乘的式子是 2(2k1).,答案：B,4.用數(shù)學(xué)歸納法證明： ， 第一步應(yīng)驗(yàn)證左式是 ， 右式是 .,解析：令n1則左式為1 ，右式為 .,答案：,5.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi)角和 f(k1)f(k) .,解析：由凸k邊形變?yōu)橥筴1邊形時(shí)，增加了一個(gè)三角形，故f(k1)f(k).,答案：,1.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的一些等式問(wèn)題，關(guān)鍵 在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律：等式的兩邊各有多少項(xiàng)， 由nk到nk1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加 怎樣的項(xiàng)；難點(diǎn)在于尋求等式中nk和nk1時(shí)之間 的聯(lián)系.,2.用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式時(shí)，

4、通常采用的 步驟為： (1)找出f(k1)與f(k)的遞推關(guān)系； (2)把歸納假設(shè)f(k)g(k)代入； (3)作恒等變形把f(k1)化為g(k1).,特別警示 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法需注意以下幾點(diǎn)：nn0時(shí)，n0的取值；兩個(gè)步驟，缺一不可；證nk1成立時(shí)必須用上歸納假設(shè).,對(duì)于nN+，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1n2(n1)3(n2)(n1)2n1 n(n1) (n2).,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 設(shè)f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1. (1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊1，左邊右邊，等式成立； (2)假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1 k(k1)(k2)， 則當(dāng)nk1時(shí)，,f

5、(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)23(k1)12(k1)1 f(k)123k(k1) k(k1)(k2) (k1)(k11) (k1)(k2)(k3). nk1時(shí)等式也成立. 由(1)(2)可知，當(dāng)nN+時(shí)等式都成立.,用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出不等式，按要求證明；二是給出兩個(gè)式子，按要求比較它們的大小.對(duì)第二類(lèi)形式往往先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較，以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開(kāi)始都成立的結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.,特別警示 如果在數(shù)學(xué)歸納法證題的過(guò)程中，沒(méi)有運(yùn)用歸納假設(shè)，不論形式上多么相似，也不能稱(chēng)此證明方法為數(shù)學(xué)歸納

6、法.,已知數(shù)列an，an0，a10， 1 . 求證：當(dāng)nN+時(shí)，anan1.,思路點(diǎn)撥,課堂筆記 (用數(shù)學(xué)歸納法證明) (1)當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)閍2是方程x2x10的正根， 所以a1a2. (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN+，k1)時(shí)， 0akak1， 因?yàn)?( ak21)( ak11) (ak2ak1)(ak2ak11)0， 所以ak1ak2， 即當(dāng)nk1時(shí)，anan1也成立. 根據(jù)(1)和(2)，可知anan1對(duì)任何nN+都成立.,把題設(shè)條件中的“an0”改為“當(dāng)n2時(shí)，an1”，其余條件不變，求證：當(dāng)nN+時(shí)，an1an.,證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，因?yàn)閍2是x2x10的負(fù)根，所以a1a2. (2)假設(shè)當(dāng)

7、nk(kN+，k1)時(shí)，ak1ak，, (ak2ak1)(ak2ak11)， ak10， 又ak2ak111(1)11， ak2ak10，ak2ak1， 即當(dāng)nk1時(shí)，命題成立. 由(1)(2)可知，當(dāng)nN+時(shí)，an1 ，(9分),|xn1xn| | |xnxn1|( )2|xn1xn2| ( )n1|x2x1| ( )n1. 綜上：nN+時(shí)，|xn1xn| ( )n1.(12分),自主體驗(yàn) 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)一切nN+，點(diǎn)(n， )都在函數(shù)f(x)x 的圖象上. (1)求a1，a2，a3的值，猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；,(2)將數(shù)列an依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)

8、地分為(a1)，(a2，a3)，(a4，a5，a6)，(a7，a8，a9，a10)；(a11)，(a12，a13)，(a14，a15，a16)，(a17，a18，a19，a20)；(a21)，分別計(jì)算各個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來(lái)括號(hào)的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為bn，求b5b100的值.,解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)(n， )在函數(shù)f(x)x 的圖象上， 故 n ， 所以Snn2 an. 令n1，得a11 a1，所以a12； 令n2，得a1a24 a2，所以a24； 令n3，得a1a2a39 a3，所以a36.,由此猜想：an2n. 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： 當(dāng)n1時(shí)，由上面的求解知，猜想成立. 假設(shè)nk(

9、k1，且kN+)時(shí)猜想成立，即ak2k成立， 則當(dāng)nk1時(shí)，注意到Snn2 an(nN+)， 故Sk1(k1)2 ak1，Skk2 ak. 兩式相減，得ak12k1 ak1 ak， 所以ak14k2ak.,由歸納假設(shè)得，ak2k， 故ak14k22k2(k1). 這說(shuō)明nk1時(shí)，猜想也成立. 由知，對(duì)一切nN+，an2n都成立.,(2)因?yàn)閍n2n(nN+)，所以數(shù)列an依次按1項(xiàng)、2項(xiàng)、3項(xiàng)、4項(xiàng)循環(huán)地分為(2)，(4,6)，(8,10,12)，(14,16,18,20)；(22)，(24,26)，(28,30,32)，(34,36,38,40)；(42)，.每一次循環(huán)記為一組.由于每一個(gè)循

10、環(huán)含有4個(gè)括號(hào)，故b100是第25組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和.由分組規(guī)律知，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第1個(gè)數(shù)組成的數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為20.同理，由各組第4個(gè)括號(hào)中所有第2個(gè)數(shù)、所有第3個(gè)數(shù)、所有第4個(gè)數(shù)分別組成的數(shù)列也都是,等差數(shù)列，且公差均為20.故各組第4個(gè)括號(hào)中各數(shù)之和構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為80.注意到第一組中第4個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和是68， 所以b1006824801988. 又b522，所以b5b1002010.,1.如果命題p(n)對(duì)nk成立，則它對(duì)nk2也成立.若p(n) 對(duì)n2也成立，則下列結(jié)論正確的是 ( ) A.p(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立 B.p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立

11、C.p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立 D.p(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立,解析：由題意nk成立，則nk2也成立，又n2時(shí)成立，則p(n)對(duì)所有正偶數(shù)都成立.,答案：B,2.設(shè)f(n) ，nN+，那么f(n1) f(n) ( ) A. B. C. D.,解析：用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問(wèn)題時(shí)，分清等式兩邊的構(gòu)成情況是解題的關(guān)鍵.顯然，當(dāng)自變量取n時(shí)，等式的左邊是n項(xiàng)和的形式.,答案：D,3.下列代數(shù)式(其中kN+)能被9整除的是 ( ) A.667k B.27k1 C.2(27k1) D.3(27k),解析：本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題. (1)當(dāng)k1時(shí)，顯然只有3(27k)能被9整除. (2)假設(shè)當(dāng)

12、kn(nN+)時(shí)，命題成立，即3(27n) 能被9整除，那么3(27n1)21(27n)36. 這就是說(shuō)，kn1時(shí)命題也成立.,答案：D,4.猜想11,14(12),149123，第n個(gè) 式子為 .,答案：149(1)n1n2(1)n1(123 n),5.設(shè)平面內(nèi)有n條直線(xiàn)(n3)，其中有且僅有兩條直線(xiàn)互 相平行，任意三條直線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn).若用f(n)表示這n 條直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4) ；當(dāng)n4時(shí)， f(n) (用n表示).,解析：f(2)0，f(3)2，f(4)5，f(5)9， 每增加一條直線(xiàn)，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)等于原來(lái)直線(xiàn)的條數(shù). f(3)f(2)2， f(4)f(3)3， f(5)f(4)4， f(n)f(n1)n1.,累加，得 f(n)f(2)234(n1) (n2). f(n) (n1)(n2).,答案：5 (n1)(n2),6.求證：當(dāng)n1(nN+)時(shí)， (12n)(1 + )n2.,證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊，命題成立. 當(dāng)n2時(shí)， 左邊(12)(1