1、.,高等量子力學(xué)(第二章),第二章量子力學(xué)的理論構(gòu)架2-1表象理論2-2二次量子化2-3密度矩陣2-4路徑積分與格林函數(shù),.,2-3密度矩陣(算符）1、純態(tài)與混合態(tài)迄今為止，研究的對(duì)象基本上是一個(gè)粒子，它的狀態(tài)總是用希爾伯特空間的一個(gè)態(tài)矢量來(lái)表示，這些態(tài)矢量滿足疊加原理，把這些狀態(tài)稱之為純態(tài)。例如：,（1）,其中，為純態(tài)，也是純態(tài)。總之，凡是能用希爾伯特空間的一個(gè)矢量描述的狀態(tài)都是純態(tài)。在一個(gè)純態(tài)之上，力學(xué)量F的取值是以概率的形式表現(xiàn)的，這就意味著，對(duì)單個(gè)粒子的預(yù)言是與大量粒子構(gòu)成的系綜的統(tǒng)計(jì)平均相聯(lián)系的，或者說，量子力學(xué)具有統(tǒng)計(jì)的性質(zhì)。從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的角度看，由純態(tài)所描述的統(tǒng)計(jì)系綜稱為純粹系綜

2、。例如，在Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)原子束通過磁場(chǎng)后，每個(gè)原子的自旋都指向同一個(gè)方向，即束流的完全被極化的，此時(shí)，可以把體系理解為純粹系綜。,.,以上純態(tài)和本征態(tài)的定義是不一樣的，本征態(tài)一定是純態(tài)，但純態(tài)一般不是本征態(tài)，而是多個(gè)本征態(tài)的線性組合,.,Stern-Gerlach實(shí)驗(yàn)證明電子有自旋角動(dòng)量的實(shí)驗(yàn),使電中性銀原子在電爐內(nèi)蒸發(fā)射出，通過狹縫S1、S2形成細(xì)束，經(jīng)過一個(gè)抽成真空的不均勻的磁場(chǎng)區(qū)域（磁場(chǎng)垂直于射束方向），最后到達(dá)照相底片上。顯像后的底片上出現(xiàn)了兩條黑斑，表示銀原子經(jīng)過不均勻磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)分成了兩束。當(dāng)時(shí)測(cè)得銀、銅、金和堿金屬的原子磁矩分量的大小都等于一個(gè)玻爾磁子，它們的

3、原子束都只分裂為對(duì)稱的兩束。,斯特恩革拉赫實(shí)驗(yàn)說明，原子磁矩取值和自旋磁矩取值無(wú)法同時(shí)確定。這句話是怎么得來(lái)的？,.,實(shí)際上，有時(shí)候會(huì)遇到更為復(fù)雜的情況，假設(shè)許多原子剛從一個(gè)熱爐子中蒸發(fā)出來(lái)，它們的自旋取向是無(wú)規(guī)律的，如何描述這種非極化的束流呢？為了使問題更具有普遍意義，上述問題可概括為，當(dāng)體系以的概率（或權(quán)重）處于狀態(tài)，以的概率處于狀態(tài)，.以的概率處于狀態(tài)時(shí)，稱其中的每一個(gè)為參與態(tài)。這樣的狀態(tài)是無(wú)法用希爾伯特空間的一個(gè)態(tài)矢量來(lái)描述的，而需要用一組態(tài)矢量及其相應(yīng)的概率來(lái)描述，則稱之為混合態(tài)，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)系綜為混合系綜。為了說明純態(tài)和混合態(tài)的區(qū)別，讓我們來(lái)考察力學(xué)量F在兩種狀態(tài)上的取值概率。設(shè)算符

4、滿足：,（2）,在純態(tài)（1）上，取fi值的概率為(投影獲得系數(shù)，概率為系數(shù)平方),（3）,.,而在混合態(tài)上，根據(jù)混合態(tài)的定義可知，取fi值的概率為,（4）,顯然，上面兩式完全不同。若再具體到坐標(biāo)表象(坐標(biāo)為自變量)，則（1）式為,（5）,在純態(tài)（5）上，坐標(biāo)取x0值的概率密度為,（6）,而在混合態(tài)上，坐標(biāo)取x0值的概率密度為,（7）,.,由上述兩式可以看出，在純態(tài)下，兩個(gè)態(tài)之間發(fā)生干涉，而在混合態(tài)下，無(wú)干涉現(xiàn)象發(fā)生。前者為概率幅的疊加，稱為相干疊加，疊加的結(jié)果形成一個(gè)新的狀態(tài)，后者為概率的疊加，稱為不相干疊加。,2、密度算符的定義,為了能夠統(tǒng)一地描述純粹系綜和混合系綜，1927年Neumann

5、給出密度算符的演算方法。（1）純態(tài)下的密度算符的定義首先，在純態(tài)之下引入密度算符。設(shè)是希爾伯特空間中的任意一個(gè)歸一化的態(tài)矢（純態(tài)），F(xiàn)為一個(gè)可觀測(cè)的物理量，對(duì)應(yīng)的本征值和本征矢分別為fi與，算符在狀態(tài)上的平均值為,（8）,選任意一組正交歸一完備基底，于是有,（9）,.,選任意一組正交歸一完備基底，于是有,（9）,注意(9)式中含有西格瑪，n的變化范圍假設(shè)為1到N，表示完備基底是N維的。假設(shè)正交歸一完備基由N個(gè)獨(dú)立的正交歸一函數(shù)(矢量)組成,則表示一個(gè)N行N列的單位矩陣。左側(cè)表示列矢，右側(cè)表示行矢量；左側(cè)表示行矢，右側(cè)表示列矢。波函數(shù)本身是一個(gè)疊加態(tài)矢量，可以被任意一個(gè)完備的空間基底展開，也可以

6、被一個(gè)N維的空間基底展開。上式(9)表示原式左側(cè)和右側(cè)矢量分別被N維空間的完備基矢量展開。,選任意一組正交歸一完備基底，于是有(注意：在一個(gè)1*n和一個(gè)n*1兩個(gè)矢量間插入一個(gè)單位n*n的矩陣，結(jié)果不變),（9）,說明,.,若引入純態(tài)之下的密度算符(此算符為方陣，方陣對(duì)角元為構(gòu)成純態(tài)的任意子態(tài)出現(xiàn)的概率，對(duì)角元加和為1。若右側(cè)左右兩矢量交換位置，則顯然也等于1，即為密度為1(而非密度算符)，相當(dāng)于做西格瑪和求陣跡。),（10）,則（9）式可以寫為,（11）,上式說明算符在一個(gè)歸一化的純態(tài)上的平均值等于該算符與密度算符之積的陣跡。顯然，密度算符是一個(gè)投影算符。力學(xué)量F在狀態(tài)上的取值fi概率,（1

7、2）,它是密度算符在算符的第i個(gè)本征態(tài)上的平均值?？傊?，利用狀態(tài)定義的密度算符可以給出任意力學(xué)量F在該狀態(tài)上取值概率與平均值，因此，純態(tài)下的密度算符是可以代替態(tài)矢來(lái)描述純態(tài)的一個(gè)算符。,.,（2）混合態(tài)下的密度算符的定義對(duì)于前面定義的混合態(tài)而言，一個(gè)物理量F的平均值要通過兩次求平均來(lái)實(shí)現(xiàn)。首先，進(jìn)行量子力學(xué)平均，即求出力學(xué)量F在每個(gè)參與態(tài)上的平均值，然后，在對(duì)其進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均，即求出以各自概率出現(xiàn)的量子力學(xué)平均的平均，稱為加權(quán)平均，用公式表示為：,（13）,類似純態(tài)的做法，得到：,（14）,若定義混合態(tài)下的密度算符(備注：矩陣乘以常數(shù)，則每個(gè)矩陣元都乘以常數(shù)),（15）,.,則（14）式可以寫成

8、,（16）,力學(xué)量F的取值概率為,（17）,上述兩式與純態(tài)有同樣的形式，只不過兩種的密度算符的定義不同而己。至此，我們找到了一個(gè)密度算符，它可以代替波函數(shù)來(lái)描述純態(tài)與混合態(tài)，由于密度算符是在希爾伯特空間中定義的算符，它比混合態(tài)的原始定義要方便多了。類似于其它算符，密度算符在具體表象中的表示稱為密度矩陣。,.,3、密度算符的性質(zhì),設(shè)力學(xué)量算符滿足,（18）,當(dāng)本征值無(wú)簡(jiǎn)并時(shí)，則構(gòu)成正交歸一完備系，而當(dāng)本征值簡(jiǎn)并時(shí)，本征矢未必正交，但可以要求它是歸一和完備的。性質(zhì)1對(duì)于密度算符，有,（對(duì)于純態(tài)）,（對(duì)于混合態(tài)）,證明,選取一組正交歸一完備基，對(duì)于純態(tài)，有(下式是求陣跡的常用方法：用正交歸一完備基對(duì)

9、應(yīng)的左矢與右矢作用于方陣兩邊求西格瑪),（19）,.,而,（20）,于是,（21）,對(duì)混合態(tài)而言：,（22）,.,而,（23）,其中,（24）,由于，只有當(dāng)時(shí)，上式中等號(hào)才成立，而此時(shí)體系處于純態(tài)，所以，對(duì)混合態(tài)而言，有,（25）,.,性質(zhì)2密度算符是厄米算符，若混合態(tài)是由一系列相互正交的態(tài)構(gòu)成的，則密度算符的本征矢就是參與混合的那些態(tài)，相應(yīng)的本征值就是權(quán)重，即,（26）,證明,（27）,筆誤：(27)中最后一個(gè)j應(yīng)矯正為i,.,4、約化密度算符在處理實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到這樣的情況，對(duì)于一個(gè)大的量子體系而言，我們感興趣的物理量只與體系的一部分有關(guān)。例如，在粒子1與粒子2構(gòu)成的體系中，只需要求

10、出粒子1的某力學(xué)量F（1）的平均值。這時(shí)，問題可以進(jìn)一步得到簡(jiǎn)化。設(shè)粒子1和粒子2的基矢分別為與，則兩粒子體系的態(tài)矢的一般形式為,（28）,為了保證是歸一化的態(tài)矢，要求展開系數(shù)滿足：,（29）,若為純態(tài)時(shí)，體系的密度算符為,（30）,.,如果求粒子1的某力學(xué)量F(1)的平均值，由（11）式可知,（31）,第三個(gè)等號(hào)后插入了一個(gè)單位矩陣。第四個(gè)等號(hào)后利用了上式：兩粒子態(tài)函數(shù)可以重新排序。并矢。,.,如果求粒子1的某力學(xué)量F(1)的平均值，由（11）式可知,（31）,第三個(gè)等號(hào)后插入了關(guān)于第一個(gè)粒子的單位矩陣，第四個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)槌?shù)項(xiàng)可以移動(dòng)(不插入粒子1的單位陣不可以移動(dòng)！因?yàn)樗惴鸉要作用于第

11、一個(gè)粒子)。第五個(gè)等號(hào)后的n表示第二個(gè)粒子的函數(shù)序號(hào),上頁(yè)比較難理解，現(xiàn)將上頁(yè)P(yáng)PT修改為如下：,.,令,（32）,其中，表示只對(duì)粒子2取跡，取跡之后的仍為粒子1空間中的算符，稱之為粒子1的約化密度算符。于是，F(xiàn)(1)的平均值可寫為：,（33）,最后一個(gè)等號(hào)成立是因?yàn)槿コ饲斑叺年P(guān)于第一個(gè)粒子的單位矩陣。此時(shí)后邊的m表示第一個(gè)粒子的波，所以可以直接去除這個(gè)單位矩陣。上式可修改如下：,.,5、應(yīng)用舉例,例1自旋為的粒子，分別處于如下的純態(tài)與混合態(tài)上：,純態(tài)為,混合態(tài)為,（34）,（35）,利用密度算符方法在此兩種狀態(tài)上分別計(jì)算的平均值。,解,對(duì)于純態(tài)而言，在sz表象中，其矩陣形式為：,（36）,

12、.,相應(yīng)的密度矩陣為：,（37）,利用公式（11）可以求出自旋個(gè)分量的平均值為：,（38）,（39）,.,利用公式（12）可以計(jì)算自旋各分量算符的取各本征值的概率為：,（40）,（41）,（42）,下式表明：由上述取值概率求出的平均值與由（11）式的計(jì)算結(jié)果完全一致。,問題：為什么=(11),=(1-1)。答：這兩個(gè)矢量是矩陣的歸一化本征矢量，其本征值分別為1和-1。此矩陣有且僅有2個(gè)歸一化本征矢量。,.,（45）,（44）,（43）,（46）,.,對(duì)于混合態(tài)而言，根據(jù)密度算符的定義,（47）,密度矩陣可寫為(問題：如何得知自旋向上矢量為(10)和自旋向下矢量為(01)的呢？答：二者并矢組成一

13、個(gè)單位矩陣，說明二者正交。同時(shí)發(fā)現(xiàn)二者歸一。兩個(gè)自旋矢量符合正交歸一),（48）,用類似于純態(tài)的計(jì)算手段，得到自旋各分量的平均值為：,（49）,.,（38）,（39）,解析以下三個(gè)自旋算法和Pauli矩陣關(guān)系,驗(yàn)證以上三個(gè)矩陣滿足反對(duì)易關(guān)系，試求出以上三個(gè)矩陣的本征矢量表達(dá)式驗(yàn)證以下關(guān)系式：,.,例2關(guān)于混合態(tài)中的參與態(tài)的正交化問題，以如下的混合態(tài)為例：,（50）,找出與其等價(jià)的正交的混合態(tài)。,解,首先，求出該混合態(tài)的密度矩陣。,（51）,（52）,其次，求解密度矩陣滿足的本征方程(結(jié)合矢量歸一化條件求出a,b,p；已驗(yàn)證，結(jié)果無(wú)誤)：,.,它的本征解為(同時(shí)進(jìn)行矢量歸一化)：,（53）,此混合態(tài)亦為密度矩陣的本征態(tài)，由于它與給定的混合態(tài)對(duì)應(yīng)同一個(gè)密度矩陣，故它與給定的混合態(tài)是相同的，區(qū)別在于后者的參與態(tài)已經(jīng)正交化，相應(yīng)的權(quán)重也發(fā)生了變化(已經(jīng)依據(jù)(51)式思路計(jì)算(53)式密度矩陣，發(fā)現(xiàn)果然等于(51)式結(jié)果。另外，容易驗(yàn)證新獲得的兩個(gè)矢量?jī)?nèi)積為0，即為正交)。,.,例3關(guān)于約化密度矩陣問題的例題。設(shè)由粒子1（電子）與粒子2（質(zhì)子）構(gòu)成的雙粒子體系，在其自旋空間中，非偶合表象下的二體基矢為,（54）,在如下純態(tài)下,（55）,求電子自旋的平均值。,.,解,密度算符為：,（56）,依據(jù)(11)式，電子的約化密度算符為：,（57）,式中：