1、用求解幾何最值問(wèn)題江蘇省睢寧縣雙溝中學(xué)趙光朋（221212） 通過(guò)恰當(dāng)?shù)耐緩?，?gòu)建一元二次方程模型，在其有解的前提下，應(yīng)用或去探討某些幾何最值（或不等）問(wèn)題，有時(shí)可收到條理清晰、簡(jiǎn)捷明快的解題效果.舉例說(shuō)明如下：例1.當(dāng)斜邊一定時(shí)，求直角三角形周長(zhǎng)的最大值.分析：.當(dāng)三角形的斜邊一定時(shí)，兩條直角邊的和與積都可表示為周長(zhǎng)與的代數(shù)式，由此想到以為實(shí)數(shù)根構(gòu)造一元二次方程，再通過(guò)判別式求解.解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊為，周長(zhǎng)為.則， （1）.所以，即.又，所以 （2）.由（1）、（2）知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.所以.整理，得,求得，所以周長(zhǎng)的最大值是.點(diǎn)評(píng)：上述解法中，以三角形的斜邊和周長(zhǎng)

2、表示兩條直角邊，并利用韋達(dá)定理構(gòu)造一元二次方程，再巧用判別式“” 化“相等”為“不等”，為求得周長(zhǎng)的最大值疏通了渠道.例2.三角形有一個(gè)內(nèi)角為，此角所對(duì)的邊長(zhǎng)為，求證其余兩邊的和不大于.證明：如圖1，中，,.過(guò)作于，設(shè)，通過(guò),得，.令，整理，得關(guān)于的一元二次方程.由，得，所以，的最大值為，即其余兩邊的和不大于.點(diǎn)評(píng)：在此解法中，適時(shí)地引入變量，并將他們的關(guān)系用一個(gè)等式表達(dá)出來(lái)，為構(gòu)造一元二次方程明確了目標(biāo)，為應(yīng)用埋下了伏筆.更體現(xiàn)了幾何問(wèn)題代數(shù)化的轉(zhuǎn)換思想.例3.如圖2，已知的面積為,作一條直線,且與分別交于兩點(diǎn)。記的面積為,證明：.證明：因?yàn)?則可令.又和是以為頂點(diǎn)的等高三角形，所以，即.同

3、理可證,所以整理，得關(guān)于的方程.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，而,所以，即.點(diǎn)評(píng)：在上述解法中，以線段比為未知數(shù)， 并用表示三角形的面積比，通過(guò)等式變形得一元二次方程，構(gòu)思巧妙.再應(yīng)用，所證的結(jié)論則一目了然.例4.如圖3，中，分別是上的點(diǎn), , .設(shè),求證.分析：設(shè)，由已知的平行線可得兩對(duì)相似三角形，再利用相似三角形的性質(zhì)可找到各個(gè)三角形的面積與的關(guān)系，由此會(huì)萌生構(gòu)造一元二次方程，再應(yīng)用探討證明思路的念頭.證明：設(shè)，則，.易證,所以，.即,.易得,整理，得關(guān)于的一元二次方程.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以.化簡(jiǎn)得,所以.例5.如圖4，四邊形是一給定矩形，均不為，是過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線，與的延長(zhǎng)線交于.求面積的最小值. 解：設(shè),

4、則，.即.因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，所以，得.因?yàn)?所以.即面積的最小值是.點(diǎn)評(píng)：以角度為變量，以正切函數(shù)為主元，構(gòu)造一元二次方程，再應(yīng)用，為這道題的快速求解增添了色彩.例6.如圖5，過(guò)正方形的頂點(diǎn)作一直線與的延長(zhǎng)線交于，設(shè)，求的最小值.解：設(shè)，根據(jù)面積關(guān)系，有，即.設(shè)，則，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以.因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，故的最小值是.注：一般地，在解題過(guò)程中，如果能出現(xiàn)型的關(guān)系式，則可考慮利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程.例7.如圖6，已知四邊形的對(duì)角線相交于,若,則四邊形面積的最小值為（ ） 分析：若設(shè),則問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求的最小值.設(shè)，再求出的值，就可構(gòu)造以為兩個(gè)實(shí)數(shù)根的一元二次方程，根據(jù)，可求出

5、的取值范圍，進(jìn)而求出的最小值.解：設(shè)，（1）.因?yàn)?所以（2）.由（1）、（2）知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.所以，即，又，所以.因此，=.即的最小值是.此時(shí)，.例8.如圖7，與是兩個(gè)直角邊都等于，且疊在一起的等腰直角三角形.其中，固定，直角邊的中點(diǎn)分別為,保持斜邊在直線上可使位置左右移動(dòng).求兩個(gè)三角形重疊部分的六邊形面積的最大值. 解析：直接求解，難以入手，而由分別為的中點(diǎn)，可知也為的中點(diǎn).于是若記多邊形的面積為,則.再設(shè)，則，所以.則有，變形可得關(guān)于的方程.因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以，所以.故，此時(shí).由于，符合條件，所以，兩個(gè)三角形重疊部分面積的最大值是.例9.如圖8，切于點(diǎn)，直線交于點(diǎn),求證.分析：“”及

6、給出暗示，構(gòu)造一元二次方程，應(yīng)用也許可得巧證.證明：由割線定理，得,于是是方程的兩個(gè)根.因?yàn)?所以,由此可得.例10.當(dāng)直角三角形的周長(zhǎng)一定時(shí)，求其內(nèi)切圓面積的最大值.解析:設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)為（為斜邊），其周長(zhǎng)為，內(nèi)切圓半徑為，則有，由（1）、（3）得，從而 （4）.又 （5）.由（4）、（5）知是一元二次方程的兩個(gè)根.要使此方程有實(shí)數(shù)根，必須，即，所以.因?yàn)榕c矛盾，故取.所以當(dāng)時(shí)，內(nèi)切圓半徑最大，并推得時(shí)內(nèi)切圓有最大面積平方單位.注：這一解法中，盡力尋找兩數(shù)的和與積，是構(gòu)造方程、應(yīng)用求得結(jié)果的關(guān)鍵.例11.如圖9，是的直徑，過(guò)引圓的切線,又過(guò)上任意一點(diǎn)的切線與交于,求證.證明：如圖，連結(jié)

7、，因?yàn)?、均為的切線，且,所以，,又,易證,可得.又,可知是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.由，知.例12.如圖，半圓的半徑為，,且,是半圓上任意一點(diǎn)，求封閉圖形面積的最大值.分析:先添輔助線，把封閉圖形分割成規(guī)則圖形.利用他們的面積關(guān)系構(gòu)造一元二次方程，在應(yīng)用將是一個(gè)可取的途徑.解：如圖10，過(guò)作,設(shè)，封閉圖形面積為,則，=，.兩邊平方、化簡(jiǎn)得關(guān)于的一元二次方程.由,得,解得.故封閉圖形面積的最大值是.例13.有一塊圓心角為，半徑長(zhǎng)為米的扇形余料，打算利用此扇形余料鋸一個(gè)面積最大的矩形，求這個(gè)最大面積.解：為了使矩形的面積盡可能大，此矩形應(yīng)為扇形的內(nèi)接矩形.為此，分以下兩種情況討論，如圖11（1）、（2），先研究第一種情況，如圖11（1），連結(jié),設(shè)米，平方米，則=，所以，所以，兩邊平方，整理得.由，得所以為最大.再研究第二種情況，如圖11（2）.作的平分線交,連結(jié),設(shè)米，平方米，則=.所以.所以，兩邊平方，整理得，由，得所以為最大.由=，知所鋸矩形的最