1、排列組合的應(yīng)用,一、掌握優(yōu)先處理元素（位置）法 二、掌握捆綁法 三、掌握插空法 四、隔板法 五、分組分配問題： 1、是否均勻； 2、是否有組別。,學(xué)習(xí)目標(biāo):,復(fù)習(xí)引入：,1、什么叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列？,從n個(gè)不同元素中取出m（mn）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.,從n個(gè)不同的元素中取出m（mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù). 用符號 表示,2、什么叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)？,3、排列數(shù)的兩個(gè)公式是什么？,（n，mN*，mn）,組合定義：一般地說，從 n 個(gè)不同元素中，任取 m

2、 (mn) 個(gè)元素并成一組，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè)組合。,組合數(shù)公式：,組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):（1） （2）,例1： （1）7位同學(xué)站成一排，共有多少種 不同的排法？,分析：問題可以看作7個(gè)元素的全排列.,（2）7位同學(xué)站成兩排(前3后4)，共有多少種不同的排法？,分析:根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,（3）7位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法？,分析:可看作甲固定,其余全排列,（4）7位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？,（5）7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？,解法一:(特殊位置法),第一步:從其余5位同學(xué)中找2人站排

3、頭和排尾,有 種;,第二步:剩下的全排列,有 種;,答：共有2400種不同的排列方法。,解法二:(特殊元素法),第一步:將甲乙安排在除排頭和排尾的5個(gè)位置中的兩個(gè)位置上,有 種;,第二步:其余同學(xué)全排列,有 種;,答：共有2400種不同的排列方法。,解法三:(排除法),先全排列有 種,其中甲或乙站排頭有 種, 甲或乙站排尾的有 種,甲乙分別站在排頭和 排尾的有 種.,答：共有2400種不同的排列方法。,優(yōu)限法:,對于“在”與“不在”等類似有限制條件的排列問題,常常使用“直接法”(主要為“特殊位置法”和“特殊元素法”)或者“排除法”,即優(yōu)先考慮限制條件.這種方法就是優(yōu)限法.,【總結(jié)歸納】,一般地

4、，對于有限制條件的排列問題，有以下兩種方法： 直接計(jì)算法 排列的限制條件一般是：某些特殊位置和特殊元素. 解決的辦法是“特事特辦”，對于這些特殊位置和元素，實(shí)行優(yōu)先考慮，即特殊元素預(yù)置法、特殊位置預(yù)置法. 間接計(jì)算法 先拋開限制條件，計(jì)算出所有可能的排列數(shù)，再從中減去不合題意的排列數(shù)，特別要注意：不能遺漏，也不能重復(fù). 即排除法.,搞清限制條件的真正含義，做針對性文章！,例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,若三個(gè)女孩要站在一起，有多少種不同的排法？,解：將三個(gè)女孩看作一人與四個(gè)男孩排隊(duì)，有 種排法，而三個(gè)女孩之間有 種排法，所以不

5、同的排法共有： （種）。,捆綁法,若三個(gè)女孩要站在一起，四個(gè)男孩也要站在一起，有多少種不同的排法？,說一說,相鄰,例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,捆綁法:,對于相鄰問題,常常先將要相鄰的元素捆綁在一起,視作為一個(gè)元素,與其余元素全排列,再松綁后它們之間進(jìn)行全排列.這種方法就是捆綁法.,若三個(gè)女孩互不相鄰，有多少種不同的排法？,解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。,插空法,例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩

6、，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,男生、女生相間排列，有多少種不同的排法？,解：先把四個(gè)男孩排成一排有 種排法，在每一排列中有五個(gè)空檔（包括兩端），再把三個(gè)女孩插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。,插空法,例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排照相留念。,甲、乙兩人的兩邊必須有其他人，有多少種不 同的排法？,解：先把其余五人排成一排有 種排法，在每一排列中有四個(gè)空檔（不包括兩端），再把甲、乙插入空檔中有 種方法，所以共有： （種）排法。,插空法,例2：七個(gè)家庭一起外出旅游，若其中四家是一個(gè)男孩，三家是一個(gè)女孩，現(xiàn)將這七個(gè)小孩站成一排

7、照相留念。,插空法:,對于不相鄰問題,先將其余元素全排列,再將這些不相鄰的元素插入空擋中,這種方法就是插空法.,例3.1、將四個(gè)不同的小球分成兩組，每組兩個(gè)，有多少分法？,3種,2、將四個(gè)不同的小球分給兩人，每人兩個(gè)， 有多少分法？,甲,甲,乙,乙,6種,3、將四個(gè)不同的小球分成兩組，一組三個(gè)，一組一個(gè)，有多少分法？,4種,4、將四個(gè)小球分給兩人，一人三個(gè)， 一人一個(gè)，有多少分法？,甲,乙,8種,是否均勻,有無組別,注意,分組問題,若分成的m組是有組別的，只需在原來的分組基礎(chǔ)上再,有組別問題,例3:有6本不同的書，分成3堆.（1）如果每堆2本，有多少種分法？ （2）如果分成一堆1本，一堆2本，

8、一堆3本，有多少種分法？,分析:這與例2不同，區(qū)別在于把 6本不同的書分給甲、乙、丙3人，每人2本，相當(dāng)于把6本不同的書先分成3堆，再把分得的3堆分給甲、乙、丙3人.,總 結(jié)：,分組分配問題主要有分組后有分配對象(即組本身有序)的均分與不均分問題及分組后無分配對象(即組本身無序)的均分與不均分問題四種類型，常見的情形有以下幾種:,(2)均勻、有序分組: 把n個(gè)不同的元素分成有序的m組，每組r個(gè)元素， 則共有 種分法.(其中mr=n),(1)均勻、無序分組: 把n個(gè)不同的元素分成無序的m組，每組r個(gè)元素， 則共有 種分法.(其中mr=n),(3)非均勻、無序分組: 把n個(gè)不同的元素分成m組，第1

9、組r1個(gè)元素，第2組 r2個(gè)元素，第3組r3個(gè)元素，第m組rm個(gè)元素， 則共有 種分法. (其中r1+r2+r3+rm=n),(4)非均勻、有序分組: 把n個(gè)不同的元素分成m組，第1組r1個(gè)元素，第2組 r2個(gè)元素，第3組r3個(gè)元素，第m組rm個(gè)元素， 再分給m個(gè)人，則共有 種分法.(其中r1+r2+r3+rm=n),(5)局部均勻分組: 把n個(gè)不同的元素分成m組，其中m1個(gè)組有r1個(gè)元 素， m2個(gè)組有r2個(gè)元素， mk個(gè)組有rk個(gè)元素， 則共有 種分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+mkrk=n),例4:有6本不同的書，分成4堆.（3）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少種分法？ （

10、4）如果每堆至多2本，至少1本，有多少種分法？,例5:從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?,分析:問題相當(dāng)于把30個(gè)相同的球放入6個(gè)不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類問題可用“隔板法”處理.,小結(jié)：把n個(gè)相同元素分成m份，每份至少1個(gè)元素，問有多少種不同分法的問題可以采用“隔板法”.共有：,變式1:將7只相同的小球全部放入4個(gè)不同盒子，每盒至少1球的放法有多少種？,變式2:將7只相同的小球全部放入4個(gè)不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少種？,課堂練習(xí)：,1、4個(gè)學(xué)生和3個(gè)老師排成一排照相，老師不能排兩端，且老師必須排在一起的不同排法種數(shù)是（ ） A .

11、 B . C . D .,D,2、計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，4幅油畫，5幅國畫，排成一行陳列，要求同一品種的畫必須連在一起，那么不同的陳列方式有（ ）,B,3、在7名運(yùn)動(dòng)員中選出4名組成接力隊(duì)，參加4100米接力賽，那么甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法有多少種？,練習(xí)2:將5個(gè)人分成4個(gè)組，每組至少1人， 則分組的種數(shù)是多少？,練習(xí)1:將12個(gè)人分成2，2，2，3，3的5個(gè)組，則分組的種數(shù)是多少？,練習(xí)3:9件不同的玩具，按下列方案有幾種分法？ 1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少種分法？ 2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少種分法？ 3.每人3件，有多少種分法？

12、 4.平均分成三堆，有多少種分法？ 5.分為2、2、2、3四堆，有多少種分法？,解：,課堂小結(jié)：,1、對限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干個(gè)簡單的基本問題后再用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來解決； 2、一般情況下應(yīng)遵循先取元素，后排列的原則； 3、對于某些特殊問題要能熟練使用相應(yīng)方法解決，如：隔板法、均勻分組（局部均勻分組）等問題.,課堂小結(jié)：,基本的解題方法：, 有特殊元素或特殊位置的排列問題，通常是先排特殊元素或特殊位置，稱為優(yōu)先處理特殊元素（位置）法（優(yōu)先法）；, 某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看作一個(gè)元素，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排列，這種方法稱