1、營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二重積分的概念和性質(zhì),在一元函數(shù)積分學(xué)中，我們已經(jīng)知道，定積分是定義在某一區(qū)間上的一元函數(shù)的某種特定形式的和式的極限，由于科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐的發(fā)展，需要計(jì)算空間形體的體積、曲面的面積、空間物體的質(zhì)量、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等，定積分已經(jīng)不能解決這類問(wèn)題，另一方面，從數(shù)學(xué)邏輯思維的規(guī)律出發(fā)，必然會(huì)考慮定積分概念的推廣，從而提出了多元函數(shù)的積分學(xué)問(wèn)題。,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,當(dāng)人們把定積分解決問(wèn)題的基本思想“分割、近似代替、求和、取極限”用于解決這類問(wèn)題時(shí)發(fā)現(xiàn)是完全可行的。把解決的基本方法抽象概括出來(lái)，就得到多元函數(shù)積分學(xué)。,具體地

2、說(shuō)就是推廣到：定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù)、定義在空間區(qū)域上的三元函數(shù)、定義在一段平面曲線弧上的二元函數(shù)、定義在空間一段曲線弧上的三元函數(shù)、定義在空間曲面上的三元函數(shù)，從而得到二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分。這就是多元函數(shù)積分學(xué)的內(nèi)容。,本章將討論重積分，包括二重積分、三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算和應(yīng)用。,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,重點(diǎn)：重積分的計(jì)算方法，交換累次積分次序。,難點(diǎn)：選擇坐標(biāo)系，確定積分次序，定積分限。,基本要求,理解重積分概念，了解其基本性質(zhì),熟練掌握重積分的計(jì)算方法,掌握累次積分的換序法,掌握各種坐標(biāo)系及坐標(biāo)系下的面積元、體積元,理解重積分的實(shí)際背景

3、，能用重積分解決立體體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等實(shí)際問(wèn)題。,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,一、問(wèn)題的提出,曲頂柱體的體積,特點(diǎn)：平頂.,柱體體積=？,特點(diǎn)：曲頂.,曲頂柱體,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,步驟如下：,用若干個(gè)小平 頂柱體體積之 和近似表示曲 頂柱體的體積，,先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，,曲頂柱體的體積,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,求平面薄片的質(zhì)量,將薄片分割成若干小塊，,取典型小塊，將其近似 看作均

4、勻薄片，,所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,二、二重積分的概念,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,積分區(qū)域,被積函數(shù),積分變量,被積表達(dá)式,面積元素,積分和,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：,二重積分的幾何意義,當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積,當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值,由二重積分的定義可知,若二重積分,存在,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,則其值與區(qū)域的分法和小區(qū)域上點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，故可采用一種便于計(jì)算的劃分方式,在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的

5、直線族把D分成一些小區(qū)域，這些小區(qū)域中除去靠D的邊界的一些不規(guī)則小區(qū)域外，絕大部分都是小矩形，,緊靠D的邊界的小區(qū)域的面積,其中L為D的圍長(zhǎng),則面積元素為,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,故二重積分可寫(xiě)為,三、二重積分的性質(zhì),（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)）,性質(zhì),性質(zhì),營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,性質(zhì),對(duì)區(qū)域具有可加性,性質(zhì),若 為D的面積，,性質(zhì),若在D上,則有,特殊地,性質(zhì),（二重積分估值不等式）,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,性質(zhì),（二重積分中值定理）,解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 Q

6、Q群 54356621,解,解,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,求曲頂柱體的體積采用 “分割、求和、取極限”的方法，如下動(dòng)畫(huà)演示,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,四、小結(jié),二重積分的定義,（和式的極限）,二重積分的幾何意義,（曲頂柱體的體積）,二重積分的性質(zhì) （與定積分類似）,思考題,將二重積分定義與定積分定義進(jìn)行比較，找出它們的相同之處與不同之處.,營(yíng)口地區(qū)成人高等教育 QQ群 54356621,思考題解答,定積分與二重積分都表示某個(gè)和式的極限值，且此值只與被積函數(shù)及積分區(qū)域有關(guān)不同的是定積分的積分區(qū)域?yàn)閰^(qū)間，被積函數(shù)為定義在區(qū)間上的一元函數(shù)，而二重積分的積分區(qū)域?yàn)槠矫鎱^(qū)域，被積函數(shù)為定義在平面區(qū)域上的二元函數(shù),營(yíng)口地區(qū)成