1、控制工程基礎(chǔ) 第三章 主講教師：蹇崇軍,第三章 時(shí)域分析法,一、典型輸入信號,二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),四、高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),五、誤差分析和計(jì)算,六、穩(wěn)定性分析,七、時(shí)域特性的計(jì)算機(jī)輔助分析,八、小結(jié),一、典型輸入信號,時(shí)域分析的目的,在時(shí)間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。,優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡便,第三章 時(shí)域分析法,典型輸入信號,第三章 時(shí)域分析法,一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機(jī)的，即使對控制輸入，有時(shí)其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時(shí)間域進(jìn)行分析時(shí)，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具

2、有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。,對典型輸入信號的要求,第三章 時(shí)域分析法,形式簡單，便于解析分析；,能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；,實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。,第三章 時(shí)域分析法,常用的典型輸入信號,第三章 時(shí)域分析法,能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實(shí)際情況；,典型輸入信號的選擇原則,如：若實(shí)際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號；若實(shí)際系統(tǒng)的輸入隨時(shí)間逐漸變化，則可選速度信號。,注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時(shí)域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。,第三章 時(shí)域分析法,二、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）,一階系統(tǒng)的單

3、位階躍響應(yīng),極點(diǎn)（特征根）：-1/T,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn),響應(yīng)分為兩部分,瞬態(tài)響應(yīng)：,表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程 （動態(tài)/過渡過程）,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1,表示t時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài),xo(0) = 0，隨時(shí)間的推移， xo(t) 指數(shù)增大， 且無振蕩。 xo() = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差；,第三章 時(shí)域分析法,xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即經(jīng)過時(shí)間T，系統(tǒng) 響應(yīng)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以 通過實(shí)驗(yàn)測量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T；,時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工 程中當(dāng)響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95% 98%時(shí)，認(rèn)為

4、系統(tǒng)響應(yīng)過程基本結(jié)束。從 而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時(shí)間為3T4T。,第三章 時(shí)域分析法,將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫為：,即ln1-xo(t)與時(shí)間t成線性關(guān)系。,該性質(zhì)可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。,第三章 時(shí)域分析法,一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng),第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點(diǎn),瞬態(tài)響應(yīng)：T e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t T；,經(jīng)過足夠長的時(shí)間(穩(wěn)態(tài)時(shí)，如t 4T)，輸 出增長速率近似與輸入相同，此時(shí)輸出為： t T，即輸出相對于輸入滯后時(shí)間T；,系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：,第三章 時(shí)域分析法,一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),第三章 時(shí)域分析法,一階系

5、統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn),瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T )e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；,xo(0)=1/T,隨時(shí)間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；,對于實(shí)際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬 度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈 沖代替理想脈沖信號。,第三章 時(shí)域分析法,線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì),系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量 共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后 者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。,注意到：,第三章 時(shí)域分析法,對一階系統(tǒng)：,即：系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。,第三章 時(shí)域分析法,同樣可知，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。

6、,這種輸入輸出間的積分微分性質(zhì)對任何線性定常系統(tǒng)均成立。,第三章 時(shí)域分析法,三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),二階系統(tǒng),其中，T為時(shí)間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩 周期， 為阻尼比； n1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。,第三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)的特征方程：,極點(diǎn)（特征根）：,欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）： 01,具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：,系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：,第三章 時(shí)域分析法,臨界阻尼二階系統(tǒng)： 1,具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：,系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：,第三章 時(shí)域分析法,過阻尼二階系統(tǒng)： 1,具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：,系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：,零阻尼二階系統(tǒng)： 0,具有一對共軛

7、虛極點(diǎn)：,負(fù)阻尼二階系統(tǒng)： 0,極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,三、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),二階系統(tǒng),其中，T為時(shí)間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩 周期， 為阻尼比； n1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。,第三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)的特征方程：,極點(diǎn)（特征根）：,欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）： 01,具有一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：,系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：,第三章 時(shí)域分析法,臨界阻尼二階系統(tǒng)： 1,具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：,系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：,第三章 時(shí)域分析法,過阻尼二階系統(tǒng)： 1,具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)

8、：,系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：,零阻尼二階系統(tǒng)： 0,具有一對共軛虛極點(diǎn)：,負(fù)阻尼二階系統(tǒng)： 0,極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。,系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：,第三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),第三章 時(shí)域分析法,欠阻尼（01）狀態(tài),其中，,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn),xo() = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差；,瞬態(tài)分量為振幅等于 的阻尼 正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由和n決定。 阻尼振蕩頻率 ；,振蕩幅值隨減小而加大。,第三章 時(shí)域分析法,臨界阻尼（=1）狀態(tài),特點(diǎn),單調(diào)上升，無 振蕩、無超調(diào)；,xo () = 1，無 穩(wěn)態(tài)誤差。,第三章

9、時(shí)域分析法,過阻尼（1）狀態(tài),特點(diǎn),單調(diào)上升，無振蕩， 過渡過程時(shí)間長,xo () = 1，無穩(wěn)態(tài) 誤差。,第三章 時(shí)域分析法,無阻尼（=0）狀態(tài),特點(diǎn) 頻率為n的等 幅振蕩。,第三章 時(shí)域分析法,負(fù)阻尼（0）狀態(tài),-10：輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同。, -1：輸出表達(dá)式與過阻尼狀態(tài)相同。,特點(diǎn)：振蕩發(fā)散,特點(diǎn)：單調(diào)發(fā)散,第三章 時(shí)域分析法,幾點(diǎn)結(jié)論,二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性：, 0 時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；, 1 時(shí)，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；,01時(shí)，有振蕩， 愈小，振蕩愈嚴(yán)重， 但響應(yīng)愈快，, = 0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。,第三章 時(shí)域分析法,一定時(shí)，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰

10、減越 迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng) 的快速性越好。,工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用， 如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻 尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.40.8之間， 以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過 大的振蕩。,第三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng), 1：, = 1：,01：, = 0：,第三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng), 1：, = 1：,第三章 時(shí)域分析法,01：, = 0：,第三章 時(shí)域分析法,例題,例1,解：由題意Xi(s)=1，所以：,第三章 時(shí)域分析法,例2,解：1）單位階躍輸入時(shí),從而：,第三章 時(shí)域分析法,2）單位脈沖輸入時(shí)，由于,因此：,第

11、三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)的性能指標(biāo),控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo),控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評價(jià)系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。,系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有：上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)整時(shí)間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,評價(jià)系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo),上升時(shí)間tr,響應(yīng)曲線從零時(shí)刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。對無超調(diào)系統(tǒng)，上升時(shí)間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需 的時(shí)間。,峰值時(shí)間tp,響應(yīng)曲線從零上升到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。,第三章 時(shí)域分析法,調(diào)整時(shí)間ts,響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范

12、圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內(nèi)所需的時(shí)間。,最大超調(diào)量Mp,響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示：,評價(jià)系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標(biāo),第三章 時(shí)域分析法,若xo(tp) xo()，則響應(yīng)無超調(diào)。,振蕩次數(shù)N,在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。,實(shí)測時(shí)，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計(jì)數(shù)。,第三章 時(shí)域分析法,欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo),上升時(shí)間tr,根據(jù)上升時(shí)間的定義有：,欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：,第三章 時(shí)域分析法,從而：,顯然， 一定時(shí)，n越大，tr越??；,即：,n一定時(shí)， 越大，tr 越大。,第三章 時(shí)域分析法,峰值時(shí)間tp,即：,第三章 時(shí)域分析法,根據(jù)tp的定義解上方程

13、可得：,可見，峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越??；n一定， 越大，tp 越大。,第三章 時(shí)域分析法,最大超調(diào)量 Mp,顯然，Mp僅與阻尼比有關(guān)。最大超調(diào)量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng) = 0.40.8時(shí)，可以求得相應(yīng)的 Mp = 25.4%1.5%。,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,調(diào)整時(shí)間ts,對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對對稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量 1 的指數(shù)曲線：,第三章 時(shí)域分析法,當(dāng)包絡(luò)線進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時(shí)，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：,可以求得：,由上式求得的ts包通常

14、偏保守。,以進(jìn)入5%的誤差范圍為例，,第三章 時(shí)域分析法,當(dāng)阻尼比較小時(shí)，有,同理可證，進(jìn)入2%的誤差范圍，則有,得,解,第三章 時(shí)域分析法,當(dāng)阻尼比一定時(shí)，無阻尼自振角頻率n越大，則調(diào)整時(shí)間ts越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。,當(dāng)n一定時(shí)，變化求ts的極小值，可得：,當(dāng)=0.707左右時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間ts最短，即響應(yīng)最快。,當(dāng)0.707時(shí)， 愈小，則ts愈長；,當(dāng)0.707時(shí)， 愈大，則ts愈長。,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,由圖可見：,當(dāng)由零增大時(shí)，nts先減小后增大，當(dāng)= 5%時(shí)，nts的最小值出現(xiàn)在0.78處；當(dāng)= 2%時(shí)，nts的最小值出現(xiàn)在0.69處；出現(xiàn)最小值后，

15、nts隨幾乎線性增加。,nts出現(xiàn)最小值的原因：增大時(shí)，響應(yīng)的振蕩逐漸減小，nts 減小，但同時(shí)降低了響應(yīng)起始段的上升速度(tr 加大)。二因素比較，在起始段前者起主要作用，nts 下降。這一段曲線上的突跳點(diǎn)與響應(yīng)曲線切于允許誤差線相對應(yīng)；,第三章 時(shí)域分析法,當(dāng)增加到0.7左右，振蕩很小，此時(shí)起始段上升速度的下降對nts 的影響起主導(dǎo)作用，導(dǎo)致nts增加。,當(dāng)一定時(shí)，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。,當(dāng)00.7時(shí)，,第三章 時(shí)域分析法,振蕩次數(shù)N,N 僅與 有關(guān)。與Mp 一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。,對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期,則,第三章 時(shí)域分析法,二階系統(tǒng)

16、的動態(tài)性能由n和決定。,結(jié)論,通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定。一般 選擇在0.40.8之間，然后再調(diào)整n以獲得合 適的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間。,一定，n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好， tr、 tp、ts越小。,增加可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp 和振蕩 次數(shù)N ，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；,第三章 時(shí)域分析法,例題1,圖a)所示機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時(shí)間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性系數(shù)K和粘 性阻尼系數(shù)C的值。,第三章 時(shí)域分析法,解：根據(jù)牛頓第二定律：,其中，,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：,第三章 時(shí)域分析法,由于F(s)=Lf(t)=L8.9=8.9/s，

17、因此,根據(jù)拉氏變換的終值定理：,由圖b)知 xo() = 0.03m，因此：,K=8.9/0.03=297N/m,第三章 時(shí)域分析法,又由圖b)知：,解得： = 0.6,又由：,代入，可得n=1.96rad/s,根據(jù),解得 M = 77.3Kg，C = 181.8Nm/s,第三章 時(shí)域分析法,例題2,第三章 時(shí)域分析法,解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,1）K = 200時(shí),n=31.6rad/s，=0.545,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,2）K = 1500時(shí),n=86.2rad/s，=0.2，同樣可計(jì)算得：,tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7% ts=0.174s，

18、N=2.34,可見，增大K，減小，n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化,第三章 時(shí)域分析法,即系統(tǒng)可以視為由兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的 一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中 T1=0.481s, T2=0.0308s,3）K = 13.5時(shí),n=8.22rad/s，=2.1 ，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：,第三章 時(shí)域分析法,對于過阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無意義，而調(diào)整時(shí)間ts間可以通過其中時(shí)間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進(jìn)行估算，即： ts=3T1=1.443s (=0.05),顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無超調(diào)，但過渡過程緩慢。,第三章 時(shí)域分析法,四、高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),高階系統(tǒng)的單位

19、階躍響應(yīng),考慮系統(tǒng),第三章 時(shí)域分析法,假設(shè)系統(tǒng)極點(diǎn)互不相同。,其中，a, aj為Xo(s)在極點(diǎn)s = 0和s = -pj處的留數(shù)； bk、ck是與Xo(s)在極點(diǎn) 處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。,當(dāng)Xi(s)=1/s時(shí)，,第三章 時(shí)域分析法,其中，=arctg(bk/ck)。,第三章 時(shí)域分析法,高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn),高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系 統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。,如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在 s 平面的左半平面 內(nèi)，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部( pj 、 kk大于零)，則隨著時(shí)間t，xo()=a。 即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,第三章 時(shí)域分析法,極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài) 分量衰減的

20、快慢，距離越遠(yuǎn)衰減越快；,系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對時(shí)域響應(yīng)的影響,第三章 時(shí)域分析法,系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大小（即 各個(gè)瞬態(tài)分量的相對強(qiáng)度），如果在某一 極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量 的強(qiáng)度將變小，所以一對靠得很近的零點(diǎn) 和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。這對零 極點(diǎn)稱為偶極子。,通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值 小一個(gè)數(shù)量級，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對 偶極子，可以對消。,第三章 時(shí)域分析法,綜上所述，對于高階系統(tǒng)，如果能夠找到 主導(dǎo)極點(diǎn)（通常選為一對共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)， 即二階系統(tǒng)），就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸 的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為二階系統(tǒng) 進(jìn)行處理。,主導(dǎo)極點(diǎn)（ 距虛軸最近、實(shí)部的絕對

21、值為 其它極點(diǎn)實(shí)部絕對值的1/5或更小，且其附 近沒有零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)）對高階系統(tǒng)的瞬 態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。,第三章 時(shí)域分析法,例題,解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式為：,第三章 時(shí)域分析法,由系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖可見，零點(diǎn)z1-20.03和極點(diǎn)p1-20 構(gòu)成一對偶極子，可以消去，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3,4-10j71.4與極點(diǎn)p2-60相距很遠(yuǎn)， p3,4 為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)， p2對響應(yīng)的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡化為：,第三章 時(shí)域分析法,系統(tǒng)的近似單位階躍響應(yīng)為：,n=72.11rad/s，=0.139,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,五、誤差分析和計(jì)算,控制系統(tǒng)的偏差與誤差,考慮圖示反饋控

22、制系統(tǒng),偏差信號(s),(s)= Xi(s)B(s) Xi(s)H(s) Xo(s),偏差信號(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：,第三章 時(shí)域分析法,誤差信號E(s),誤差信號E(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實(shí)際輸出Xo(s)之差，即：,E(s)= Xor(s) Xo(s),控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s) 為偏差信號(s)0時(shí)的實(shí)際輸出值，即此時(shí)控制系統(tǒng)無控制作用，實(shí)際輸出等于期望輸出： Xo(s)Xor(s),第三章 時(shí)域分析法,由：(s)= Xi(s)B(s) =Xi(s)H(s)Xor(s)0,可得：Xor(s)Xi(s)/H(s),對于單位反饋

23、系統(tǒng)，H(s)1，Xor(s)Xi(s),偏差信號(s)與誤差信號E(s)的關(guān)系,對單位反饋系統(tǒng)：E(s) (s),第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)誤差及其計(jì)算,穩(wěn)態(tài)誤差ess,穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t）下的差值，即誤差信號e(t) 的穩(wěn)態(tài)分量：,當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為：,即：,利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)誤差：,對于單位反饋系統(tǒng)：,顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)

24、，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。,第三章 時(shí)域分析法,例題,已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： G(s)=1/Ts 求其在單位階躍輸入、單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號sint輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。,解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：,第三章 時(shí)域分析法,在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：,在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：,在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：,第三章 時(shí)域分析法,sint輸入時(shí)：,由于上式在虛軸上有一對共軛極點(diǎn)，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。,對上式拉氏變換后得：,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)輸出為：,而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯(cuò)誤得結(jié)論

25、：,此例表明，輸入信號不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù),穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念,穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù),單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)。,其中，,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù),單位速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)。,其中，,對于單位反饋系統(tǒng)，,易知：,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù),單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差,稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)。,其中，,對于單位反饋系統(tǒng)，,易知：,第三章 時(shí)域分析法,結(jié)論,當(dāng)輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。,對于單

26、位反饋系統(tǒng)，,易知：,第三章 時(shí)域分析法,系統(tǒng)類型,將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：,則：,第三章 時(shí)域分析法,即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益、輸入信號以及開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v。,根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當(dāng) v = 0, 1, 2, 時(shí)，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、型、系統(tǒng)。,第三章 時(shí)域分析法,不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差,0型系統(tǒng),第三章 時(shí)域分析法,I型系統(tǒng),第三章 時(shí)域分析法,型系統(tǒng),第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,幾點(diǎn)結(jié)論,不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)， 其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于 不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也

27、不同。,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán) 增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。,在階躍輸入作用下， 0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 為定值，常稱為有差系統(tǒng)； I型系統(tǒng)的穩(wěn) 態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；,第三章 時(shí)域分析法,令為輸入信號拉氏變換后s的階次，當(dāng)v 時(shí)，無穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）；-v=1時(shí)，偏差 （誤差）為常數(shù)；-v=2時(shí)，偏差（誤差） 為無窮大；,在速度輸入作用下，II 型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 為 0，常稱為二階無差系統(tǒng)。,習(xí)慣上，稱輸出量為“位置”，輸出量的變 化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的 概念。,第三章 時(shí)域分析法,盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入 下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度 誤差

28、和加速度誤差，但對速度誤差、加速 度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、 加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在 一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,系統(tǒng)在多個(gè)信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差 （誤差）等于多個(gè)信號單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài) 偏差（誤差）之和。,如：,總的穩(wěn)態(tài)偏差：,如果輸入量非單位量時(shí)，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤 差）按比例增加。,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)只對相應(yīng)的階躍、速度及加 速度輸入有意義。,擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差,擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差,第三章 時(shí)域分析法,所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差：,擾動偏差傳遞函數(shù)為：,即：,第三章 時(shí)域分析法,由擾動引起的輸出為：,即系統(tǒng)

29、誤差：,穩(wěn)態(tài)誤差：,第三章 時(shí)域分析法,對于單位階躍擾動，,若G1(0)G2(0)H(0)1，則,即 擾動作用點(diǎn)前的前向通道傳遞函數(shù)G1(0)越大，由一定的擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。,第三章 時(shí)域分析法,系統(tǒng)總誤差,當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時(shí)，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：,穩(wěn)態(tài)誤差：,第三章 時(shí)域分析法,例題,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T為常數(shù)，試求當(dāng)輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。,第三章 時(shí)域分析法,解：n(t)=0時(shí),系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：,第三章 時(shí)域分析法,第三章 時(shí)域分析法,注：已知輸入

30、作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通過穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)求解。,要使系統(tǒng)對輸入xi(t)=1+t無穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1K3 K4 =0 K4=1/K3 。,第三章 時(shí)域分析法,只有擾動作用時(shí)(xi(t)=0),第三章 時(shí)域分析法,減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法,提高系統(tǒng)開環(huán)增益；,增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；,通過順饋控制或復(fù)合控制進(jìn)行補(bǔ)償；,第三章 時(shí)域分析法,六、穩(wěn)定性分析,穩(wěn)定的概念,穩(wěn)定性示例,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)定性定義,原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡狀態(tài)。若系統(tǒng)在擾動作用消失后，經(jīng)過一段過渡過程后，系統(tǒng)仍然

31、能夠回復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是（漸近）穩(wěn)定的。否則，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入無關(guān)。,第三章 時(shí)域分析法,若系統(tǒng)不論擾動引起的初始偏差有多大，當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復(fù)到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。,對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定一定意味著大范圍穩(wěn)定，當(dāng)然此時(shí)系統(tǒng)必須工作在其線性范圍內(nèi)。,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)定程度,臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。,第三章 時(shí)域分析法,處于臨界穩(wěn)定，或接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定系

32、統(tǒng)，由于分析時(shí)依賴的模型通常是簡化或線性化的，或者由于實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)的時(shí)變特性等因素的影響，在實(shí)際中可能成為不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量，以保證其在實(shí)際工作時(shí)處于穩(wěn)定狀態(tài)。,經(jīng)典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。,第三章 時(shí)域分析法,穩(wěn)定的條件,假設(shè)系統(tǒng)在初始條件為零時(shí)，受到單位脈沖信號(t)的作用，此時(shí)系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應(yīng)，這相當(dāng)于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點(diǎn)的問題，顯然，當(dāng)t時(shí)，若：,系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。,第三章 時(shí)域分析法,考慮系統(tǒng),其特征方程為：,對于特征方程的單實(shí)根-，相應(yīng)瞬態(tài)輸出為：,當(dāng)- 0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。,當(dāng)- 0時(shí)，該輸出分量指

33、數(shù)單調(diào)遞增。,當(dāng)- = 0時(shí)，該輸出分量為常數(shù)。,第三章 時(shí)域分析法,對于特征方程的一對共軛單復(fù)根- j，相應(yīng)瞬態(tài)輸出為：,其中， = arctgB/C。,當(dāng)- 0時(shí)，該分量為指數(shù)衰減的振蕩過程。,當(dāng)- 0時(shí)，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。,當(dāng)- = 0時(shí)，該分量為等幅振蕩。,第三章 時(shí)域分析法,對于r重實(shí)根-，相應(yīng)的時(shí)域分量為：,當(dāng)- 0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)衰減。,當(dāng)- 0時(shí)，該輸出分量指數(shù)單調(diào)遞增。,當(dāng)- = 0時(shí)，該輸出分量多項(xiàng)式遞增。,第三章 時(shí)域分析法,對于一對r重共軛復(fù)根 - j，相應(yīng)的時(shí)域分量為：,當(dāng)- 0時(shí)，該分量為指數(shù)衰減的振蕩過程。,當(dāng)- 0時(shí)，該分量為指數(shù)發(fā)散的振蕩過程。

34、,當(dāng)- = 0時(shí)，該分量為多項(xiàng)式發(fā)散的振蕩過程。,第三章 時(shí)域分析法,綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征根均為負(fù)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)數(shù)部分；即：所有特征根均在復(fù)數(shù)平面的左半部分。,由于特征根就是系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點(diǎn)均在s平面的左半平面。,顯然，穩(wěn)定性與零點(diǎn)無關(guān)。,第三章 時(shí)域分析法,勞斯（Routh）穩(wěn)定判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件,優(yōu)點(diǎn)：無需求解特征根，直接通過特征方程的系數(shù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,第三章 時(shí)域分析法,由根與系數(shù)的關(guān)系可以求得：,第三章 時(shí)域分析法,若使全部特征根pi若均具有負(fù)實(shí)部，則要求特征方程的各項(xiàng)

35、系數(shù)ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即：,注意，該條件僅為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。,ai0 (i = 0, 1, 2, , n),第三章 時(shí)域分析法,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件勞斯穩(wěn)定判據(jù),第三章 時(shí)域分析法,列出勞斯陣列,第三章 時(shí)域分析法,在上述計(jì)算過程中，為了簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整行，這時(shí)并不改變系統(tǒng)穩(wěn)定性的結(jié)論。,第三章 時(shí)域分析法,用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性,考察勞斯陣列表中第一列各數(shù)的符號，如果第一列中各數(shù)a0、a1、b1、c1、的符號相同，則表示系統(tǒng)具有正實(shí)部特征根的個(gè)數(shù)等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號改變的次數(shù)等于系統(tǒng)具有的正實(shí) 部特征根的個(gè)數(shù)。,通常a0 0，因此，勞斯穩(wěn)定判據(jù)可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數(shù)均大于零。,第三章 時(shí)域分析法,例題,解：勞斯陣列如下：,勞斯陣列第一列中元素符號改變了兩次，表明系統(tǒng)具有兩個(gè)正實(shí)部的極點(diǎn)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。,事實(shí)上系統(tǒng)包含了三個(gè)極點(diǎn)：0.406+j10.185、 0.406-j10.185、 -4.812,第三章 時(shí)域分析法,低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù),二階系統(tǒng),第三章 時(shí)域分析法,三階系統(tǒng),第三章 時(shí)域分析法,例題,解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：,第三章 時(shí)域分析法,由三階系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，有：,此系統(tǒng)為三階系統(tǒng)，特征方程為：,即：當(dāng)0K30時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定。,第三章 時(shí)域分析法,解