1、教師歸納好， 學生照搬套， 習慣用技巧， 不會去思考。, 161電影網(wǎng)整理發(fā)布,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,課件作者：南京師大數(shù)科院周興和,1、仿射變換,定義3.1 在拓廣平面上，保持無窮遠直線不變的射影變換稱為射影仿射變換.,定理3.1 射影變換,保持l：x3=0不變a31=a32=0.,證明：(略, 見教材).,顯然, 射影仿射變換形如,作用于射影仿射平面(拓廣平面上).,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,1、仿射變換,顯然, 射影仿射變換形如,作用于射影仿射平面(拓廣平面上).,將(3.2)式化為非齊次(前二式兩邊分別除以第三式), 得,稱(3.3)決定

2、的變換為仿射變換, 作用于一般仿射平面上.,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,1、仿射變換,中, 如果矩陣A為正交陣, 即滿足AA=E, 則稱為正交變換, (3.3)的齊次坐標表達式稱為射影正交變換.,2、正交變換,定義3.2 在仿射變換,注：正交變換作用于歐氏平面上, 而射影正交變換則作用于射影仿射平面上.,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,二、群與變換群,定義 (代數(shù)運算)設(shè)A, B, C為集合, 為AB到C的一個對應. 則稱為AB到C的一個代數(shù)運算. 特別地, 若B=C=A, 則稱為集合A上的一個代數(shù)運算.,注：代數(shù)運算可以滿足結(jié)合律, 交換律, 分配律中的某

3、一個或者全部.,以下這些概念都將在近世代數(shù)課程中學習, 我們僅承認并應用.,定義了代數(shù)運算的集合稱為代數(shù)系統(tǒng), 代數(shù)學就是研究代數(shù)系統(tǒng)的科學.,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,二、群與變換群,比如, 實數(shù)集R上的加(減)法、乘(除)法都是R上的代數(shù)運算.,比如, 對于數(shù)域F上的向量空間V, 數(shù)乘向量是FV到V的一個代數(shù)運算.,有形形式式的集合, 更有各種各樣的代數(shù)運算.,比如, 矩陣的乘法是所有矩陣的集合上的代數(shù)運算.,比如, sin不是一個代數(shù)運算, 而sincos是一個代數(shù)運算.,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,二、群與變換群,定義3.3 (群)設(shè)G為非空集

4、合. 在G上定義一個代數(shù)運算, 稱為乘法. 如果滿足下述4條公理, 則稱G對于這個乘法構(gòu)成一個群, 記作G.,注1 定義中的運算是稱為乘法, 未必是通常的乘法.,注2 群中的乘法不一定滿足交換律. 若滿足交換律, 可以將這種乘法稱為加法, 這樣的群稱為交換群或加法群或Abel群.,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,二、群與變換群,例1 設(shè)Q*表示全體非零有理數(shù)的集合, 則Q*對于數(shù)的乘法構(gòu)成群.,例2 設(shè)M表示實數(shù)域上全體n階可逆方陣的集合, 則M對于矩陣的乘法構(gòu)成群.,定義3.3 (群)設(shè)G為非空集合. 在G上定義一個代數(shù)運算, 稱為乘法. 如果滿足下述4條公理, 則稱G對于這

5、個乘法構(gòu)成一個群, 記作G.,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,二、群與變換群,定義3.4 (子群)設(shè)G為群, H為G的一個非空子集, 若H對于G上的乘法也構(gòu)成群, 則稱H為G的一個子群.,定理3.2 群G的一個非空子集H為G的子群H滿足下述條件.,證明. 只要由上述(1), (2)推出H對于G的乘法滿足群的4個條件(嚴格證明將來見近世代數(shù)課程).,第三章 變換群與幾何學,一、二維射影變換的特例,二、群與變換群,定義3.5 (群的同構(gòu))兩個群G, G之間的一個能夠保持乘法運算的雙射稱為G與G之間的一個同構(gòu)映射. 如果群G與G之間存在一個同構(gòu)映射, 則稱G同構(gòu)于G, 記作GG.,定理3.3 非空集合S上全體一一變換的集合對于變換的乘法構(gòu)成群. 稱為集合S上的全變換群.,定理3.4 非空集合S上若干個一一變換的集合G對于變換的乘法構(gòu)成