1、初等模型,1 公平的席位分配 2 雙層玻璃窗的功效 3 汽車剎車距離 4 劃艇比賽的成績 5 核軍備競賽 6 量綱分析與無量綱化 7 動物體重模型,1 公平的席位分配,問題,三個系學生共200名（甲系100，乙系60，丙系40）， 代表會議共20席，按比例分配，三個系分別為10，6，4席。,現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系，三系人數(shù)為103, 63, 34, 問20席如何分配。,若增加為21席，又如何分配。,比例加慣例,對丙系公平嗎,“公平”分配方法,衡量公平分配的數(shù)量指標,當p1/n1= p2/n2 時，分配公平,p1/n1 p2/n2 對A的絕對不公平度,p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=

2、100, n2=10, p2/n2=10,p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100,p1/n1 p2/n2=5,但后者對A的不公平程度已大大降低!,雖二者的絕對不公平度相同,若 p1/n1 p2/n2 ，對 不公平,A,p1/n1 p2/n2=5,公平分配方案應使 rA , rB 盡量小,設A, B已分別有n1, n2 席，若增加1席，問應分給A, 還是B,不妨設分配開始時 p1/n1 p2/n2 ，即對A不公平, 對A的相對不公平度,將絕對度量改為相對度量,類似地定義 rB(n1,n2),將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動態(tài)的席位分配,

3、即,“公平”分配方法,若 p1/n1 p2/n2 ，定義,1）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,則這席應給 A,2）若 p1/(n1+1) p2/n2 ，,3）若 p1/n1 p2/(n2+1)，,應計算rB(n1+1, n2),應計算rA(n1, n2+1),若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應給,應討論以下幾種情況,初始 p1/n1 p2/n2,問：,p1/n1p2/(n2+1) 是否會出現(xiàn)？,A,否!,若rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 則這席應給 B,當 rB(n1+1, n2) rA(n1, n2+1), 該席給A,該席給A,否則

4、, 該席給B,推廣到m方分配席位,該席給Q值最大的一方,Q 值方法,三系用Q值方法重新分配 21個席位,按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢,甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3,用Q值方法分配第20席和第21席,第20席,第21席,同上,Q3最大，第21席給丙系,甲系11席，乙系6席，丙系4席,Q值方法分配結(jié)果,公平嗎？,Q1最大，第20席給甲系,進一步的討論,Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？,席位分配的理想化準則,已知: m方人數(shù)分別為 p1, p2, , pm, 記總?cè)藬?shù)為 P= p1+p2+pm, 待分配的總席位為

5、N。,設理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2, , nm (自然應有n1+n2+nm=N)，,記qi=Npi /P, i=1,2, , m,ni 應是 N和 p1, , pm 的函數(shù)，即ni = ni (N, p1, , pm ),若qi 均為整數(shù)，顯然應 ni=qi,qi=Npi /P不全為整數(shù)時，ni 應滿足的準則：,記 qi =floor(qi) 向 qi方向取整； qi+ =ceil(qi) 向 qi方向取整.,1) qi ni qi+ (i=1,2, , m),2) ni (N, p1, , pm ) ni (N+1, p1, , pm) (i=1,2, , m),即ni 必取q

6、i , qi+ 之一,即當總席位增加時， ni不應減少,“比例加慣例”方法滿足 1），但不滿足 2）,Q值方法滿足 2）,但不滿足 1）。令人遺憾！,問題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失,假設,熱量傳播只有傳導，沒有對流,T1,T2不變，熱傳導過程處于穩(wěn)態(tài),材料均勻，熱傳導系數(shù)為常數(shù),建模,熱傳導定律,Q 單位時間單位面積傳導的熱量,T溫差, d材料厚度, k熱傳導系數(shù),2 雙層玻璃窗的功效,Ta,Tb,記雙層玻璃窗傳導的熱量Q1,Ta內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,建模,記單層玻璃窗傳導的熱量Q2,雙層與單層窗傳導的熱量之比,k1=410-3 8 10-

7、3, k2=2.510-4, k1/k2=16 32,對Q1比Q2的減少量作最保守的估計，,取k1/k2 =16,建模,模型應用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導系數(shù) k2, 而這要求空氣非常干燥、不流通。,房間通過天花板、墻壁 損失的熱量更多。,雙層窗的功效不會如此之大,4 汽車剎車距離,美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問題,正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時， 后面與前車的距離應增一個車身的長度。,實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準

8、則” ：,后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù) 2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何,判斷 “2秒準則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。,問題分析,常識：剎車距離與車速有關,10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車身的平均長度15英尺(=4.6米),“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同,剎車距離,反應時間,司機狀況,制動系統(tǒng)靈活性,制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 ,最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。,車速,假 設 與 建 模,1. 剎車距離 d 等于反應距離 d1 與制動距離 d2 之和,2. 反應距離

9、d1與車速 v成正比,3. 剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應時間,且F與車的質(zhì)量m成正比,反應時間 t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒,參數(shù)估計,利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒準則”應修正為 “t 秒準則”,模 型,4 劃艇比賽的成績,對四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國際大賽冠軍的成績進行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手數(shù)有某種關系。試建立數(shù)學模型揭示這種關系。,問題,準備,調(diào)查賽艇的尺寸和重量,問題分析,前進阻力 浸沒部分與水的摩擦力,前進動力 漿手的劃漿功率,分析賽艇速度與漿手數(shù)量之間的關系

10、,賽艇速度由前進動力和前進阻力決定,對漿手體重、功率、阻力與艇速的關系等作出假定,運用合適的物理定律建立模型,模型假設,1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比,符號：艇速 v, 浸沒面積 s, 浸沒體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 漿手數(shù) n, 漿手功率 p, 漿手體重 w, 艇重 W,艇的靜態(tài)特性,艇的動態(tài)特性,3）w相同，p不變，p與w成正比,漿手的特征,模型建立,f sv2,p w,s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n,np fv,模型檢驗,利用4次國際大賽冠軍的平均成績對模型 t n 1/ 9 進行檢驗,與模型巧合！,5

11、 核軍備競賽,冷戰(zhàn)時期美蘇聲稱為了保衛(wèi)自己的安全，實行“核威懾戰(zhàn)略”，核軍備競賽不斷升級。,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束，雙方通過了一系列的核裁軍協(xié)議。,在什么情況下雙方的核軍備競賽不會無限擴張，而存在暫時的平衡狀態(tài)。,當一方采取加強防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導彈等措施時，平衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化。,估計平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量，這個數(shù)量受哪些因素影響。,背景,以雙方(戰(zhàn)略)核導彈數(shù)量描述核軍備的大小。,假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認為對方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導彈攻擊己方的核導彈基地；,乙方在經(jīng)受第一次核打擊后，應保存足夠的核導彈，給對方重要目標以毀滅性

12、的打擊。,在任一方實施第一次核打擊時，假定一枚核導彈只能攻擊對方的一個核導彈基地。,摧毀這個基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定。,模型假設,圖的模型,y=f(x)甲方有x枚導彈，乙方所需的最少導彈數(shù),x=g(y)乙方有y枚導彈，甲方所需的最少導彈數(shù),當 x=0時 y=y0，y0乙方的威懾值,y0甲方實行第一次打擊后已經(jīng)沒有導彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標所需導彈數(shù),P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方 安全區(qū),P平衡點(雙方最少導彈數(shù)),乙安全線,精細模型,乙方殘存率 s 甲方一枚導彈攻擊乙方一個基地，基地未被摧毀的概率。,sx個基地未摧毀，yx個基地未

13、攻擊。,xy,甲方以 x攻擊乙方 y個基地中的 x個,y0=sx+yx,x=y,y0=sy,乙的xy個被攻擊2次，s2(xy)個未摧毀； y (xy)=2y x個被攻擊1次，s(2y x )個未摧毀,y0= s2(xy)+ s(2y x ),x=2y,y0=s2y,yx2y,a交換比(甲乙導彈數(shù)量比),x=a y,精細模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0威懾值,s殘存率,y是一條上凸的曲線,y0變大，曲線上移、變陡,s變大，y減小，曲線變平,a變大，y增加，曲線變陡,xy, y= y0+(1-s)x,yx2y,甲方增加經(jīng)費保護及疏散工業(yè)、交通中心等目標,乙方威懾值 y

14、0變大,甲方的被動防御也會使雙方軍備競賽升級。,（其它因素不變）,乙安全線 y=f(x)上移,模型解釋,平衡點PP,甲方將固定核導彈基地改進為可移動發(fā)射架,乙安全線y=f(x)不變,甲方殘存率變大,威懾值x 0和交換比不變,x減小，甲安全線x=g(y)向y軸靠近,模型解釋,甲方這種單獨行為，會使雙方的核導彈減少,PP,雙方發(fā)展多彈頭導彈，每個彈頭可以獨立地摧毀目標,(x , y仍為雙方核導彈的數(shù)量),雙方威懾值減小，殘存率不變，交換比增加,y0減小 y下移且變平,a 變大 y增加且變陡,雙方導彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細的分析,模型解釋,乙安全線 y=f(x),帆船在海面上乘風遠航，確

15、定最佳的航行方向及帆的朝向,簡化問題,海面上東風勁吹，設帆船要從A點駛向正東方的B點，確定起航時的航向，,8 啟帆遠航,6 量綱分析與無量綱化,物理量的量綱,長度 l 的量綱記 L=l,質(zhì)量 m的量綱記 M=m,時間 t 的量綱記 T=t,動力學中基本量綱 L, M, T,速度 v 的量綱 v=LT-1,導出量綱,加速度 a 的量綱 a=LT-2,力 f 的量綱 f=LMT-2,引力常數(shù) k 的量綱 k,對無量綱量，=1(=L0M0T0),9.1 量綱齊次原則,=fl2m-2=L3M-1T-2,量綱齊次原則,等式兩端的量綱一致,量綱分析利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關系,例：單擺運動,求擺動

16、周期 t 的表達式,設物理量 t, m, l, g 之間有關系式,1, 2, 3 為待定系數(shù)，為無量綱量,(1)的量綱表達式,對比,對 x,y,z的兩組測量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2， p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 ),為什么假設這種形式,設p= f(x,y,z),x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍,單擺運動中 t, m, l, g 的一般表達式,設 f(q1, q2, , qm) = 0,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-r,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm

17、) =0 等價, F未定,Pi定理 (Buckingham),是與量綱單位無關的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量綱, nm, q1, q2, , qm 的量綱可表為,量綱矩陣記作,g = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2,量綱分析示例：波浪對航船的阻力,航船阻力 f,航船速度v, 船體尺寸l, 浸沒面積 s, 海水密度, 重力加速度g。,m=6, n=3,Ay=0 有m-r=3個基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r個基本解,ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2,

18、m-r,F(1, 2 ,3 ) = 0與 (g,l,v,s,f) = 0 等價,為得到阻力 f 的顯式表達式,F=0, 未定,F( 1, 2, m-r ) = 0 與 f (q1, q2, , qm) =0 等價,量綱分析法的評注,物理量的選取,基本量綱的選取,基本解的構造,結(jié)果的局限性, () = 0中包括哪些物理量是至關重要的,基本量綱個數(shù)n; 選哪些基本量綱,有目的地構造 Ay=0 的基本解,方法的普適性,函數(shù)F和無量綱量未定,不需要特定的專業(yè)知識,9.2 量綱分析在物理模擬中的應用,例: 航船阻力的物理模擬,通過航船模型確定原型船所受阻力,模型船的參數(shù)(均已知),可得原型船所受阻力,已

19、知模型船所受阻力,原型船的參數(shù) (f1未知，其他已知),注意：二者的相同,按一定尺寸比例造模型船，量測 f，可算出 f1 物理模擬,9.3 無量綱化,例：火箭發(fā)射,星球表面豎直發(fā)射。初速v, 星球半徑r, 表面重力加速度g,研究火箭高度 x 隨時間 t 的變化規(guī)律,t=0 時 x=0, 火箭質(zhì)量m1, 星球質(zhì)量m2,牛頓第二定律，萬有引力定律,3個獨立參數(shù),用無量綱化方法減少獨立參數(shù)個數(shù),用參數(shù)r,v,g的組合,分別構造與x,t具有相同量綱的xc, tc （特征尺度）,無量綱變量,如,令,xc, tc的不同構造,1）令,為無量綱量,3）令,2）令,1）2）3）的共同點,重要差別,考察無量綱量,在1）2）3）中能否忽略以為因子的項？,1),無解,2),3),原問題,是原問題的近似解,為什么3)能忽略項，得到原問題近似解，而1) 2)不能?,3）令,火箭到達最高點時間為v/g, 高度為v2/2g,大體上具有單位尺度,7 動物體重模型（比例與函數(shù)建模）,動物體重問題: 某生豬收購站，需要研究如何根據(jù)生豬的體長（不包括頭尾）估計其體重？,模型假設：