1、12.1任意角的三角函數(shù)(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.2.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一三角函數(shù)的定義域思考正切函數(shù)ytanx為什么規(guī)定xR且xk，kZ?答案當(dāng)xk，kZ時(shí)，角x的終邊在y軸上，此時(shí)任取終邊上一點(diǎn)P(0，yP)，因?yàn)闊o(wú)意義，因而x的正切值不存在所以對(duì)正切函數(shù)ytanx，必須要求xR且xk，kZ.梳理正弦函數(shù)ysinx的定義域是R；余弦函數(shù)ycosx的定義域是R；正切函數(shù)ytanx的定義域是.知識(shí)點(diǎn)二三角函數(shù)線思考1在平面直角坐標(biāo)系中，任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)

2、P作PMx軸，過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，交的終邊或其反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)T，如圖所示，結(jié)合三角函數(shù)的定義，你能得到sin，cos，tan與MP，OM，AT的關(guān)系嗎？答案sinMP，cosOM，tanAT.思考2三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的？答案方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之，為負(fù)值思考3三角函數(shù)線的長(zhǎng)度和方向各表示什么？答案長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)梳理圖示正弦線角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸，有向線段MP即為正弦線余弦線有向線段OM即為余弦線正切線過(guò)點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

3、T，有向線段AT即為正切線1正弦線MP也可寫(xiě)成PM.()提示三角函數(shù)線是有向線段，端點(diǎn)字母不可顛倒2三角函數(shù)線都只能取非負(fù)值()提示三角函數(shù)線表示的值也可取負(fù)值3當(dāng)角的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)，正切線不存在()4當(dāng)角的終邊在x軸上時(shí)，正弦線、正切線都變成點(diǎn)()類(lèi)型一三角函數(shù)線例1作出的正弦線、余弦線和正切線考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)三角函數(shù)線的作法解如圖所示，sinMP，cosOM，tanAT.反思與感悟(1)作正弦線、余弦線時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過(guò)此交點(diǎn)作x軸的垂線，得到垂足，從而得到正弦線和余弦線(2)作正切線時(shí)，應(yīng)從點(diǎn)A(1,0)引單位圓的切線交角的終邊或終邊的

4、反向延長(zhǎng)線于一點(diǎn)T，即可得到正切線AT.跟蹤訓(xùn)練1在單位圓中畫(huà)出滿足sin的角的終邊，并求角的取值集合考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)三角函數(shù)線的作法解已知角的正弦值，可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以在y軸上取點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)作x軸的平行線，交單位圓于P1，P2兩點(diǎn)，則OP1，OP2是角的終邊，因而角的取值集合為.類(lèi)型二利用三角函數(shù)線比較大小例2利用三角函數(shù)線比較sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小解如圖，sinMP，cosOM，tanAT，sinMP，cosOM，tanAT.顯然|MP|MP|，符號(hào)皆正，sinsin；|OM|cos；|AT|AT|，

5、符號(hào)皆負(fù)，tan|M2P2|，且符號(hào)皆正，sin1155sin(1654)類(lèi)型三利用三角函數(shù)線解不等式(組)命題角度1利用三角函數(shù)線解不等式(組)例3在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角的集合(1)sin；(2)cos.考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式解(1)作直線y交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖(1)所示的陰影部分，包括邊界)，即為角的終邊的范圍故滿足要求的角的集合為.(2)作直線x交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖(2)所示的陰影部分，包括邊界)，即為角的終邊的范圍故滿足條件的角的集合為

6、.反思與感悟用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡(jiǎn)單的三角不等式，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)先找到“正值”區(qū)間，即02內(nèi)滿足條件的角的范圍，然后再加上周期；(2)注意區(qū)間是開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間跟蹤訓(xùn)練3已知cos，利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角的取值范圍考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式解圖中陰影部分就是滿足條件的角的范圍，即.命題角度2利用三角函數(shù)線求三角函數(shù)的定義域例4求函數(shù)ylg的定義域考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式解由題意知，自變量x應(yīng)滿足不等式組即則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，.反思與感悟(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通

7、過(guò)解不等式或不等式組求得，對(duì)于三角函數(shù)的定義域問(wèn)題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制(2)要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無(wú)限多段的集合的交集時(shí)，可以取特殊值把不固定的集合寫(xiě)成若干個(gè)固定集合再求交集跟蹤訓(xùn)練4求函數(shù)f(x)的定義域考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式解要使函數(shù)f(x)有意義，必須使2sinx10，則sinx.如圖，畫(huà)出單位圓，作x軸的平行直線y，交單位圓于點(diǎn)P1，P2，連接OP1，OP2，分別過(guò)點(diǎn)P1，P2作x軸的垂線，畫(huà)出如圖所示的兩條正弦線，易知這兩條正弦線的長(zhǎng)度都等于.在0,2)內(nèi)，sinsin.因?yàn)閟inx，所以滿足條件的角x的終邊在圖中陰影部分內(nèi)(包括邊

8、界)，所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?1.如圖在單位圓中，角的正弦線、正切線完全正確的是()A正弦線為PM，正切線為ATB正弦線為MP，正切線為ATC正弦線為MP，正切線為ATD正弦線為PM，正切線為AT考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)三角函數(shù)線的作法答案C2如果，那么下列不等式成立的是()AcossintanBtansincosCsincostanDcostansin考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小答案A解析方法一(特值法)令，則cos，tan，sin，故cossintan.方法二如圖所示，在單位圓中分別作出的正弦線MP，余弦線OM，正切線AT，則OMMPAT，即cossin.考點(diǎn)單位

9、圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式解要使3tan，即tan.由正切線知kk，kZ.所以不等式的解集為，kZ.1三角函數(shù)線的意義三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長(zhǎng)度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值，方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)具體地說(shuō)，正弦線、正切線的方向同y軸一致，向上為正，向下為負(fù)；余弦線的方向同x軸一致，向右為正，向左為負(fù)三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來(lái)，使得問(wèn)題更形象直觀，為從幾何途徑解決問(wèn)題提供了方便2三角函數(shù)線的畫(huà)法定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線，同時(shí)也給出了角的三角函數(shù)線的畫(huà)法，即先找到P，M，T點(diǎn)，再畫(huà)出MP，OM，A

10、T.注意三角函數(shù)線是有向線段，要分清始點(diǎn)和終點(diǎn)，字母的書(shū)寫(xiě)順序不能顛倒3三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀地刻畫(huà)了三角函數(shù)的概念與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來(lái)，可以從數(shù)與形兩方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義，并使得對(duì)三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律、誘導(dǎo)公式一的理解更容易了一、選擇題1函數(shù)ytan的定義域?yàn)?)A.B.C.D.考點(diǎn)正切函數(shù)的定義域、值域題點(diǎn)正切函數(shù)的定義域答案C解析xk，kZ，xk，kZ.2設(shè)asin，bcos，ctan，則()AabcBacbCbcaDbac考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析，作的三角函數(shù)線，則sinMP，cosOM，tanAT，OMMPAT

11、，bac，故選D.3如果MP，OM分別是角的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論正確的是()AMPOM0BMP0OM0DOMMP0考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析0MP0.4若02，且sin，則角的取值范圍是()A.B.C.D.考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式答案D解析角的取值范圍為圖中陰影部分，即.5有三個(gè)命題：和的正弦線長(zhǎng)度相等；和的正切線相同；和的余弦線長(zhǎng)度相等其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D0考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)三角函數(shù)線的作法答案C解析和的正弦線關(guān)于y軸對(duì)稱，長(zhǎng)度相等；和兩角的正切線相同；和的余弦線長(zhǎng)度相等故都正確，故選C.6點(diǎn)P(sin

12、3cos3，sin3cos3)所在的象限為()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小答案D解析因?yàn)?，作出單位圓如圖所示設(shè)MP，OM分別為a，b.sin3a0，cos3b0，所以sin3cos30.因?yàn)閨MP|OM|，即|a|b|，所以sin3cos3ab0.故點(diǎn)P(sin3cos3，sin3cos3)在第四象限7已知sinsin，那么下列命題成立的是()A若，是第一象限角，則coscosB若，是第二象限角，則tantanC若，是第三象限角，則coscosD若，是第四象限角，則tantan考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小答案D解

13、析如圖(1)，的終邊分別為OP，OQ，sinMPNQsin，此時(shí)OMON，所以cosNQ，即sinsin，所以ACAB，即tanNQ，即sinsin，所以O(shè)MON，即costan，故選D.(1)二、填空題8函數(shù)y的定義域?yàn)開(kāi)考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式答案(kZ)9sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系是_考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線比較大小答案cos1sin1tan1解析由題意1，在單位圓中作出銳角1的正切線、正弦線、余弦線，可知正切線最長(zhǎng)，余弦線最短，所以有cos1sin1sin，利用三角函數(shù)線得角的取值范圍是_考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式答案(kZ)解析因?yàn)閏ossin，所以cossinsin，易知角的取值范圍是(kZ)11函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式答案(kZ)解析如圖所示三、解答題12已知sin，利用單位圓中的三角函數(shù)線，確定角的范圍考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式解由三角函數(shù)線可知sinsin，sinsin，且sin，如圖，畫(huà)出單位圓，陰影部分即為所求故的取值集合是(kZ)四、探究與拓展13函數(shù)ylogsinx(2cosx1)的定義域?yàn)開(kāi)考點(diǎn)單位圓與三角函數(shù)線題點(diǎn)利用三角函數(shù)線解不等式答案解析由題意可知，要使函數(shù)有意義，則需如圖所示，陰影部分(不