1、第一節(jié) 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,完全與教材同步，主干知識(shí)精心提煉。素質(zhì)和能力源于基礎(chǔ)，基礎(chǔ)知識(shí)是耕作“半畝方塘”的工具。視角從【考綱點(diǎn)擊】中切入，思維從【考點(diǎn)梳理】中拓展，智慧從【即時(shí)應(yīng)用】中升華?？茖W(xué)的訓(xùn)練式梳理峰回路轉(zhuǎn)，別有洞天。去盡情暢游吧，它會(huì)帶你走進(jìn)不一樣的精彩！,三年4考 高考指數(shù): 1.了解向量的實(shí)際背景； 2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義； 3.理解向量的幾何表示； 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義； 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義； 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.,1.平面向量的線性運(yùn)算及共線向量定理是高考

2、考查的重點(diǎn)，也是熱點(diǎn)，難度中等偏下. 2.題型以客觀題為主，與解析幾何交匯命題則以解答題為主.,1.向量的有關(guān)概念 (1)定義：既有_又有_的量叫做向量. (2)表示方法：用_來表示向量.有向線段的長(zhǎng)度表 示向量的_，用箭頭所指的方向表示向量的_.用a,b, 或用 來表示. (3)模：向量的_叫做向量的模，記作|a|,|b|或,大小,方向,有向線段,大小,方向,長(zhǎng)度,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)判斷下列命題的真假：(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“真”或“假”) 向量的大小是實(shí)數(shù) ( ) 向量可以用有向線段表示 ( ) 向量就是有向線段 ( ) 向量 的長(zhǎng)度和向量 的長(zhǎng)度相等 ( ) (2)請(qǐng)寫出物理中的三個(gè)向量_.

3、,【解析】(1)向量是既有大小又有方向的量，向量的大小為實(shí) 數(shù)，故為真；向量可以用有向線段來表示，有向線段的長(zhǎng) 度為向量的大小，有向線段的方向?yàn)橄蛄康姆较?，所以?真；為假； 與 是大小相等、方向相反的向量，故 為真. (2)由向量的定義可知，物理中的速度、力、加速度等都為 向量. 答案：(1)真 真 假 真 (2)速度、力、加速度(答案不唯一),2.特殊向量 (1)零向量：長(zhǎng)度為_的向量叫做零向量，記作0；零向量 的方向_. (2)單位向量：長(zhǎng)度為_的向量叫做單位向量. (3)共線向量：方向相同或_的向量叫做共線向量，共線 向量也叫做_向量；規(guī)定：零向量與任何向量共線. (4)相等向量：長(zhǎng)度

4、_且方向_的向量叫做相等向量. (5)相反向量：長(zhǎng)度_且方向_的向量叫做相反向量.,0,不確定,1個(gè)單位,相反,平行,相同,相等,相等,相反,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)判斷下列命題的真假：(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填寫“真”或“假”) 若a與b平行，則b與a方向相同或相反 ( ) 若a與b平行同向，且|a|b|,則ab ( ) |a|=|b|與a、b的方向沒有關(guān)系 ( ) (2)把平面上一切單位向量歸結(jié)到共同的始點(diǎn)，那么這些向 量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是_.,【解析】(1)假，當(dāng)a為零向量時(shí)，方向是不確定的. 假，向量不能比較大小. 真，向量a與b的模相等，即長(zhǎng)度相等，與方向無關(guān). (2)這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是

5、以共同的始點(diǎn)為圓心，以單位1為半徑的圓. 答案：(1)假 假 真 (2)圓,3.向量的加法與減法,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)下列命題是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中填“”或“”) ( ) ( ) ( ) (2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則 =_.,【解析】(1)不正確.因?yàn)?正確.因?yàn)?正確.因?yàn)?(2) 答案：(1) (2)2,4.向量的數(shù)乘與共線向量定理 (1)向量的數(shù)乘 長(zhǎng)度: |a|=_ 方向: 當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向_； 當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向_， 當(dāng)=0時(shí)，a=_,其方向是任意的.,|a|,相同,相反,0,(2)向量的數(shù)乘的運(yùn)算律 設(shè),為實(shí)數(shù)，則(a)=_; (+)a=_；(a+b)=_.

6、(3)共線向量定理 向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得 _.,()a,a+a,a+b,b=a,【即時(shí)應(yīng)用】 (1)思考：在共線向量定理中，當(dāng)a=0時(shí)，還唯一嗎？ 提示：當(dāng)a=0且b=0時(shí)，可以為任意實(shí)數(shù)，不唯一， 當(dāng)a=0且b0時(shí)，不存在. (2)填空 8(a+c)+7(a-c)-c=_. (2a)+8b-(4b+2b)=_.,設(shè)兩非零向量e1,e2不共線，且k(e1+e2)(e1+ke2)，則實(shí)數(shù) k的值為_. 點(diǎn)C在線段AB上，且 則 =_ .,【解析】原式=8a+8c+7a-7c-c=15a. 原式= (a+8b-4b-2b)= (a+2b). k(e1+e2)(e1+

7、ke2), k(e1+e2)=(e1+ke2), 即(k-)e1=(k-k)e2, e1,e2不共線, 解得k=0或1., 答案：15a (a+2b)0或1,例題歸類全面精準(zhǔn)，核心知識(shí)深入解讀。本欄目科學(xué)歸納考向，緊扣高考重點(diǎn)。【方法點(diǎn)睛】推門只見窗前月：突出解題方法、要領(lǐng)、答題技巧的指導(dǎo)與歸納；“經(jīng)典例題”投石沖破水中天：例題按層級(jí)分梯度進(jìn)行設(shè)計(jì)，層層推進(jìn)，流暢自然，配以形異神似的變式題，幫你舉一反三、觸類旁通。題型與方法貫通，才能高考無憂！,平面向量的有關(guān)概念 【方法點(diǎn)睛】 1.平面向量的概念辨析題的解題方法 準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對(duì)相等向量、零向量等概念的理解

8、要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法. 2.幾個(gè)重要結(jié)論 (1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性； (2)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量； (3)平行向量與起點(diǎn)無關(guān).,【例1】已知下列命題： 單位向量都相等 若a與b是共線向量，b與c是共線向量，則a與c是共線向量 兩個(gè)有共同起點(diǎn)而長(zhǎng)度相等的非零向量，它們的終點(diǎn)必相同 由于0方向不確定，故0不能與任意向量平行 如果a=b,b=c,則a=c 如果|a|=|b|，則a與b的方向相同. 其中不正確的命題是_(請(qǐng)把不正確的命題的序號(hào)都填上).,【解題指南】以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例說明其不正確. 【規(guī)范解答】各單

9、位向量的模都相等，但方向不一定相同，故 不正確；當(dāng)b=0時(shí)，a與c可以為任意向量，故不正確； 兩個(gè)有共同起點(diǎn)而長(zhǎng)度相等的非零向量，如果它們的方向相同， 則它們的終點(diǎn)必相同，否則終點(diǎn)不相同，故不正確；規(guī)定0與 任意向量平行，故不正確；如果a、b、c都為零向量，則a=c, 如果a、b、c為非零向量，則它們的長(zhǎng)度都相等、方向相同，所 以a=c,故正確；不正確. 答案：,【反思感悟】平面向量的基本概念較多，比較容易遺忘，復(fù)習(xí)時(shí)要構(gòu)建良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)來幫助記憶，還可以與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想來記憶.,【變式訓(xùn)練】給出下列命題: (1)兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量. (2)兩個(gè)向量不能

10、比較大小,但它們的模能比較大小. (3)a=0(為實(shí)數(shù)),則必為零. (4),為實(shí)數(shù),若a=b，則a與b共線. 其中錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)為( ) (A)1(B)2(C)3(D)4,【解析】選C.(1)錯(cuò)誤.兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)與 終點(diǎn). (2)正確.因?yàn)橄蛄考扔写笮?又有方向,故它們不能比較大小, 但它們的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大小. (3)錯(cuò)誤.當(dāng)a=0時(shí),不論為何值,a=0. (4)錯(cuò)誤.當(dāng)=0時(shí),a=b,此時(shí)a與b可以是任意向量.,平面向量的線性運(yùn)算 【方法點(diǎn)睛】1.平面向量的線性運(yùn)算法則的應(yīng)用 三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運(yùn)算的主要方法，共起點(diǎn)的向量和用平行四邊形法則，差用

11、三角形法則. 2.兩個(gè)重要結(jié)論 (1)向量的中線公式：若P為線段AB中點(diǎn)，則 (2)向量加法的多邊形法則,【提醒】當(dāng)兩個(gè)向量共線(平行)時(shí)，三角形法則同樣適用.向量加法的平行四邊形法則與三角形法則在本質(zhì)上是一致的，但當(dāng)兩個(gè)向量共線(平行)時(shí)，平行四邊形法則就不適用了.,【例2】在ABC中，(1)若D是AB邊上一點(diǎn)，且 則=( ) (A) (B) (C) (D) (2)若O是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且 那么( ) (A) (B) (C) (D) (3)若 =_.,【解題指南】(1)D是AB邊上的三等分點(diǎn)，把 用 表 示；(2)由D為BC邊中點(diǎn)可得 即可求解；(3)由 可得ABC為正

12、三角形， 是 該正三角形高的2倍.,【規(guī)范解答】(1)選A. 所以= ，故選A. (2)選A.因?yàn)镈為BC邊中點(diǎn)， ，又 即 故選A. (3) ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 為三角形高的2倍， 所以 答案：,【互動(dòng)探究】若(1)中的條件作如下改變： 若點(diǎn)D是AB邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且 若 則-的值為_. 【解析】由題意知，B為AD中點(diǎn)，又 又 =2,=-1，-=3 答案：3,【反思感悟】用已知向量來表示另外一些向量是解向量問題的基礎(chǔ)，除了利用向量的線性運(yùn)算法則外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，如三角形的中位線定理、相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例等.,【變式備選】如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是

13、BC， DC的中點(diǎn)，G為BF、DE的交點(diǎn)，若 試用a,b 來表示,【解析】 連接BD，因?yàn)镚是CBD的重心， 所以,共線向量定理的應(yīng)用 【方法點(diǎn)睛】1.共線向量定理及其應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共 線求參數(shù)的值. (2)若a,b不共線，則a+b=0的充要條件是=0, 這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛. 2.證明三點(diǎn)共線的方法 若 則A、B、C三點(diǎn)共線.,【例3】已知a,b不共線， 設(shè)tR，如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)t使C， D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存 在，請(qǐng)說明理由. 【解題指南】先假設(shè)存在，再用a,b表

14、示目標(biāo)向量，最后 判斷是否有 成立即可.,【規(guī)范解答】由題設(shè)知， =d-c=2b-3a, =e-c=(t-3)a+tb, C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使 得 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因?yàn)閍,b不共線，所以有 解之得 故存在實(shí)數(shù) 使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上.,【反思感悟】(1)注意待定系數(shù)法在解決此類問題中的應(yīng)用.其中的k只是橋梁，可設(shè)而不求. (2)本例中應(yīng)用待定系數(shù)法求t的值時(shí)，不可忽視a,b不共線的條件.,【變式訓(xùn)練】設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線的非零向量，若向量 =3e1-2e2, =-2e1+4e2, =

15、-2e1-4e2,試證明：A、C、 D三點(diǎn)共線. 【證明】 =3e1-2e2+(-2e1+4e2)=e1+2e2， 與 共線，A、C、D三點(diǎn)共線.,【變式備選】設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量，若a與b起點(diǎn)相同， tR，t為何值時(shí)，a，tb， (ab)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？ 【解析】設(shè) 化簡(jiǎn)整理得： a與b不共線， 故t= 時(shí)，a,tb, (a+b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上,把握高考命題動(dòng)向，體現(xiàn)區(qū)域化考試特點(diǎn)。本欄目以最新的高考試題為研究素材，解析經(jīng)典考題，洞悉命題趨勢(shì)，展示現(xiàn)場(chǎng)評(píng)卷規(guī)則。對(duì)例題不僅僅是詳解評(píng)析，更是從命題層面評(píng)價(jià)考題，從備考角度提示規(guī)律方法，拓展思維，警示誤區(qū)?！究碱}體驗(yàn)】讓你

16、零距離體驗(yàn)高考，親歷高考氛圍，提升應(yīng)戰(zhàn)能力。為你順利穿越數(shù)學(xué)高考時(shí)空增添活力，運(yùn)籌帷幄、決勝千里。,【創(chuàng)新探究】以向量為背景的新定義問題 【典例】(2011山東高考)設(shè)A1、A2、A3、A4是平面直角坐 標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若 (R)， (R)，且 則稱A3,A4調(diào)和分割點(diǎn)A1,A2， 已知平面上的點(diǎn)C，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B則下面說法正確的是 ( ),(A)C可能是線段AB的中點(diǎn) (B)D可能是線段AB的中點(diǎn) (C)C，D可能同時(shí)在線段AB上 (D)C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上 【解題指南】本題為信息題，由 (R)知：A1,A2,A3,A4四點(diǎn)共線，且不重合.因?yàn)镃， D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，所以A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線上，設(shè) 然后逐項(xiàng)代入驗(yàn)證.,【規(guī)范解答】選D.由 知：四點(diǎn)A1,A2,A3,A4在同一條直線上，且不重合. 因?yàn)镃，D調(diào)和分割點(diǎn)A，B，所以A，B，C，D四點(diǎn)在同一直線 上，設(shè) 則 ,選項(xiàng)A中c= ,此時(shí) d不存在，故選項(xiàng)A不正確；同理選項(xiàng)B也不正確；選項(xiàng)C中， 0c1,0d1, ，也不正確，故選D.,【閱卷人點(diǎn)撥】通過對(duì)本題的深入研究，我們可以得到以下創(chuàng)新點(diǎn)