1、5.3平面向量的數(shù)量積 與平面向量的應(yīng)用,-2-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,自測點評,1.向量的數(shù)量積 (1)平面向量的數(shù)量積的定義:|a|b|cos叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a|b|cos. (2)向量數(shù)量積的性質(zhì): 如果e是單位向量,則ae=ea=; ab; |ab|a|b|.,|a|cos,ab=0,|a|2,-3-,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,6,5,自測點評,(3)數(shù)量積的運算律: 交換律:ab=; 分配律:(a+b)c=; 對R,(ab)=(a)b=a(b). (4)數(shù)量積的坐標(biāo)運算: 設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),

2、則 ab=; ab; |a|=; cos=.,ba,ac+bc,a1b1+a2b2,a1b1+a2b2=0,-4-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,射影,數(shù)量,數(shù)量,-5-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,3.向量在平面幾何中的應(yīng)用 向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題. (1)證明線段平行或點共線問題,包括相似問題,常用共線向量定理:ab(b0) . (2)證明垂直問題,常用數(shù)量積的運算性質(zhì) ab (a,b均為非零向量). (3)求夾角問題,利用夾角公式 cos =(為a

3、與b的夾角).,a=b,x1y2-x2y1=0,ab=0,x1x2+y1y2=0,-6-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,4.向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用 對于向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目,其解題思路是用向量運算進行轉(zhuǎn)化,化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形等問題或解三角形問題.,-7-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,5.向量在解析幾何中的應(yīng)用 向量在解析幾何中的應(yīng)用,主要是以向量的數(shù)量積給出一種條件,通過向量轉(zhuǎn)化,進而利用直線和圓錐曲線的位置關(guān)系等相關(guān)知識來解答.,-8-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,6,5,6.向量在物理中的應(yīng)用 物理學(xué)中的

4、力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學(xué)中的功是一個標(biāo)量,是力F與位移s的數(shù)量積, 即W=(為F與s的夾角).,|F|s|cos ,2,-9-,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,自測點評,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)一個向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù). () (2)若ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab0,則a和b的夾角為鈍角. () (3)若ab=0,則必有ab. () (4)(ab)c=a(bc). () (5)若ab=ac(a0),則b=c. (),答案,-10-,知識梳理,雙基自測,

5、自測點評,2,3,4,1,5,2.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,則m=() A.-8B.-6C.6D.8,答案,解析,-11-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,A.30B.45C.60D.120,答案,解析,-12-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,4.(2017全國,文13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b與a垂直,則m=.,答案,解析,-13-,知識梳理,雙基自測,自測點評,2,3,4,1,5,5.(2017全國,文13)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m=.,答案,解析,-14-,知

6、識梳理,雙基自測,自測點評,1.因為|a|b|cos 和|b|cos 都是數(shù)量,所以ab和b在a方向上的投影都是一個數(shù)量,而不是向量. 2.對于兩個非零向量a與b,由于當(dāng)=0時,ab0,所以ab0是兩個向量a,b夾角為銳角的必要而不充分條件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因為ab=0時,有可能ab. 3.在實數(shù)運算中,若a,bR,則|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c.但對于向量a,b卻有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c不一定成立,原因是ab=|a|b|cos ,當(dāng)cos =0時,b與c不一定相等. 4.向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等

7、于a(bc),這是由于(ab)c表示一個與c共線的向量,而a(bc)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.,-15-,考點1,考點2,考點3,例1(1)(2017浙江,10) 如圖,已知平面四邊形ABCD,ABBC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC與BD交于點O,記 A.I1I2I3 B.I1I3I2 C.I3I1I2 D.I2I1I3 (2)(2017北京,文12)已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點,則 的最大值為. 思考求向量數(shù)量積的運算有幾種形式?,答案,解析,-16-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法: (1)當(dāng)已

8、知向量的模和夾角時,利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角). (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時,可利用向量的加減運算或數(shù)量積的運算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補.,-17-,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練1(1)已知ABC是邊長為1的等邊三角形,點D,E分別是邊AB,BC的中點,連接DE并延長到點F,使得

9、(2)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則ab=() A.2B.3C.4D.5 (3)已知兩個單位向量e1,e2的夾角為 ,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1b2=.,答案,-18-,考點1,考點2,考點3,-19-,考點1,考點2,考點3,-20-,考點1,考點2,考點3,-21-,考點1,考點2,考點3,例2(2017浙江,15)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是. 思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?,答案,解析,-22-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求向量的模的方法: 的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算;

10、 (2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范圍)的方法: (1)求函數(shù)最值法,先把所求向量的模表示成某個變量的函數(shù)再求函數(shù)的最值; (2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.,-23-,考點1,考點2,考點3,答案,-24-,考點1,考點2,考點3,-25-,考點1,考點2,考點3,-26-,考點1,考點2,考點3,答案,-27-,考點1,考點2,考點3,-28-,考點1,考點2,考點3,考向二求參數(shù)的值或范圍 思考兩向量的垂直與其數(shù)量積有何關(guān)系?,答案,解析,-29-,考點1,考點2,考

11、點3,考向三在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例5(2017江蘇,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,- ),x0,. (1)若ab,求x的值; (2)記f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值. 思考利用向量求解三角函數(shù)問題的一般思路是什么?,-30-,考點1,考點2,考點3,-31-,考點1,考點2,考點3,答案,解析,-32-,考點1,考點2,考點3,解題心得1.數(shù)量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩個向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角. 2.若a,b為非零向量,則abab=0. 3.解決與向量有關(guān)的三

12、角函數(shù)問題的一般思路是應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過向量的相關(guān)運算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題. 4.向量在解析幾何中的作用: (1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量的外衣”,導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.,-33-,考點1,考點2,考點3,(2)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(mR),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=. (3)

13、已知向量m=(2cos x,-1),n=(sin x-cos x,2)(0),函數(shù)f(x)=mn+3,若函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰,B,2,-34-,考點1,考點2,考點3,A,-35-,考點1,考點2,考點3,-36-,考點1,考點2,考點3,-37-,考點1,考點2,考點3,-38-,考點1,考點2,考點3,-39-,考點1,考點2,考點3,1.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a與b的夾角.,-40-,考點1,考點2,考點3,2.計算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標(biāo)運算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的

14、應(yīng)用. 3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或解決最值問題常用的方法與技巧. 4.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題,關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運算化簡已知條件,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決. 5.解決向量與解析幾何的綜合問題,可將向量用點的坐標(biāo)表示,利用向量運算及性質(zhì)轉(zhuǎn)化為解析幾何問題. 6.向量中有關(guān)最值問題的求解思路:一是“形化”,利用向量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題;二是“數(shù)化”,利用平面向量的坐標(biāo)運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值、不等式的解集、方程有解等問題.,-41-,考點1,考點2,考點3,1.根據(jù)兩個非零向量夾角為銳角或鈍角與數(shù)量積的正、負(fù)進行轉(zhuǎn)化時,不要