1、7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,1,第二章 - 集合上的運算,集合論公理 (10條) 無窮公理 存在一個由所有自然數(shù)組成的集合。 式中的x是自然數(shù)集合N。這個公理構造了第一個無限集合。,U,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,2,第二章 - 集合上的運算,對任意的集合A，定義集合 ，把 稱為A的后繼，A稱為 的前驅。 例：考慮空集的一系列后繼,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,3,第二章 - 集合上的運算,由于對任何集合a

2、都有 。在空集的一系列后繼中，任何兩個集合都不相等。且滿足下面兩個條件：1前邊的集合都是后邊集合的元素；2前邊的集合都是后邊集合的子集。3利用這些性質，可以考慮以構造性的方法用集合來給出自然數(shù)的定義。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,4,第二章 - 集合上的運算,集合 是一個自然數(shù)。若集合n是一個自然數(shù)，則集合 也是一個自然數(shù)。按照這個定義，可以列出各自然數(shù),7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,5,第二章 - 集合上的運算,對任一個自然數(shù) ，則 。0沒有元素，1有一個元素，2有兩

3、個元素，所以，這樣定義自然數(shù)是合理的。很容易定義自然數(shù)間的大小關系。從上述定義可以看到任意一個自然數(shù)可看作是一個集合的名。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,6,第二章 - 集合上的運算,無窮公理是 無窮公理給出了自然數(shù)集合 的存在性。式中的N就是自然數(shù)集合。依據(jù)外延公理，自然數(shù)集合是唯一的。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,7,第二章 - 集合上的運算,對任意的自然數(shù)m和n，,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,8,第二

4、章 - 集合,集合的基數(shù)就是集合中元素的個數(shù)。 如果 存在 ，使 集合 A 與 集合 的元素個數(shù)相同，就說集合A的基數(shù)是n，記作 或 或 空集 的基數(shù)是0 。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,9,第二章 - 集合,如果存在 ，使n是集合A的基數(shù)，就說A是有限集合。如果不存在這樣的n，就說A是無限集合。 例如 是有限集合 a ,b ,c ,d ，而N，Z，Q，R是無限集合。 對有限集合A和B，,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,10,第二章 - 集合,對有限集合 和 ，（1） （

5、2） （3） （4）,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,11,第二章 - 集合,對有限集合 和 ，有 通常稱為包含排斥原理,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,12,第二章 - 集合,例1 在10名青年中有5名是工人，有7名是學生，其中3名既是工人又是學生, 問有幾名既不是工人又不是學生?解 設工人的集合是A，學生的集合是B。則有 ， 又有 , 于是 所以有一名既不是工人又不是學生。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,13,

6、第二章 - 集合,對3個有限集合 ， 和 , 可以 推廣這個定理, 得到,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,14,第二章 - 集合,例2 30位同學中，15人參加體育組，8人參加音樂組，6人參加美術組，其中3人同時參加三個組。問至少有多少人沒有參加任何小組？解 設 、 、 分別表示體育組、音樂組、美術組成員的集合。則有,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,15,第二章 - 集合,因此, 因為 所以 至多有23人參加了小組, 所以至少有7人不參加任何小組。,7/11/2020 10:50 AM,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,16,這個定理可以推廣到 n 個集合 的情況。若 且 是有限集合， 則