1、第 2 講,直接證明與間接證明,1直接證明,綜合法,(1)_是由原因推導(dǎo)到結(jié)果的證明方法，它是利用已知 條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法,分析法,(2)_是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充 分條件，直到最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判斷一個明顯成立的 條件(已知條件、定義、公理、定理等)為止的證明方法,2間接證明,反證法,_是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得 出矛盾，由此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立的證明方法， 它是一種間接的證明方法，用這種方法證明一個命題的一般步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立； 根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推

2、理，直到推理中導(dǎo)出矛盾為止； 斷言假設(shè)不成立； 肯定原命題的結(jié)論成立,A,2用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于,60”時，應(yīng)假設(shè)(,),B,A三個內(nèi)角都不大于 60 B三個內(nèi)角都大于 60 C三個內(nèi)角至多有一個大于 60 D三個內(nèi)角至多有兩個大于 60 3用反證法證明命題：若整系數(shù)一元二次方程 ax2bxc 0(a0)存在有理數(shù)根，那么 a，b，c 中至少有一個是偶數(shù)下列,假設(shè)中正確的是_.,假設(shè) a，b，c 都是偶數(shù)；假設(shè) a，b，c 都不是偶數(shù)； 假設(shè) a，b，c 至多有一個偶數(shù)；假設(shè) a，b，c 至多有兩 個偶數(shù),4某個命題與正整數(shù) n 有關(guān)，若 nk(kN*)時該命題成

3、立， 那么可推得 nk1 時該命題也成立，現(xiàn)在已知當(dāng) n5 時該命題,不成立，那么可推得(,),C,A當(dāng) n6 時該命題不成立 B當(dāng) n6 時該命題成立 C當(dāng) n4 時該命題不成立 D當(dāng) n4 時該命題成立,解析：用反證法，可證當(dāng)n4 時，該命題不成立,考點(diǎn)1綜合法,例1：已知 a，b，c 為正實數(shù)，abc1.,ab lgalgb,【互動探究】,1證明：若a，b0，則lg,2 2, .,考點(diǎn)2分析法,【互動探究】,考點(diǎn)3反證法,反證法主要適用于以下兩種情形：要證的條件 和結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰； 如果從證明出發(fā)，需要分成多種情形進(jìn)行分類討論，而從反面 證明，只要

4、研究一種或很少幾種情形,【互動探究】,考點(diǎn)4 信息給予題中的推理與證明,例4：(2011年湖南醴陵測試)對于給定數(shù)列cn，如果存在實常數(shù)p，q使得cn1pcnq對于任意nN*都成立，我們稱數(shù)列cn是“M類數(shù)列” (1)若an2n，bn32n，nN*，數(shù)列an，bn是否為“M類數(shù)列”？若是，指出它對應(yīng)的實常數(shù)p，q，若不是，請說明理由； (2)證明：若數(shù)列an是“M類數(shù)列”，則數(shù)列anan1也是“M類數(shù)列”,解析：(1)因為an2n，則有an1an2，nN*. 故數(shù)列是an是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常數(shù)分別為1,2. 因為bn32n，則有bn12bn，nN*. 故數(shù)列bn是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常

5、數(shù)分別為2,0. (2)證明：若數(shù)列an是“M類數(shù)列”，則存在實常數(shù)p，q， 使得an1panq對于任意nN*都成立， 且有an2pan1q對于任意nN*都成立 因此(an1an2)p(anan1)2q對于任意nN*都成立， 故數(shù)列anan1也是“M類數(shù)列”，對應(yīng)的實常數(shù)分別為p,2q.,準(zhǔn)確把握信息是解題的關(guān)鍵，本題“只要找到實常數(shù)p，q使得cn1pcnq成立，則數(shù)列cn就是“M類數(shù)列”，如an2n，an12n2，則有an1an2，此時p1，q2，則稱數(shù)列cn是“類數(shù)列”以此類推,【互動探究】,4對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：對任意的x0,1，總有f(x)0；f(1

6、)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù) (1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，求f(0)的值； (2)判斷函數(shù)g(x)2x1(x0,1)是否為理想函數(shù)，并予以證明,解：(1)取x1x20可得f(0)f(0)f(0)f(0)0， 又由條件f(0)0，故f(0)0. (2)顯然g(x)2x1在0,1滿足條件g(x)0， 也滿足條件g(1)1. 若x10，x20，x1x21，則g(x1x2)g(x1)g(x2) 2x1x21(2x11)(2x21) 2x1x22x12x21 (2x21)(2x11)0， 即滿足條件，故g(x)是理想函數(shù),1

7、綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法，又叫順推法它常見 的書面表達(dá)形式是“，”或“”利用綜合法證 明“若 A 則 B”命題的綜合法思考過程可用如圖 1021 的框圖 表示為：,圖 1021,2分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，又叫逆推法或執(zhí)果索 因法它常見的書面表達(dá)形式是：“要證，只需證”或“ ”利用分析法證明“若 A 則 B”命題的分析法思考過程可用 如圖 1022 的框圖表示為：,圖 1022,綜合法的思維過程是由因?qū)Ч捻樞?，是從A推演到B的途徑，但由A推演出的中間結(jié)論未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2能推演出的進(jìn)一步的中間結(jié)論更多，如C1，C2，C3，C4等等，最終能有一個(或多個)可推演出結(jié)論B即可,3反證法是一種間接的方法，常常是利用直接證法如綜合法、 分析法有困難時利用反證法來證明，即“正難則反”,分析法的思考順序是執(zhí)果索因的順序，是從B上溯尋其論據(jù)，如C，C1，C2等，再尋求C，C1，C2的論據(jù)，如B，B1，B2，B3，B4等等，繼而尋求B，B1，B2，B3，B4的依據(jù)，如果其中之一B的論據(jù)恰為已知條件，于是命題得證,分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法，分析法的證明過程，