1、第六章 測量誤差的基本知識,6-1 誤差的來源,6-2 測量誤差的分類,6-4 誤差傳播定律,6-3 評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn),6-1 誤差的來源,6.1.1 誤差的定義,6.1.2 誤差的來源,Home,6.1.1 誤差的定義,return,down,up,誤差是指觀測值與真值之差，即 。,定義,X為真值，即能代表某個客觀事物真正大小的數(shù)值；,為觀測值，即對某個客觀事物觀測得到的數(shù)值；,為觀測誤差，即真誤差。,6.1.2誤差的來源,return,down,up,（1）觀測者,（2）測量儀器,（3）外界條件,上述觀測者、儀器、外界條件三個方面是引起誤差的主要原因，因此我們把這三個方面的因素綜合起來

2、稱為觀測條件。,等精度觀測： 觀測條件相同的各次觀測，其結(jié)果具有同等精度。,非等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測，其結(jié)果具有不同精度。,6-2 測量誤差的分類,6.2.1 系統(tǒng)誤差,6.2.2 偶然誤差,Home,6.2.3 系統(tǒng)與偶然誤差的比較,6.2.1 系統(tǒng)誤差,down,up,1、系統(tǒng)誤差定義,在相同的觀測條件下作一系列觀測，如果誤差的大小及符號表現(xiàn)出系統(tǒng)性，或按一定的規(guī)律變化，那么把這類誤差稱為系統(tǒng)誤差。,2、系統(tǒng)誤差特性,（1）同一性：誤差的絕對值保持恒定或按一確定的規(guī)律變化。 （2）單向性：符號不變，總朝一個方向偏離。 （3）累積性：誤差的絕對值隨著單一觀測值倍數(shù)累積。,準(zhǔn)確度

3、：觀測值偏離真值的程度。,3、系統(tǒng)誤差的處理方法,（1） 檢校儀器，把系統(tǒng)誤差降低到最小程度。 （2） 加改正數(shù)，在觀測值中加入系統(tǒng)誤差的改正數(shù) 。 （3） 采用適當(dāng)?shù)挠^測方法，使系統(tǒng)誤差相互抵消或減弱。,6.2.2 偶然誤差,return,down,up,1、偶然誤差定義,在相同的觀測條件下作一系列的觀測，若誤差的大小及符號都表現(xiàn)出偶然性，即從單個的誤差來看，該列誤差的大小及符號沒有規(guī)律，但從大量誤差的總體來看，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這類誤差稱為偶然誤差。,2、偶然誤差的特性,例：對96個三角形內(nèi)角進(jìn)行獨立觀測，由于存在觀測誤差，三角形內(nèi)角之和L不等于理論值180，各三角形內(nèi)角和真誤差（觀測值

4、減去真值）為：i=Li-X（i=1、2 n）， 即i=Ai+Bi+C i-180 , 三角形閉和差分布規(guī)律為：,附：n 為誤差總個數(shù)；d為3，亦稱組距； （ni/n）/d 為下圖中的每個矩形高。,右圖中的光滑曲線就是誤差的概率分布曲線,或叫誤差分布曲線 ，在數(shù)學(xué)中這種曲線稱為正態(tài)分布圖，該曲線的方程式為：,式中 f( ) 稱為分布密度，為標(biāo)準(zhǔn)差，即測量中的中誤差。,6.2.2 偶然誤差,誤差的分布還可以用圖形表示。以橫坐標(biāo)表示誤差的大小，縱坐標(biāo)表示各區(qū)間內(nèi)誤差出現(xiàn)的頻率除以區(qū)間的間隔值，即（ni/n）/d。,f( ) 稱為分布密度； 為標(biāo)準(zhǔn)差，即測量中的中誤差。,6.2.2 偶然誤差,retu

5、rn,down,up,2、偶然誤差的的四個特性：,（1）單峰性： 絕對值小的誤差比絕對值大的出現(xiàn)的概率大；,（2）對稱性： 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率大致 相等；,（3）有界性： 在一定的觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限值 。,（4）補償性：偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，也就是說偶然誤差的理論平均值為零。,6.2.2 偶然誤差,return,down,up,偶然誤差對觀測值的精度 有較大的影響， 為提高精度，削弱偶然誤差的影響，可作如下的處理：,（1）提高儀器的等級。,精度： 觀測值的離散程度。,3、偶然誤差的處理方法,粗差：測量中發(fā)生錯誤，如讀錯、記錯等 。,（2）進(jìn)行多余觀測，求最可靠值

6、。,6.2.3系統(tǒng)、偶然誤差的比較,return,down,up,系統(tǒng)誤差大,偶然誤差大,靶子 1,靶子 2,減小系統(tǒng)誤差,減小偶然誤差,準(zhǔn)確度低,精度低,靶子 3,準(zhǔn)確度高 精度高,系統(tǒng)誤差小、偶然誤差小,6-3 評定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn),6.3.1 中誤差,6.3.2 相對誤差,6.3.3 容許誤差,Home,6.3.1 中誤差,return,down,up,1、定義,在同一觀測條件下，對同一量X進(jìn)行了n次觀測，觀測值為li (i=1,2n),則其真誤差(觀測值減去真值 )為：i=Li-X，中誤差可以按下列公式來定義：,在實際的工作中，n為有限值，取近似值，中誤差m可寫 為：,中誤差并不等于每

7、個觀測值的真誤差，而是反映一組真誤差離散程度的指標(biāo)。,6.3.1 中誤差,return,down,up,V表示：觀測值改正數(shù) n 表示：觀測的次數(shù),一般情況下，觀測值的真值是不知道的，那么我們可以利用觀測值的改正數(shù)來計算。,例：對同一個三角形用兩種不同的儀器分別觀測了十次，每次觀測的內(nèi)角和的真誤差為： 第一組：+3、-3、+4、-2、0+3、-2、+1、-1、0 第二組：- 1、 0 、+8、+2 、 -3-7、 0、 +1、 -2、-1 求兩組觀測值的中誤差，并比較其精度。,6.3.1 中誤差,down,up,解：,由于m1 m2 ,說明第一組觀測值的離散程度小于第二組，故前者的觀測精度高于

8、后者。,6.3.2 相對誤差,down,up,把誤差的絕對值與觀測值之比稱為相對誤差。 相對誤差的分子應(yīng)化為1，即用 1 /N 表示。,相對誤差： 相 對 中 誤 差 相 對 真 誤 差 相對容許誤差,相對中誤差分別為： K1=0.02/100= 1/5000,例如，分別丈量100米和200米的兩段距離，中誤差均為2cm，比較兩者的觀測成果質(zhì)量？,K2=0.02/200=1/10000,相對誤差不能評定角度測量的誤差，因為角度誤差與測角大小無關(guān)。,6.3.3 容許誤差,down,up,通常以三倍中誤差作為偶然誤差的極限值，稱為極限誤差 ，即: m極=3m,實踐中，也常用兩倍的中誤差作為容許誤差

9、，即 : m容=2m,區(qū)間 概率 （-， +） 68.3% （-2，+2） 95.5%、 （-3，+3） 99.7%,6-4 誤差傳播定律,6.4.1 線性函數(shù)的中誤差,6.4.2 一般函數(shù)的中誤差,Home,三種特殊函數(shù)： （1） 倍數(shù)函數(shù)的中誤差： Z=kx m=k m 或 m=km （2） 和差函數(shù)的中誤差：Z= x+ x + x3, + xn m = m + m m （3）算術(shù)平均值的中誤差,6.4.1 線性函數(shù)的中誤差,證明：,6.4.1 線性函數(shù)的中誤差,down,up,Z=kxkxk x n (k,k , k 為 常數(shù) x ,x , x 為相互獨立的可直接觀測量 1，2, n 為

10、其對應(yīng)的真誤差 m1， m2， mn 為其對應(yīng)的中誤差） 上式對應(yīng)的真誤差關(guān)系式為： Z=k k k n,現(xiàn)對這些獨立觀測量觀測了n次，則： Z=k11 11 k2121 kn1 n1 Z=k12 12 k2222 kn2 n2 Z=k13 13 k2323 kn3 n3 Z=k1n 1n k2n2n knn nn,（1）對上面n 個式子兩邊分別平方再求和，得：,（2）將上式的兩邊分別除以觀測次數(shù)n，則：,（3）根據(jù)偶然誤差的性質(zhì)，上式的最后一項隨n 的增加而趨向于零，上式可寫為：,（4）根據(jù)中誤差的定義，上式即為：,6.4.1 線性函數(shù)的中誤差,解： (首先判斷是倍數(shù)函數(shù)，還是和差函數(shù)) L

11、=l1 + l2 + l3 + l4 m=4m=0.0004 米 m=0.02 米,【 例 1】丈量布匹4米，以尺長為1米的尺子進(jìn)行丈量四次，設(shè)每次丈量的中誤差為0.01米，問丈量4米的中誤差為多少？,6.4.1 線性函數(shù)的中誤差,【 例 2】丈量布匹4米，以尺長為1米的尺子丈量一次后，再以1米布為基礎(chǔ)折疊三次得到4米長的布匹，問量這4米長布匹的中誤差為多少？,解： L=4 l mL = 4 m =0.04 米,6.4.2 一般函數(shù)的中誤差,設(shè)一般函數(shù)為： Z=f(x1, x2, xn ) (x1, x2, xn 為相互獨立的可直接觀測量； 1 ,2, n 為其對應(yīng)的真誤差； m1， m2，

12、mn 為其對應(yīng)的中誤差；） 我們已經(jīng)求出一般線性函數(shù)的中誤差公式，可將上式線性化以后，在利用線性函數(shù)中誤差公式求出一般函數(shù)的中誤差公式,習(xí)題,1、什么是誤差，有哪些種類，他們的定義和特性都是什么？評定觀測值的精度指標(biāo)都有什么？ 2、丈量布匹4米，以尺長為1米的尺子進(jìn)行丈量四次，設(shè)每次丈量的中誤差為0.01米，問丈量4米的中誤差為多少？ 3、丈量布匹4米，以尺長為1米的尺子丈量一次后，再以1米布為基礎(chǔ)折迭三次得到4米長的布匹，這4米長布匹的中誤差為多少？ 4、已知傾斜距離及中誤差分別為：L=50米，mL=0.05米，傾斜角及其中誤差分別為：=15,m=30,求水平距離D的中誤差m 。,習(xí)題,5、附和水平路線如圖，A，B兩點高程已知L1=2km, L2=6km, L3=4km,已知每公里高差中誤差為1mm，求（1）h1，h2，h3的高差中誤差；（2）求經(jīng)閉和差調(diào)整后1，2兩點中誤差；（3）閉合差分配后1，2點高程中誤差。 6、 A,B,C為