1、機(jī)器人技術(shù)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Mathematic Preparation for Robotics,2.1 位置和姿態(tài)的表示 2.2 坐標(biāo)變換 2.3 齊次坐標(biāo)變換 2.4 物體的變換及逆變換 2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.1 位置和姿態(tài)的表示 1.位置描述 在直角坐標(biāo)系A(chǔ)中,空間任意一點p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示: 2.方位描述 空間物體B的方位(Orientation) 可由某個固接于此物體的坐標(biāo)系B 的三個單位主矢量xB,yB,zB相對于 參考坐標(biāo)系A(chǔ)的方向余弦組成的3x3 矩陣描述.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.1 位置和姿態(tài)的表示

2、上述矩陣稱為旋轉(zhuǎn)矩陣,它是正交的.即 若坐標(biāo)系B可由坐標(biāo)系A(chǔ),通過繞A的某一坐標(biāo)軸獲得,則繞x,y,z三軸的旋轉(zhuǎn)矩陣分別為,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.1 位置和姿態(tài)的表示 這些旋轉(zhuǎn)變換可以通過右圖推導(dǎo) 這是繞Z軸的旋轉(zhuǎn). 其它兩軸只要把坐標(biāo)次序調(diào)換可得上頁結(jié)果.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.1 位置和姿態(tài)的表示 旋轉(zhuǎn)矩陣的幾何意義: 1) 可以表示固定于剛體上的坐標(biāo)系B對參考坐標(biāo)系的姿態(tài)矩陣. 2) 可作為坐標(biāo)變換矩陣.它使得坐標(biāo)系B中的點的坐標(biāo) 變換成A中點的坐標(biāo) . 3) 可作為算子,將B中的矢量或物體變換到A中.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.1 位置和姿態(tài)的表示 3.位姿描

3、述 剛體位姿(即位置和姿態(tài)),用剛體的方位矩陣和方位參考坐標(biāo)的原點位置矢量表示，即,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.2 坐標(biāo)變換 平移坐標(biāo)變換 坐標(biāo)系A(chǔ)和B具有相同的方位,但原點不重合.則點P在兩個坐標(biāo)系中的位置矢量滿足下式:,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.2 坐標(biāo)變換 2.旋轉(zhuǎn)變換 坐標(biāo)系A(chǔ)和B有相同的原點但方位不同,則點P的在兩個坐標(biāo)系中的位置矢量有如下關(guān)系:,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.2 坐標(biāo)變換 3.復(fù)合變換 一般情況原點既不重和,方位也不同.這時有: (2-13),Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.2 坐標(biāo)變換 例2.1 已知坐標(biāo)系B的初始位姿與A重合,首先B相對于A的ZA軸轉(zhuǎn)

4、30,再沿A的XA軸移動12單位,并沿A的YA軸移動6單位.求位置矢量APB0和旋轉(zhuǎn)矩陣BAR.設(shè)點p在B坐標(biāo)系中的位置為BP=3,7,0,求它在坐標(biāo)系A(chǔ)中的位置.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.3 齊次坐標(biāo)變換 1.齊次變換 (2-13)式可以寫為: (2-14) P點在A和B中的位置矢量分別增廣為: 而齊次變換公式和變換矩陣變?yōu)? (2-15,16),Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.3 齊次坐標(biāo)變換 2.平移齊次坐標(biāo)變換 A分別沿B的X、Y、Z坐標(biāo)軸平移a、b、c距離的平移齊次變換矩陣寫為： 用非零常數(shù)乘以變換矩陣的每個元素，不改變特性。 例2-3:求矢量2i+3j+2k被矢量4i-3j

5、+7k平移得到的新矢量.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.3 齊次坐標(biāo)變換 3.旋轉(zhuǎn)齊次坐標(biāo)變換 將上式增廣為齊次式：,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.3 齊次坐標(biāo)變換 引入齊次變換后，連續(xù)的變換可以變成矩陣的連乘形式。計算簡化。,例2-4 ：U=7i+3j+2k,繞Z軸轉(zhuǎn)90度后，再繞Y軸轉(zhuǎn)90度。 例2-5：在上述基礎(chǔ)上再平移（4，-3，7）。,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.3 齊次坐標(biāo)變換 由矩陣乘法沒有交換性，可知變換次序?qū)Y(jié)果影響很大。,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.4 物體的變換及 逆變換 1.物體位置描述 物體可以由固定于其自身坐標(biāo)系上的若干特征點描述。物體的變換也可通過這些

6、特征點的變換獲得。,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.4 物體的變換及逆變換 1.物體位置描述,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.4 物體的變換及逆變換 2.齊次坐標(biāo)的復(fù)合變換 B相對于A: ABT; C相對于B: BCT; 則C相對于A:,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.4 物體的變換及逆變換 3.齊次坐標(biāo)的逆變換 B相對于A: ABT; A相對于B: BAT; 兩者互為逆矩陣.求逆的辦法: 1.直接求ABT-1 2.簡化方法,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.4 物體的變換及逆變換 3.齊次坐標(biāo)的逆變換 一般,若 則,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.4 物體的變換 及逆變換 3.變換方程初步 B

7、:基坐標(biāo)系 T:工具坐標(biāo)系 S:工作臺坐標(biāo)系 G:目標(biāo)坐標(biāo)系 或工件坐標(biāo)系 滿足方程,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題: P43, 題2.3 P44, 題2.9,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 1.通用旋轉(zhuǎn)變換公式 求:繞從原點出發(fā)的f旋轉(zhuǎn)角時的旋轉(zhuǎn)矩陣. S:物體上固接的坐標(biāo)系 T:參考坐標(biāo)系 C:Z軸與f重合的輔助坐標(biāo)系,xT,YT,ZT,T,C,S,zS,f, Zc,O,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 在S上取一點p,其坐標(biāo)為向量P,它繞T中直線f旋轉(zhuǎn)角。 1）將S上p點坐標(biāo)變換到T中，其坐標(biāo)為 2）直接計算繞f旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)為， 目前上式在T無法直接求。

8、采取如下步驟： 3）建立輔助坐標(biāo)系C，使其Z軸與f重合。這樣問題 變?yōu)槔@ZC旋轉(zhuǎn)。將S中的點p變換到C中，變換 為： 4）在C中繞Z軸旋轉(zhuǎn)有： 5）將C中坐標(biāo)變換回T中有，,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 步驟2）和5）中的結(jié)果應(yīng)該相同， 即： 由于C的Z軸與f重合,所以,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 根據(jù)坐標(biāo)軸的正交性, ,有 令 ,則,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 2.等效轉(zhuǎn)角與轉(zhuǎn)軸 給出任一旋轉(zhuǎn)變換,能夠由上式求得進(jìn)行等效旋轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)軸.已知旋轉(zhuǎn)變換R,令R=Rot(f,),即有 將上式對角線元素相加,并簡化得,Robotics 數(shù)

9、學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 非對角元素成對相減,有 平方后有 設(shè) ,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 例2-7 一坐標(biāo)系B與參考系重合,現(xiàn)將其繞通過原點的軸 轉(zhuǎn)30,求轉(zhuǎn)動后的B. 以 ,代入算式,有,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 一般情況,若f不通過原點,而過q點(qx,qy,qz),則齊次變換矩陣為: 其中,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),2.5 通用旋轉(zhuǎn)變換 例2-8 一坐標(biāo)系B與參考系重合,現(xiàn)將其繞通過q=1,2,3T的軸 轉(zhuǎn)30,求轉(zhuǎn)動后的B. 以 ,代入算式,有,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),Matlab使用與矩陣計算 Matlab是美國Mathwo

10、rks公司推出的數(shù)值 計算軟件.在數(shù)值計算及科學(xué)研究中,是其 它語言無法相比的.其主要特點有: 1.語言簡潔緊湊,使用方便靈活,庫含數(shù)極其豐富. 2.具有非常多的矩陣函數(shù),矩陣計算異常方便. 3.具有多種功能的工具包. 4.具有與FORTRAN、C等同樣多的運算符和結(jié)構(gòu)控制指令的同 時，語法限制卻不嚴(yán)格，使程序設(shè)計很自由. 5.圖形功能強(qiáng)大,數(shù)據(jù)可視化好. 6.原程序和庫函數(shù)代碼公開. 但.程序執(zhí)行效率較低. 本節(jié)主要介紹其矩陣計算在機(jī)器人分析中的應(yīng)用.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),Matlab使用與矩陣計算 矩陣的輸入: 1)矩陣的直接輸入.(操作) 以 作為首尾,行分隔用”;”,元素分隔用

11、”,”或空格. 2)矩陣編輯器.(操作) 先在工作區(qū)定義矩陣,用編輯器修改矩陣. 3)用函數(shù)創(chuàng)建矩陣,如.(操作) zeros(m,n):零矩陣 ones(m,n):全部元素都為1的矩陣 eye(m,n):單位陣 randn(m,n):正態(tài)分布的隨機(jī)矩陣 vander(A):由矩陣A產(chǎn)生的Vandermonde矩陣,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),Matlab使用與矩陣計算 矩陣的計算.(操作) 1)加減 2)轉(zhuǎn)置 3)乘法 4)除法與線性方程組 5)逆 6)冪和指數(shù),Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),Matlab使用與矩陣計算 例: 計算:,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.3 坐標(biāo)系B初始與A重

12、合,讓B繞ZB旋轉(zhuǎn)角;然后再繞XB轉(zhuǎn)角.求把BP變?yōu)锳P的旋轉(zhuǎn)矩陣.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.3變化 坐標(biāo)系B初始與A重合,讓B繞ZB旋轉(zhuǎn)角;然后再繞XA轉(zhuǎn)角.求把BP變?yōu)锳P的旋轉(zhuǎn)矩陣.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.3變化 坐標(biāo)系B初始與A重合,讓B繞ZB旋轉(zhuǎn)角;然后再繞XA轉(zhuǎn)角.求把BP變?yōu)锳P的旋轉(zhuǎn)矩陣.,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.9將圖(a)變換到(b).,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.9 解一,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.9 解一,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.9 解一,Robotics 數(shù)學(xué)基礎(chǔ),習(xí)題:2.9 解一,Rob