1、學而思2012年暑假四升五素質(zhì)123班難題匯總第一講 分數(shù)基本計算分數(shù)的性質(zhì)：分子分母同乘同除一個非零整數(shù)，分數(shù)的值不變。倒數(shù)的應用：除以一個數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。裂項的理解：=-，=(-)。11、【例6】計算：【難度級別】【解題思路】本題考察孩子們能否把“124”和“136”看成一個整體，而其他各個加數(shù)均是這個整體的整數(shù)倍。令124A、136B，則：原式【答案】12、【例7】計算：(+)+(+)+(+)+(+)+【難度級別】【解題思路】分組是本題的關鍵，將分母相同的分在一組。先找規(guī)律，從分母是20的看，分子是1、2、3、19，共19項；進而清楚了，分母是19的有18項（分子依次是1、2、

2、3、18），分母是3的有2項（分子依次是1、2），分母是2的有1項（分子是1）。原式+(+)+(+)+(+)對于n，分子是1+2+3+(n-1)的和，(+)=(1+2+3+n-1)=所以，原式+19095【答案】95。13、【學案2】計算：(+)【難度級別】【解題思路】除號右面的好計算，除號左面的需要整體觀察和估計，除號左面這樣的分數(shù)計算不會是硬算的，一定有技巧的，注意觀察，找關鍵點。+=+=+=除號左面，分子分母中都有，后邊的2個加減式子的結(jié)果會不會相等呢？如果相等，分子分母就一樣了，這樣，除號左面的結(jié)果就是1，試一試：=1原式11【答案】14、【學案3】計算：【難度級別】【解題思路】需要整

3、體觀察和估計，這樣的分數(shù)計算不會是硬算的，一定有技巧的，注意觀察，找關鍵點。觀察分子分母中大數(shù)相同的項，第1項：分子有64014、分母有34014，是2倍關系；第3項：分子、分母，是2倍關系，孩子對分數(shù)剛接觸，對是的2倍還不是很熟悉；那么就考慮中間的第2項如果也是2倍，整個分子就是整個分母的2倍了，那就好解決了，試一試：3602433200892008，940169220082(92008)，第2項的分子恰好也是分母的2倍。分母=34014+92008+,分子=2(34014+92008+)，原式=2?！敬鸢浮?。15、【學案4】分母為1996的所有最簡真分數(shù)之和是_?！倦y度級別】【解題思路】

4、此題難道較高。熟悉思考有哪些最簡真分數(shù)。分母為1996，是偶數(shù)，根據(jù)最簡分數(shù)定義，分子不能是偶數(shù)只能是奇數(shù)（分子是偶數(shù)，分子分母就可以同時除以2了），但是是不是從1到1995的所有奇數(shù)都滿足呢？這是本題的關鍵。將1996分解成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，199622499，499是質(zhì)數(shù)，不能再分解。這樣，分子就不能是499，分子也不能是4992998（偶數(shù)上面已經(jīng)全部排除了），分子也不能是49931497。因此，所有奇數(shù)中，要去掉499、1497這2個數(shù)。+-(+)=(1+3+5+1995)-(499+4993)=-4994=499-1=498【答案】498。16、【作業(yè)8】計算：+=_。【難度級別】【

5、解題思路】將分母相同的分成一組。+(+)+(+)+(+)分母相同的，分子構(gòu)成金字塔數(shù)列，可能記不住金字塔數(shù)列的和是什么，沒有關系，推導一下即可：1+2+3+n+3+2+1=(1+2+3+n)+(n-1+3+2+1)= +=n2對于本題，分子的金字塔數(shù)列之和n2再除以分母的n，得到每一個分組的結(jié)果是：n2nn。原式1+2+3+1995=199619952?！敬鸢浮?。第二講 比例初步本講是孩子們第一次接觸比和比例，需要一個學習、消化、積累的過程。比表示倍數(shù)關系，比和比例是不同的概念。比的性質(zhì)：前項、后項同時乘以或除以同一個非零數(shù)，比值不邊。這個性質(zhì)適用于多個數(shù)的比（多于2個的數(shù)）。比例的性質(zhì)：橫式

6、，兩內(nèi)項乘積兩外項乘積；豎式，交叉相乘積相等。此講中，找不變量的應用題是難點。各元素之間的比例不同情況下是變的，但是總有不變量，找不變量是解題的關鍵。21、【例6】將一堆糖果全部分給甲、乙、丙三個小朋友。原計劃甲、乙、丙三人所得糖果的比為5：4：3。實際上，甲、乙、丙三人所得糖果數(shù)的比為7：6：5，其中有一位小朋友比原計劃多得了15塊糖果。那么這位小朋友是_（填“甲”、“乙”或“丙”），他實際所得的糖果數(shù)為_塊?！倦y度級別】【解題思路】找不變量，糖果總數(shù)不變，統(tǒng)一不變量份數(shù)。5+4+3=12，7+6+518。糖果總數(shù)是不變量，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，12,18=36。5:4:3=15:12:9，7:

7、6:5=14:12:10，統(tǒng)一不變量的份數(shù)之后，可以看出：在總份數(shù)36份中，甲從15變?yōu)?4減少了1份，乙保持12份，丙從9變?yōu)?0增加了1份。所以糖果變多的小朋友是“丙”，多的1份是15塊，10份就是：1510=150(塊)?！敬鸢浮?50。22、【例5】已知甲、乙、丙三個數(shù)，甲等于乙、丙兩數(shù)和的，乙等于甲、丙兩數(shù)和的，丙等于甲、乙兩數(shù)和的，求甲：乙：丙?！倦y度級別】【解題思路】找不變量，三個數(shù)總和不變，統(tǒng)一不變量份數(shù)。甲:乙+丙=1:3，總分4份；乙:甲+丙=1:2，總分3份；丙:甲+乙=5:7，總分12份?？偡质遣蛔兞?，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，4,3,12=12。1:3=3:9，1:2=4:8

8、，5:7，統(tǒng)一不變量的份數(shù)之后，可以看出：在總份數(shù)12份中，甲3份、乙4份、丙5份，甲：乙：丙=3：4：5。【答案】3：4：5。23、【例7】甲乙丙三車分別從A地出發(fā)，開往B地，已知甲車速度是5米/秒，乙車速度是4米/秒，丙車速度是6米/秒，已知三人到達B地共用18.5分，則A、B間的距離是多少？【難度級別】【解題思路】考察對反比的理解，相同的路程，時間與速度成反比。速度比5：4：6，路程相同，時間與速度成反比，時間比：12：15：10。12+15+1037，37份是18.5分鐘，18.5370.5，每份是0.5分鐘。甲的時間：120.56(分)360(秒)，A、B間的距離：36051800(

9、米)?！敬鸢浮?800米。24、【例8】某高速公路收費站對于過往車輛收費標準是：大型車30元，中型車15元，小型車10元。一天，通過該收費站的大型車和中型車數(shù)量之比是5：6，中型車與小型車之比是4：11，小型車的通行費總數(shù)比大型車多270元。(1)這天通過收費站的大型車、中型車、小型車各有多少輛？(2)這天的收費總數(shù)是多少元?！倦y度級別】【解題思路】找不變量，2個比例中中型車是不變量，統(tǒng)一不變量份數(shù)。6,4=12，5：610：12，4：1112：33，數(shù)量比，大：中：小10：12：33。費用比，大：中：小1030：1215：3310300：180：330，33030030，多30份為270元，

10、1份為9輛。大、中、小的數(shù)量：10990，129108，339297。總費用：(300+180+330)97290(元)?！敬鸢浮?0，108，297；7290。25、【學案4】北京中學生運動會男女運動員比例為19：12，組委會決定增加女子藝術體操項目，這樣男女運動員比例變?yōu)?0：13；后來又決定增加男子象棋項目，男女比例變?yōu)?0：19，已知男子象棋項目運動員比女子藝術體操運動員多15人，則總運動員人數(shù)為多少？【難度級別】【解題思路】找不變量，第1次男不變，第2次女不變，統(tǒng)一不變量份數(shù)。第1次男不變，19,20=380，19：12380：240，20：13380：247。第2次女不變，13,1

11、9=247，20：13380：247，30：19390：247。男增加了：390-380=10(份)，女增加了247-240=7(份)，1073，3份是15人，1份就是5人?？?cè)藬?shù)：(390+247)53185?！敬鸢浮?185。26、【作業(yè)8】甲、乙兩人原有的錢數(shù)之比為6：5，后來甲又得到180元，乙又得到30元，這時甲、乙錢數(shù)之比為18：11，求原來兩人的錢數(shù)之和為多少？【難度級別】【解題思路】此題也是尋找不變量，只是2個量都在變，按原比例把變化后的其中一個當作不變量，再統(tǒng)一不變量的份數(shù)，考察另一個量的變化情況。6：518：15，但是現(xiàn)在是18：11，乙的錢少了，按照18：15的比例，甲得

12、到180元，乙應得到150元，現(xiàn)在乙只得到30元，差：15030120元，差15-114(份)，4份120元，1份30元。用18：11計算，現(xiàn)在錢數(shù)之和：(18+11)30870(元)，原來的錢數(shù)之和：870-(180+30)=660(元)。也可用18：15計算，原來的錢數(shù)之和：(18+15)30-(180+150)=660(元)。這里，可以看出是把甲的份數(shù)統(tǒng)一了，把增加180元后的甲當作了不變量，乙從150元變成30元是變量。當然把增加30元后的乙當作不變量也可以，只是5、11這些數(shù)計算稍微復雜一點而已?！敬鸢浮?60元。第三講 面積一半模型春季課程的第三講是等積變形，那一講函蓋了本講的大部

13、分內(nèi)容。等積變形那一講的總結(jié)摘錄如下：等積變形是孩子們學習的幾何中比較難的專題了。先總結(jié)一下老師課堂上講解的方法，一個幾何題目方法對了很重要。第一，一半模型。第二，四邊形的蝴蝶定理。四邊形分成四部分，對角面積乘積相等。第三，等積變形：底不動，頂點平移。主要是找平行線，一大一小兩個正方形時，經(jīng)常用到2個平行的對角線。第四，梯形,兩翼面積相等。第五，共邊。采用比例、份數(shù)等。如果不會使用比例，可以采用分割的方法。第六，鳥頭（共角模型）。2個三角形（記?。菏侨切危┯幸粋€角相等或者互補，面積比等于夾角的邊乘積的比(邊只看比例不看具體的長度)，即：S?。篠大小小：大大。面積一半模型這一講，要點整理如下：

14、第一， 等積變形。同高看底，同底看高；頂點在底邊平行線上移動。第二， 一半模型?；緢D形：長方形、正方形、平行四邊形；點：在邊上、延長線上；連線：對面頂點；關系：一半。第三， 梯形中的一半。點在腰的中點。第四， 梯形,兩翼面積相等。第五， 重疊未覆蓋。另外，老師給出了“處理不規(guī)則四邊形的常用方法”：連一條對角線，四邊形+；延長2條不平行的對邊，相交構(gòu)成一大一小2個，四邊形-；如果是四邊形內(nèi)的一點，將此點連接4個頂點；弦圖。有時間，大家可以復習一下等積變形那一講的題目，那一講比本講內(nèi)容要難的多、復雜的多。31、【例4】如圖所示，長方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，AB8，AD15，四邊形

15、EFGO的面積為_?！倦y度級別】【解題思路】此題不難，但是方法有很多，這些方法或許能給孩子們以啟發(fā)。方法一：梯形兩翼相等梯形BFDA，F(xiàn)A、BD為對角線，E為對角線交點，BEA和FED為兩翼，梯形兩翼相等。這樣，F(xiàn)ED代替陰影的BEA后，3塊陰影就聚到了一起，去掉ACD后就是要求的四邊形EFGO。長方形ABCD的面積：815120，ACD的面積60，706010。方法二：一半模型長方形ABCD的面積：S815120。根據(jù)一半模型，SFADS，SOADS。小翅膀AFDO的面積SFADSOADSSS30。四邊形EFGO的面積小翅膀AFDO的面積 + 陰影面積S30 + 70 - 120 10。方法

16、三：重疊未覆蓋長方形ABCD的面積：S815120。根據(jù)一半模型，SFADS，SOAB +SOCDS。因為：SFAD+(SOAB +SOCD)=S，OAE+OGD為“重疊”，F(xiàn)BE+FCG為“未覆蓋”，根據(jù)“重疊未覆蓋”，SOAE + SOGD = SFBE + SFCG。非陰影面積=120-70=50，SOAE +SOGD = 50 - S = 50 30 = 20，所以：SFBE + SFCG = 20 。四邊形EFGO的面積S(SFBE + SFCG)302010 ?！敬鸢浮?0。32、【例5】如圖，正方形的邊長為10，正方形的邊長為10，四邊形EFGH的面積為5，那么陰影部分的面積是_

17、?！倦y度級別】【解題思路】等積變形，一半模型。正方形面積1010100。MFC等積變形為NFC。根據(jù)一半模型，NBC為正方形的一半，面積為50，這個一半中含有2個“四邊形EFGH”的非陰影。陰影面積505240。【答案】40。33、【例6】如圖，正方形ABCD的邊長為6，AE1.5，CF2。長方形EFGH的面積為_?！倦y度級別】【解題思路】一半模型。連接DE、DF，DEF為長方形EFGH的一半。DEF面積=正方形ABCD面積-ADE面積-BEF面積-CFD面積=66-1.562-44.52-262=36-4.5-9-6=16.5長方形EFGH的面積16.5233?！敬鸢浮?3。34、【例7】如

18、圖所示，在梯形ABCD中，E、F分別是其兩腰AB、CD的中點，G是EF上的任意一點，已知ADG的面積為15，而BCG的面積恰好是梯形ABCD面積的，則梯形ABCD的面積是_?！倦y度級別】【解題思路】梯形一半模型，等積變形。由梯形腰的中點，想到梯形的一半模型。連接ED、EC，EDC為梯形的一半，ADE+BCE也為梯形的一半。EF為梯形中位線，EF與AD、BC平行。ADG等積變形為ADE，面積為15；BCG等積變形為BCE，面積為S。15+SS，S100。【答案】100。35、【例8】如圖，P為長方形ABCD內(nèi)的一點。PAB面積為5，PBC面積為13.求PBD的面積?！倦y度級別】【解題思路】一半模

19、型，有技巧。根據(jù)一半模型，PAD+13為長方形一半，PAD+5+PBD也為長方形一半，相等。PAD+13PAD+5+PBD，PBD1358?！敬鸢浮?。36、【學案2】如圖所示，矩形ABCD的面積為24。ADM與BCN面積和為7.8，則四邊形PMON的面積是_?！倦y度級別】【解題思路】將題目中給的2個，利用梯形兩翼相等移到一起去?？刺菪蜳CBA，BCN和APN為兩翼。ADM+BCNADM+APN7.8。ADO2446。四邊形PMON面積7.861.8?！敬鸢浮?.8。37、【學案3】E、M分別為直角梯形ABCD兩邊上的點，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD5，BC7，AE5，EB3。求陰影部分

20、的面積?！倦y度級別】【解題思路】陰影有2個組成：MEQ、MEP，這2個面積不好求。題目給了3條平行線，想到了等積變形。等積變形：MEQMED、MEPMEC，這樣就轉(zhuǎn)化成求DEC的面積。在梯形ABCD中，求DEC的面積不難。DEC面積梯形ABCD面積DAE面積CBE面積(5+7)82552372482325。【答案】25。38、【學案4】如圖，三角形AEF的面積是17，DE、BF的長度分別為11、3。求長方形ABCD的面積。【難度級別】【解題思路】提供3種解法。方法一，代數(shù)方法，方程，一半模型。根據(jù)一半模型，EAD為長方形一半。根據(jù)四邊形AEFD，列方程。EAD+EDFAEF+AFDS+(x-1

21、1)17+x化簡，x抵消掉，S-17，S=67。方法二，一半模型，做輔助線。過F點做AD的平行線，交AB于G。根據(jù)一半模型，GEF是長方形GBCF的一半，GAF是長方形AGFD的一半，所以，四邊形AGEF（GEF+GAF）就是長方形ABCD（GBCF+AGFD）的一半。四邊形AGEF面積AEF面積+AGE面積17+311233.5長方形ABCD面積33.5267方法三，等積變形，做輔助線。過F點做AD的平行線，交AB于G，過E點做AB的平行線，交AD于H，GF與HE交于0點。這樣AEF被分成了3個：AEO、AFO、EFO。等積變形，AEOGEO，AFODFO，EFOEFC變形后的面積，分別為他

22、們所在的小長方形面積的一半（長方形ABCD分成了4個小長方形，其中的3個）。這3個面積和為17，所以3個小長方形的面積為34。另外一個小長方形AGOH的面積31133。長方形ABCD面積34+3367?！敬鸢浮?7。39、【作業(yè)2】如圖，BC45，AC21，ABC被分成9個面積相等的小三角形，那么DI+FK_?！倦y度級別】【解題思路】同高時，底邊的比面積的比。求FK：從F點找背靠背的邊DF，找到2個：DFA、DFC。AF：FCDFA面積：DFC面積2：5，AC21，21(2+5)=3，所以：AF236，F(xiàn)C5315。從K點找背靠背的邊IK，找到2個：IKF、IKC。FK：KCIKF面積：IKC

23、面積2：1，F(xiàn)C15，15(2+1)=5，所以：FK2510。同樣的方法，求DI：從D點找背靠背的邊AD，找到2個：ADB、ADC。BD：DCADB面積：ADC面積2：7，BC45，45(2+7)=5，所以：BD2510，DC7535。從I點找背靠背的邊FI，找到2個：FID、FIC。DI：ICFID面積：FIC面積2：3，DC35，35(2+3)=7，所以：DI2714。最后，求DI+FK：DI+FK14+1024?！敬鸢浮?4。3A、【作業(yè)4】如圖所示，矩形ABCD的面積為36，四邊形PMON的面積是3，則陰影(ADM+BCN)的面積是_?！倦y度級別】【解題思路】此題從學案2變化而來，條件

24、和結(jié)果與學案2反過來。方法一，梯形兩翼相等。將題目中給的2個，利用梯形兩翼相等移到一起去?？刺菪蜳CBA，BCN和APN為兩翼，兩翼相等。ADM+BCNADM+APNADO+四邊形PMON36+312。方法二，一半模型。根據(jù)一半模型，PAB面積為矩形ABCD的一半，為18。OAB面積為矩形ABCD的四分之一，為9。AOM面積+BON面積=PAB面積-OAB面積-四邊形PMON面積18936ADM面積+BCN面積(ADO面積+BCO面積)-( AOM面積+BON面積)18-612方法三，重疊未覆蓋。根據(jù)一半模型，PAB面積為矩形ABCD的一半，OCD+OAB的面積也是矩形ABCD的一半，這2個一

25、半相加，重疊部分是：OAB+四邊形PMON，未覆蓋部分是：ADM+BCN（就是要求的陰影部分）。根據(jù)“重疊未覆蓋”，ADM+BCNOAB+四邊形PMON9+312?！敬鸢浮?2。3B、【作業(yè)8】如圖，過平行四邊形ABCD內(nèi)的一點P作邊的平行線EF、GH，若PBD的面積為8，求平行四邊形PHCF的面積比平行四邊形PGAE的面積大多少？【難度級別】【解題思路】一半模型。假設平行四邊形ABCD的面積為S。方法一，2個四邊形，1個“一半”+“陰影”，1個“一半”-“陰影”。四邊形PBCDBCD+PBDS + 8。四邊形ABPDABD-PBDS - 8。四邊形PBCD-四邊形ABPD(S + 8)-(

26、S - 8)16 四邊形PBCDPBH+四邊形PHCH+PFD 四邊形ABPDPBE+四邊形PGAE+PGD PBH與PBE面積相等，PFD與PGD面積相等，將和代入，得到：四邊形PBCD-四邊形ABPD四邊形PHCH-四邊形PGAE16。方法二，一半模型，同增加一個公共部分。求：四邊形PHCF四邊形PGAE，同時增加一個四邊形EBHP，變成了：四邊形EBCF四邊形ABHG。根據(jù)一半模型，PBC=四邊形EBCF的一半，PAB=四邊形ABHG的一半。問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍螅?(PBC-PAB)。仿照例8求PBC-PAB：PBC+PAD=S，PAB+PAD+8=S，兩式相減得到：PBC-PAB=8。2(PB

27、C-PAB)16，就是題目要求的結(jié)果。【答案】16。第四講 牛吃草問題初次接觸，還真不知道怎么樣去做，老師講了例1才清楚，原來解決這類問題，有它自己固定的思路。一、 一個關鍵量：1牛1天吃1份。二、 兩個必求量：增長量、原草量三、 一個公式：增長量(天數(shù)1頭數(shù)1天數(shù)2頭數(shù)2)(天數(shù)1天數(shù)2)原草量天數(shù)1頭數(shù)1天數(shù)1增長量四、 統(tǒng)一單位面積，統(tǒng)一動物“飯量”這些概念，直接理解比較抽象。通過例1，就完全明白它們的含義了，并且掌握牛吃草問題基本類型的解題步驟。41、【例1】有一塊均勻生長的草場，可供12頭牛吃25天，或供24頭牛吃10天。那么它們可供幾頭牛吃20天？可供29頭牛吃幾天？【難度級別】【

28、解題思路】此題為吃草問題的基本類型，通過本題講解，來掌握基本類型的解題步驟和解題思路。設1牛1天吃1份。12牛25天：1225300(份)24牛10天：2410240(份)25-10=15(天)，300-24060(份)，說明15天增長了60份。每天的增長量：60154(份)原草量：300254200(份)，或：240104200(份)，結(jié)果一樣。求多少牛能吃多少天，都是需要先安排牛吃掉每天的增長量，本題增長量為4，需要4頭牛吃每天的增長量，再安排牛吃原草量。原草量200份，20天：需要2002010(頭)，共4+1014(頭)。原草量200份，29頭牛：需要200(29-4)8(天)?！敬鸢?/p>

29、】可供14頭牛吃20天，可供29頭牛吃8天。42、【例5】某超市平均每小時有60人排隊付款，每一個收銀臺每小時能應付80人。某天某時間段內(nèi)，該超市只有一個收銀臺工作，付款開始4小時就沒有顧客排隊了。如果當時有兩個收銀臺工作，那么付款開始_小時就沒有人排隊了?！倦y度級別】【解題思路】收銀臺的數(shù)量是牛的頭數(shù)，小時是牛吃草問題中的天數(shù)，60人為單位時間的增長量。804320(人)，新增長：604240，原有量：32024080(人)。如果兩個收銀臺，802160，先考慮增長量60，16060100才消耗原有量，801000.8(小時)。上面這個求時間的過程不好理解，可以用方程解：160x=80+60

30、x，x=0.8。這個方程比較好理解?！敬鸢浮?.8。43、【例7】有三塊草地，面積分別為5公頃、15公頃和24公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天。問：第三塊草地可供多少頭牛吃80天。【難度級別】【解題思路】此題的難點在于是多塊草地，而且面積不同?？梢钥s倍，也可以擴倍。設1牛1天吃1份草。方法一，縮倍，5/15/24的最大公約數(shù)是15公頃10牛30天 1公頃2牛30天15公頃28牛45天1公頃牛45天1公頃增長量：(45-230)(45-30)=1.6(份/周)1公頃原有量：230-1.630=12(份)那么，24公頃增長量：1

31、.624=38.4(份/周)24公頃原有量：1224=288(份)28880+38.4=3.6+38.4=42(頭)方法二，擴倍，5/15/24的最小公倍數(shù)是1205公頃10牛30天 120公頃240牛30天15公頃28牛45天120公頃224牛45天120公頃增長量：(22445-24030)(45-30)=192(份/周)120公頃原有量：24030-19230=1440(份)那么，24公頃增長量：1925=38.4(份/周)24公頃原有量：14405=288(份)28880+38.4=3.6+38.4=42(頭)【答案】42。44、【例8】如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間

32、的陰影部分，已知草在各處都是同樣速度均勻生長。牧民帶著一群牛先在號草地上吃草，2天后把號草地的草吃光（在這2天內(nèi)其他草地的草正常生長）。之后他讓一半牛在號草地吃草，一半牛在號草地吃草，6天后將2個草地的草吃光。然后牧民把的牛放在陰影部分的草地中吃草，另外的牛放在號草地吃草，結(jié)果發(fā)現(xiàn)它們同時把草場上的草吃完。那么如果一開始就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時間？【難度級別】【解題思路】仔細分析此題有3個條件：號吃2天，號吃6天，的牛在陰影的牛在號同時吃完。本題關鍵點在于，使用第1個、第2個條件列等式。方法一，設這群牛1天吃1份。相等，所以它們每塊的原有量相同，每塊1天的增長量相同，設

33、每塊的原有量為a，每塊1天的增長量為b，則根據(jù)條件1“號吃2天”有： a+2b2份 根據(jù)條件2“號吃6天”有：2(a+8b)6份 由和可以解出：b份，a份。根據(jù)第3個條件“的牛在陰影的牛在號同時吃完”，說明陰影部分面積是號草地的，所以整塊草地面積是號草地的4.5倍。整塊草地1天的增長量：4.5b4.5份份；整塊草地的原有量：4.5a4.5份份。這群牛1天吃1份，吃每天增長量需要份，只有份去吃原有量。份份30(天)。有人問，能不能按照基本類型還是“設1頭牛1天吃1份”？答案是肯定的，以上為老師給出的解法，略加修改就形成“1頭牛1天吃1份”的解法，這樣就和基本類型的“設”一致了，也好理解了，上邊的

34、一群牛設為1份，個別地方理解起來有點別扭。方法二，設1頭牛1天吃1份。假設這群牛有n頭，那么這群牛1天就吃n份。相等，所以它們每塊的原有量相同，每塊1天的增長量相同，設每塊的原有量為a份，每塊1天的增長量為b份，則根據(jù)條件1“號吃2天”有： a+2b2n 根據(jù)條件2“號吃6天”有：2(a+8b)6n 由和可以解出：bn，an。根據(jù)第3個條件“的牛在陰影的牛在號同時吃完”，說明陰影部分面積是號草地的，所以整塊草地面積是號草地的4.5倍。整塊草地1天的增長量：4.5b4.5nn；整塊草地的原有量：4.5a4.5nn。這群牛有n頭，吃每天增長量需要n頭牛（n份1份n頭），剩余的n-n=n頭牛去吃原有

35、量n份。nn30(天)?！敬鸢浮?0天。45、【學案2】現(xiàn)有馬、牛、羊吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，馬、羊吃需要60天吃完，牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時間？【難度級別】【解題思路】列等式。找等式間的比例關系，利用“馬速牛+羊速”，這2點是本題的難點。以下：“老本”代表草的原有量，“新”代表一天草的增長量。45天牛+馬 老本+45新 60天馬+羊 老本+60新 90天牛+羊 老本+90新 90天擴大1倍變?yōu)椋号?馬 2老本+90新 60天馬+羊 老本+60新 90天牛+羊 老本+90新 90天牛+馬 2老本+90新 90天根據(jù)

36、“馬速牛+羊速”，將變?yōu)椋厚R 老本+90新 90天得到：牛 老本90天90天將“牛 老本”代入得到：羊 90新，1天所以，羊 新。60天1天由“羊 新”可得：羊 60新，將此式代入得到：60天馬 老本。90天牛 老本1天羊 新60天馬 老本從這個結(jié)論看出，每天新的增長量，正好被羊吃掉，牛和馬一起吃原有量。牛90天吃掉原有量，馬60天吃掉原有量。假設原有量為180份，牛每天吃：180902(份)，馬每天吃：180603(份)，牛和馬一起吃需要：180(2+3)36(天)?！敬鸢浮?6天。46、【學案3】畫展9點開門，但早有人來排隊入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3個入場

37、口，9點9分就不再有人排隊；如果開5個入場口，9點5分就沒有人排隊。求第一個觀眾到達的時間?！倦y度級別】【解題思路】設1個入場口1分鐘進人1份。3入場口9分鐘：3927； 5入場口5分鐘：5525。每分鐘的增長量：(27-25)(9-5)=0.5(份)9點時的原有量：27-90.522.5(份)這個原有量需要的時間為：22.50.545(分鐘)。9點45分鐘8點15分?！敬鸢浮?點15分。47、【學案4】三塊牧場，場上的草長得一樣密，而且長得一樣快，它們的面積分別是3公頃、10公頃和24公頃。第一塊牧場飼養(yǎng)12頭牛，可以維持4周；第二塊牧場飼養(yǎng)25頭牛，可以維持8周。問第三塊牧場上飼養(yǎng)多少頭牛

38、恰好可以維持18周？【難度級別】【解題思路】同例7。3/10/24的最大公約數(shù)是1，縮倍。擴倍也可以做，擴倍做法參見作業(yè)8。3公頃12牛4周 1公頃4牛4周10公頃25牛8周1公頃2.5牛8周設1牛1周吃1份草。1公頃增長量：(2.58-44)(8-4)=1(份/周)1公頃原有量：44-14=12(份)那么，24公頃增長量：124=24(份/周)24公頃原有量：1224=288(份)28818+24=16+24=40(頭)【答案】40頭。48、【作業(yè)8】有三塊草地，面積分別為4公頃、8公頃和10公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二塊草地可供36頭牛吃12周

39、。問：第三塊草地可供50頭牛吃幾周？【難度級別】【解題思路】同例7和學案4?？戳颂m海老師的視頻講題，明白了，擴倍和縮倍都是可以的，擴倍找最小公倍數(shù)，縮倍找最大公約數(shù)（縮倍不一定非得縮成1，如本題作業(yè)8的4/8/10最大公約數(shù)是2，就可以縮為2公頃）。關鍵看給出的3個數(shù)，如：例題7的5/15/24，最大公約數(shù)就是1，最小公倍數(shù)120，擴倍計算數(shù)比較大；學案4的3/10/24，最大公約數(shù)就是1，最小公倍數(shù)120，擴倍計算數(shù)比較大。注意：擴倍和縮倍時，只能變牛的頭數(shù)，時間不能變。方法一，縮倍，4/8/10的最大公約數(shù)是2，縮為2，當然縮成1也可以4公頃24牛6周 2公頃12牛6周8公頃36牛12周2

40、公頃9牛12周設1牛1周吃1份草。2公頃增長量：(912-126)(12-6)=6(份/周)2公頃原有量：126-66=36(份)那么，10公頃增長量：65=30(份/周)10公頃原有量：365=180(份)50頭牛，30頭吃增長量，20頭吃原有量，180(50-30)=9(周)。方法二，擴倍，4/8/10的最小公倍數(shù)是404公頃24牛6周 40公頃240牛6周8公頃36牛12周40公頃180牛12周設1牛1周吃1份草。40公頃增長量：(18012-2406)(12-6)=120(份/周)40公頃原有量：2406-1206=720(份)那么，10公頃增長量：1204=30(份/周)10公頃原有

41、量：7204=180(份)50頭牛，30頭吃增長量，20頭吃原有量，180(50-30)=9(周)?！敬鸢浮?。第五講 染色與覆蓋1、 染色的目的：標記(給每個格做記號)區(qū)分(產(chǎn)生差異)2、 鄰座問題：數(shù)量矛盾3、 路徑問題：數(shù)量矛盾、奇偶矛盾4、 覆蓋問題：數(shù)量矛盾、奇偶矛盾5、 鄰格加減問題：差不變以上為老師的老師的總結(jié)，本講給出的例題、學案、作業(yè)涉及到第二第四的這幾大類問題，做題時染色的目的一定要牢記，染色僅僅是為了標記或者區(qū)分。我總結(jié)一下：本講大致分為兩大類：一是染色、二是覆蓋。裁剪或者拼裝歸為覆蓋（覆蓋需要輔助以染色，也可以稱為：染色+覆蓋），其他為純?nèi)旧??！凹內(nèi)旧迸c“染色+覆蓋”

42、的區(qū)別：“純?nèi)旧敝挥心繕藞D形染色，“染色+覆蓋”除了目標圖形染色外，用于覆蓋的小基本圖形也要染色。簡單說：覆蓋基本、目標都要染。例4，雖然只給了一個目標圖，但是此題需要考慮一個12的基本塊，用這個基本塊去覆蓋目標圖，黑白染色就可以找出黑白數(shù)量矛盾，此題不是“純?nèi)旧眴栴}，而是“覆蓋”問題。染色的目的是標記和區(qū)分?！皹擞洝焙美斫?，一般兩種情況（黑、白）就可以了?！皡^(qū)分”復雜一點，先考慮黑白染色，再考慮多色染色（3色4色等），最后考慮條形染色，當然還有一些特殊的染色(如“2黑2白”相間染色),這個順序恰好就是我們解題時的思考順序。由基本塊進行覆蓋，到底使用哪一種染色方法，關鍵看基本塊的形狀，詳見

43、本講最后的總結(jié)。本講有“構(gòu)造與論證”的思維，也就是說，“不能”需要證明，“能”給出一個實例即可，證明可以采用“反證法”的書寫步驟，也可以正向說明。從染色方法的不同，分類如下：一、 黑白染色：例5、補充1；二、 多色染色：例6、學案3；三、 條形染色：例7、補充2；四、 其他染色：補充3。給出的這些題目只是難度大一點的，并沒有把所有題目都整理。另外，染色也有對點進行染色的，我匯總的題目中沒有，但是例題和作業(yè)中是有的。一、黑白染色51、【例5】如圖有5個由4個11的小正方形組成的不同形狀的硬紙板。問能用這5個硬紙板拼成圖中的45的長方形嗎？如能，請畫出一種拼法；如不能，請簡述理由?！倦y度級別】【解

44、題思路】覆蓋問題，用黑白染色可以找出基本塊的黑白數(shù)量不等，數(shù)量矛盾。基本塊，除了“凸”以外都是“2黑2白”，黑白數(shù)量是一樣的，但是“凸”塊是“3黑1白”或者“3白1黑”，黑白數(shù)量不一樣，所以5個基本塊的黑白總數(shù)量是不一樣的（11黑9白，或9黑11白，可以不用算，知道不一樣即可）。但是，目標圖形是“10黑10白”，黑白數(shù)量是一樣的。5個基本塊無法拼成目標圖?！敬鸢浮坎荒堋?2、【補充1】由1個“田”字塊和15個“凸”字塊，能否拼成88的圖？【難度級別】【解題思路】覆蓋問題，黑白染色，考察基本塊的黑白數(shù)量的奇偶性，奇偶矛盾。14+15464，8864，數(shù)量是相等的。1個“田”字塊“2黑2白”，黑的

45、數(shù)量是偶數(shù)?！巴埂弊謮K是“3黑1白”或者“3白1黑”，黑的數(shù)量為奇數(shù)，15個奇數(shù)相加仍然是奇數(shù)。所以1個“田”字塊和15“凸”字塊黑的總數(shù)量為“偶數(shù)+奇數(shù)”“奇數(shù)”。但是，目標圖形是“32黑32白”，黑的數(shù)量是偶數(shù)。基本塊與目標塊，黑的數(shù)量的奇偶性矛盾，所以不能拼成。當然白的奇偶性也是矛盾的?！敬鸢浮坎荒?。53、【例8】下表中，有公共邊的兩格內(nèi)的數(shù)同時加上1或同時減去1叫做一次操作。經(jīng)過有限次操作后由做表變?yōu)橛冶?，那么右表中A處的數(shù)是_?！倦y度級別】【解題思路】這是老師說的“鄰格加減問題，差不變”，實際也是個“純?nèi)旧眴栴}，從條件“有公共邊的兩格同加或同減”想到了黑白染色。左表，黑格數(shù)字和5，

46、白格數(shù)字和0，黑格數(shù)字和白格數(shù)字和5。右表，黑格數(shù)字和20104+A，白格數(shù)字和20104，黑格數(shù)字和白格數(shù)字和20104+A20104。有公共邊的兩格就是黑白格，根據(jù)“同加1同減1”的規(guī)則，多次操作后“黑格數(shù)字和白格數(shù)字和”不會發(fā)生變化，所以：20104+A201045。即：A5?！敬鸢浮?。二、多色染色54、【學案3】在88的國際象棋棋盤上有一枚棋子。它每一步只能向上、向右或向左下方走一步，如圖。那么它能否從棋盤的左下角出發(fā)，走遍所有格，并且每個方格恰好走一次呢？【難度級別】【解題思路】“純?nèi)旧眴栴}，3色染色，數(shù)量矛盾。從題目給出的走法“向上、向右或向左下方走一步”，這3個方向是同一個顏

47、色，無論往哪個方向走下一步的顏色都是相同的，并且下一步變色了。左下角第1個位置是灰色，下一步第2個位置是白色，再下一步第3個位置是黑色，走棋按照“灰、白、黑”的順序循環(huán)，3步一循環(huán)。8864，643211，余數(shù)為1，第64個位置為“灰”，所以“灰”22個、“白”21個、“黑”21個。但是，棋盤上實際有：“灰”21個、“白”22個、“黑”21個。所以，不能走遍所有格并且恰好每格走一次。本題是題目給出了染色方法，如果沒有給出，是需要自己思考的，其實這個才是本題應該掌握的難點。為什么需要3色呢？按照下面的思路考慮。左上角第1格是“白”第2格是“黑”，第2格的下一步可以往右、左下走，那么“黑”的右邊和

48、左下要同色，如果只用黑白2色，顯然右邊可以白色，但是左下白色就和上面的第1格白色相同了，所以“黑”的右邊和左下需要第3種顏色（假設是灰），第1行按照“白、黑、灰”從左往右染色。那么第2行以哪種顏色開始呢？從上一段的描述中就知道了，第1行的第2格是黑第3格是灰，黑的左下（第2行第1格）和右面（第1行第3格）顏色相同，所以左下（第2行第1格）是灰。第2行的右邊繼續(xù)按照“白、黑、灰”從左往右染色。同理得出，第3行以黑開始。以上染色過程完全滿足題目給定的條件要求，染色后，驗證可知?！敬鸢浮坎荒?。55、【例6】用9個14的長方形能否拼成一個66的正方形？請說明理由?！倦y度級別】【解題思路】覆蓋問題，4色

49、染色，數(shù)量矛盾。此題，先思考黑白染色，因14的長方形黑白染色后，2黑2白，數(shù)量和奇偶性上都無法找出矛盾。所以考慮用多色染色，為什么呢？因為黑白2色無法準確“區(qū)分”14的4個格，使用4色來“區(qū)分”?！巴埂笨梢杂煤诎讌^(qū)分，14的長條無法用黑白區(qū)分。用數(shù)字表示顏色，如圖：9個基本塊，1、2、3、4四種顏色各有9個。但66的正方形中有1、2、3、4四種顏色分別為：9個、10個、9個、8個。所以，無法用9個14的長條來拼成66的正方形?！敬鸢浮坎荒堋Ｈ?、條形染色56、【例7】能不能用15個如圖所示的“L”型和1個“田”字型紙板，拼成一個88的棋盤？【難度級別】【解題思路】覆蓋問題，條形染色，奇偶矛盾。本

50、題，“L”型、“田”字型，使用黑白染色，都是2黑2白，沒有數(shù)量矛盾，也沒有奇偶矛盾；“L”型、“田”型，這2種形狀不太好使用多色染色；本題采用條形染色。其實本題的條形染色是黑白染色的變形，第2行黑白和第1行黑白上下不是相間的，而是上下對齊的?！疤铩弊中捅囟ㄉw住2黑2白?！癓”型可能蓋住3黑1白，也可能蓋住1白3黑（無論橫著放還是豎著放），黑為奇數(shù)，15個“L”型，15個奇數(shù)相加仍然是奇數(shù)，再加上1個“田”字型的2黑。仍為奇數(shù)，黑的總數(shù)量為奇數(shù)。但是，88的棋盤上，黑色數(shù)量為32，是偶數(shù)，奇偶性矛盾，不能拼成?！敬鸢浮坎荒?。57、【補充2】用若干個22、33能不能拼成一個1111的正方形？【難度

51、級別】【解題思路】1111121，是個奇數(shù)，染色后1111的目標圖中黑或者白的總數(shù)總有一個是奇數(shù)。而采用“1黑1白”的條形染色，22塊肯定是2黑2白，黑白數(shù)量都是偶數(shù)，關鍵看33塊，33塊有可能黑的數(shù)量是奇數(shù)（3黑6白）也有可能白的數(shù)量是奇數(shù)（3白6黑），無法區(qū)分。本題采用“2黑1白”的條形染色，33基本塊的黑色總數(shù)與1111的目標圖會出現(xiàn)奇偶性矛盾。22，放到大正方形中，函蓋“2黑2白”或者“4黑”，黑的數(shù)量是偶數(shù)。33，放到大正方形中，函蓋“6黑3白”，黑的數(shù)量是偶數(shù)。偶數(shù)+偶數(shù)偶數(shù)，所以這2種基本塊，無論多少塊，黑總數(shù)一定是偶數(shù)。但是，1111的正方形中，黑的總數(shù)是：11777，是個奇數(shù)

52、，與上面黑的總數(shù)是偶數(shù)矛盾，所以不能拼成?！敬鸢浮坎荒?。四、其他染色58、【補充3】用1個“田”、15個14長條，能否拼成一個88的正方形？【難度級別】【解題思路】例7“田”+“L”，使用條形染色，但是本題使用條形染色，就無法區(qū)分。當然，使用簡單的黑白染色也是無法區(qū)分的。那么，使用4色染色是否可以呢？也不可以，因為使用4色，14長條和22方塊可以使用4色染色，但是目標圖88的正方形沒有辦法使用4色來染，不知道是按照長條的“1、2、3、4”的順序排，還是按照方塊的“上行1、2，下行3、4”的順序來排。本題采用“2黑2白”的黑白相間染色，每個“田”的黑白數(shù)量不同，導致黑的總數(shù)奇偶矛盾，這是本題的思路關鍵點。14長條，放到大正方形中，無論橫著放還是豎著放，都會函蓋“2黑2白”，黑白數(shù)量一樣，都是偶數(shù)。“田”字型塊，放到大正方形中，函蓋“3黑1