1、第一部分 資產(chǎn)定價理論,第四章 折現(xiàn)因子,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,2,本章要點,本章要討論的問題是：“一個折現(xiàn)因子剛好是某個隨機變量，它由償付生成價格， p=E(mx). 這個表達式意味著什么？是否總能求得這樣的折現(xiàn)因子？” 兩條定理：1. 存在折現(xiàn)因子使所有償付可用 p=E(mx) 定價當(dāng)且僅當(dāng)單一價格法則成立。2.存在正折現(xiàn)因子使所有償付可用 p=E(mx) 定價當(dāng)且僅當(dāng)無套利機會。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,3,4.1 單一價格法則和折現(xiàn)因子的存在性,單一價格法則的定義：價格是線性函數(shù)。 單一價格法則等價于折現(xiàn)因子存在。 討論的框架是不完全（未定權(quán)益）市

2、場。 定義償付空間 X，其含義是所有可交易的償付。它是 S 維空間的一個線性子空間。即它滿足 (A1) (自由組合形成),資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,4,單一價格法則,(A2) (單一價格法則，線性性) 定理：給定自由組合形成 A1 和單一價格法則 A2, 存在唯一的償付 ，使得 對于所有 成立。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,5,幾何證明,X 是償付空間的一個線性子空間。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,6,幾何證明（續(xù)）,價格為常數(shù)的集合是償付空間中的一個超平面。 超平面的法向量就可形成 x*.,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,7,代數(shù)證明,我

3、們把 X 看作由 N 個 S 維向量 張成的向量空間。它們的價格為 N 維向量 償付空間中的元素都可用這 N 個向量的線性組合來表示：,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,8,代數(shù)證明（續(xù)）,所求 x* 也有同樣的形式，從而它滿足 由此得到 這里可要求方陣 可逆。從而 。這個x* 滿足下列要求：,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,9,定理說了什么和沒說什么？,定理說 x* 在 X 中是唯一的，但是沒有說m 是唯一的。當(dāng) X 不是 S 維空間（完全市場）時，滿足條件的 m=x*+ 有無限多個，其中 與 X 正交。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,10,定理說了什么和沒說什

4、么？（續(xù)）,“x* 是任何隨機折現(xiàn)因子 m 在償付空間 X 上的射影。這是一個非常重要的事實：任何折現(xiàn)因子 m 對于償付集 X 的定價含義都與 m 在 X 上的射影的定價含義是一樣的?！?代數(shù)上，,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,11,定理說了什么和沒說什么？（續(xù)）,“上面，我們從投資者或未定權(quán)益市場出發(fā)，導(dǎo)出了折現(xiàn)因子。p=E(mx) 蘊含定價函數(shù)的線性性，以至的單一價格法則，這是在這些狀況下的一條非常鮮明的陳述。這里，我們反方向工作。市場是不完全的，其中未定權(quán)益對某些自然狀態(tài)而言是不可采納的。我們發(fā)現(xiàn)單一價格法則蘊含一個線性定價函數(shù)，而線性定價函數(shù)蘊含至少存在一個折現(xiàn)因子。”,資

5、產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,12,定理說了什么和沒說什么？（續(xù)）,“我們允許任意的組合形成，以及某種完全性對于結(jié)果來說是重要的。如果一個投資者不能形成一個組合 ax+by, 他們不能夠強求這個組合的價格等于它的組成成分的價格。單一價格法則不是兼蓄并收的；它是一個關(guān)于偏好的假定，盡管它很弱。定理的要點在于，正是關(guān)于偏好的足夠多的信息，來導(dǎo)出折現(xiàn)因子的存在?！?資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,13,4.2 無套利和正折現(xiàn)因子,無套利的定義：正償付蘊含正價格。存在嚴(yán)格正折現(xiàn)因子 m 使得 p=E(mx) 當(dāng)且僅當(dāng)無套利機會。 具體地說，償付空間 X 和定價函數(shù) p(x) 無套利

6、機會是指每個滿足總 (幾乎肯定)非負(fù)(x0)、而又以正概率為正 (x0) 的償付 x 總有正價格 p(x)0. 注意套利的含義，大多數(shù)人把套利理解為單一價格法則不成立。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,14,基本定理,定理 1：p=E(mx) 和 m(s)0 蘊含無套利。 這一定理的證明非常簡單。 定理 2：無套利蘊含存在嚴(yán)格正的折現(xiàn)因子 m0, 使得 p=E(mx) xX. 這一定理在完全市場情形的證明很簡單，但是對于不完全市場，證明很困難。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,15,無套利蘊含 m0 的反例,如果m0 不成立，那么如圖可以看出套利的存在。,資產(chǎn)定價 Asse

7、t Pricing 4,16,完全市場時的定理 2 的證明,無套利蘊含單一價格法則，故存在 x* 使得 p=E(x*x), 并且在完全市場中它是唯一的。假設(shè)對于某些狀態(tài) x*0. 那么對于在這些狀態(tài)上為一，其他狀態(tài)為零的償付 x 是嚴(yán)格正的。但是它的價格 是負(fù)的。與無套利矛盾。 也可由 Arrow-Debreu 證券的價格都是正的來證明。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,17,不完全市場時的定理 2 的證明,這時需要從 m=x*+中選取特殊的 。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,18,不完全市場時的定理 2 的證明（續(xù)）,令 這是 中的線性子空間。由無套利假設(shè)，它與 只相交

8、于0點。（由凸集分離定理）存在線性函數(shù) ，使得 對于這個 F，存在 ，使得 由此可得 m 必須是正的。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,19,定理說了什么和沒說什么？,定理說折現(xiàn)因子 m0 存在，但并沒有說 m0 是唯一的。 定理說折現(xiàn)因子 m0 存在，但并沒有說 每個折現(xiàn)因子 m 都是正的。 定理表明，我們可以把任何定義在 X 上的定價函數(shù)延拓到整個 ，并且仍然沒有任何套利機會。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,20,定理說了什么和沒說什么？（續(xù)）,嚴(yán)格正的折現(xiàn)因子可想象為可能的未定權(quán)益（Arrow-Debreu 證券）的價格。 一個觀察到的價格和償付的不完全集合是否可能由某個完全市場，未定權(quán)益經(jīng)濟來生成？答案是肯定的，尤其是其中還可保持無套利性。這樣的完全市場和定價函數(shù)有無限多個。 無套利是另一個偏好和市場均衡的非常弱的特征。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,21,4.3 一個取代公式,前面公式中的 是一個二階矩矩陣。對實際應(yīng)用來說，更好的是取協(xié)方差矩陣。由此可得 其中 這只需注意到 但是對這個和求逆不太方便。,資產(chǎn)定價 Asset Pricing 4,22,怎樣求 x*?,這樣 x* 就可看作償付的震蕩的線性函數(shù)： 再由 可解得 如果無風(fēng)險利率可交易，則 一般情況