1、第1講 數學建模與數學建模競賽,一、什么是數學建模（兩個引例） 二、什么是數學建模競賽（數學建模競賽簡介） 三、教學目的與要求 四、數學模型與建模舉例,1. 三塊鋼板的啟示-美國空軍流傳的故事,二戰(zhàn)期間，在美國空軍中，流傳過3塊鋼板的故事。第一塊鋼板的故事，是運輸機飛行員講的。在飛越駝峰航線，支援中國抗戰(zhàn)時，美軍的運輸機隊常常遭到日軍戰(zhàn)斗機的偷襲。C47運輸機只有一層鋁皮，子彈常常穿透飛行員座椅，奪去飛行員的生命。情急之下，一些美軍飛行員在座椅背后焊上一塊鋼板?？恐@塊鋼板，他們保住了自己的性命。,一、什么是數學建模（兩個引例）,第二塊鋼板的故事，來自一位將軍。 諾曼底登陸時，美軍101空降師

2、副師長唐普拉特準將乘坐的是滑翔機。起飛前，有人自作聰明，在副師長的座位下，裝上厚厚的鋼板，用來防彈。由于滑翔機自身沒有動力，與牽引的運輸機脫鉤后，必須保持平衡滑翔降落，沉重的鋼板卻讓滑翔機頭重腳輕，一頭扎向地面，普拉特準將成為美軍在當天陣亡的唯一將領。,第三塊鋼板的故事，來自一位數學家。 二戰(zhàn)后期，美軍對德國和日本法西斯展開大規(guī)模戰(zhàn)略轟炸，每天都有成千架轟炸機呼嘯而去，返回時，往往損失慘重。對此，美國空軍十分頭疼：如果降低損失，就要往飛機上焊防彈鋼板；如果整個飛機都焊上鋼板，速度、航程、載彈量等都要受到影響。 怎么辦呢？空軍請來了數學家亞伯拉罕沃爾德。沃爾德的方法十分簡單。他把統(tǒng)計表發(fā)給地勤技

3、師，讓他們把飛機上彈洞的位置報上來，然后，鋪開一張大白紙，畫出飛機的輪廓，再把那些小窟窿一個一個地添上去。畫完后，大家一看，飛機渾身上下都是窟窿，只有飛行員座艙和尾翼兩個地方，幾乎是空白。 沃爾德告訴大家，明顯違反規(guī)律的地方，往往就是問題的關鍵點。飛行員們一看就明白了，如果座艙中彈，飛行員就完了；尾翼中彈，飛機失去平衡，就會墜落這兩處中彈，轟炸機多半回不來，難怪統(tǒng)計數據是一片空白。 因此，結論很簡單：只給這兩個部位焊上鋼板。,第一塊鋼板是機智的飛行員用它挽救了自己的生命。第二塊鋼板則是教訓，它是用寶貴的生命換來的。第三塊鋼板是升華，用科學的方法，從實戰(zhàn)經驗中提煉出規(guī)律，這塊講科學的鋼板，挽救了

4、眾多飛行員的生命。,通常，1公斤面， 1公斤餡，包100個湯圓（餃子）,今天，1公斤面不變，餡比 1公斤多了，問應多包幾個（小一些），還是少包幾個（大一些）？,問題,圓面積為S的一個皮，包成體積為V的湯圓, 若分成n個皮，每個圓面積為s，包成體積為v,V和 nv 哪個大?,定性分析,V比 nv大多少?,定量分析,2. 包元宵（餃子）中的數學,假設,1. 皮的厚度一樣,2. 湯圓(餃子) 的形狀一樣,模型,應用,若100個湯圓（餃子）包1公斤餡, 則50個湯圓(餃子) 可以包 公斤餡,R 大皮 半徑,V是 nv是 倍,1.4,r 小皮半徑,數學模型 (Mathematical Model) 和

5、數學建模（Mathematical Modeling),對于一個現實對象，為了一個特定目的， 根據其內在規(guī)律，作出必要的簡化假設， 運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。,建立數學模型的全過程 （包括表述、求解、解釋、檢驗等）,數學模型,數學建模,什么是數學建模,數學建模是指對現實世界的某一特定對象,為了某特定目的,做出一些必要的簡化和假設,運用適當的數學工具得到一個數學結構,用它來解釋特定現象的現實性態(tài),預測對象的未來狀況,提供處理對象的優(yōu)化決策和控制,設計滿足某種需要的產品等。我們把數學知識的這一應用過程稱為數學建模。一般來說數學建模過程可用如下框圖來表明：,二、什么是數學建模競賽,大學

6、生數學建模競賽自1985年由美國開始舉辦，競賽以三名學生組成一個隊，賽前有指導教師培訓。賽題來源于實際問題。比賽時要求就選定的賽題每個隊在連續(xù)三天的時間里寫出論文，它包括： 問題的適當闡述； 合理的假設； 模型的分析、建立、求解、驗證； 結果的分析； 模型優(yōu)缺點討論等。 數學建模競賽宗旨是鼓勵大學師生對范圍并不固定的各種實際問題予以闡明、分析并提出解法，通過這樣一種方式鼓勵師生積極參與并強調實現完整的模型構造的過程。以競賽的方式培養(yǎng)學生應用數學進行分析、推理、證明和計算的能力；用數學語言表達實際問題及用普通人能理解的語言表達數學結果的能力；應用計算機及相應數學軟件的能力；獨立查找文獻，自學的能

7、力，組織、協調、管理的能力；創(chuàng)造力、想象力、聯想力和洞察力。他還可以培養(yǎng)學生不怕吃苦、敢于戰(zhàn)勝困難的堅強意志，培養(yǎng)自律、團結的優(yōu)秀品質，培養(yǎng)正確的數學觀。這項賽事自誕生起就引起了越來越多的關注，逐漸有其他國家的高校參加。,1、數學建模競賽的源起,2、我國數學建模競賽的發(fā)展歷史,1992年起步，發(fā)展迅速 我國自1989年起陸續(xù)有高校參加美國大學生數學建模競賽。 首屆大學生數學建模競賽是1992年由中國工業(yè)與應用數學學會在全國10個城市舉辦的，有79所院校的314隊參加。這項活動既受到廣大同學的熱烈歡迎，也引起教育行政部門的高度重視。1993年和1994年當時的國家教委高教司兩次發(fā)出文件，決定從1

8、994年起與中國工業(yè)與應用數學學會共同主辦這項競賽，組成了全國競賽組委會，擬定了競賽章程。在各級教育行政部門、教師的組織、關心和支持下，廣大同學積極參與，競賽發(fā)展得十分迅速，規(guī)模以每年平均大約30%的速度增加。下表是1992年至1999年參賽的?。ㄊ?、自治區(qū)）、院校和隊數。,規(guī)模最大的課外科技活動 數學建模競賽已成為國家教育部組織的全國大學生四項學科競賽之一。目前參賽的院校中不僅有所有的全國重點大學、各大城市的知名院校，也有不少邊遠地區(qū)的地方學校。不僅有眾多的理工科院校和綜合大學，也有不少經濟管理、農林醫(yī)藥、軍事和師范院校。不論是參加的省區(qū)、學校的數目，還是參賽的隊數、人數，都是目前全國規(guī)模最

9、大的課外科技活動。,4、中國大學生數學建模競賽歷程,1989.2.2426 我國大學生（北京大學、清華大學、北京理工大學共4個隊）首次參加美國大學生數學建模競賽，自此每年我國都有同學參加這項競賽。 1990.12.79 上海市舉辦大學生（數學類）數學模型競賽，這是我國省、市級首次舉辦數學建模競賽。 1993.10.1517 1993年全國大學生數學建模競賽舉行，16?。ㄊ校?01所院校的420隊參加。,據統(tǒng)計，數學建模進行了18屆，規(guī)模每年都以平均的增長速度增長，有的賽區(qū)20%、有的40%，平均在25%，而且參賽隊伍壯大了十倍。 2009 年全國有33個省/市/自治區(qū)(包括香港和澳門特區(qū))11

10、37所院校、15042個隊（其中本科組12272隊、?？平M2770隊）、4萬5千多名來自各個專業(yè)的大學生參加競賽，是歷年來參賽人數最多的(其中西藏和澳門是首次參賽)！。,專家題詞,搞好數學建模競賽，造就大批應用數學人才，為振興中華而努力。中國科學院曾慶存院士題 “工欲善其事，必先利其器”。數學模型和數學技術就是現代的“器”。 中國科學院谷超豪院士題 建模與計算已成為科技工作中的關鍵工具。希望更多的大學生參加數學建模競賽活動。 中國科學院周毓麟院士題 國際計算機界最高獎Turing獎的獲得者均有很好的數學基礎，信息技術的發(fā)展很大程度上依賴數學方法。建模競賽有助于發(fā)現和造就一批優(yōu)秀人才。 中國科學

11、院、中國工程院院士王選題詞,專家題詞,數學之為用，模型立奇功。競賽促教改，建設新學風。 中國科學院姜伯駒院士題 開展數學建?；顒?，擴大數學應用范圍。 中國科學院張恭慶院士題 創(chuàng)建數學模型，解決實際問題，拓廣數學的應用，促進數學科學的發(fā)展。 中國科學院馬志明院士題 啟迪智慧，拓寬視野，開展數學建模活動。 中國科學院顧秉林院士題 數學建?；顒訉ε囵B(yǎng)同學的競爭意識、創(chuàng)新意識和創(chuàng)造精神是大有裨益的。望同學們奮力拼搏更上一層樓。 中國科學院唐明述院士題,*開放性思維的訓練園地,數學競賽給人的印象是高深莫測的數學難題，和一個人、一支筆、一張紙，關在屋子里的冥思苦想，它訓練嚴密的邏輯推理和準確的計算能力，而

12、 數學建模競賽從內容到形式與此都有明顯的不同。 數學建模競賽的題目由日常生活、工程技術和管理科學中的實際問題簡化加工而成，大家可以從網上看到歷年的賽題，它們對數學知識要求不深，一般沒有事先設定的標準答案，但留有充分余地供參賽者發(fā)揮其聰明才智和創(chuàng)造精神。,4、 數學建模競賽的形式,數學建模競賽以通訊形式進行。 三名大學生組成一隊，可自由地收集資料、調查研究，使用計算機和任何軟件，甚至上網查詢，但不得與隊外任何人討論。 時間：三天。完成一篇包括模型的假設、建立和求解，計算方法的設計和計算機實現，結果的分析和檢驗，模型的改進等方面的論文。 競賽評獎以假設的合理性、建模的創(chuàng)造性、結果的正確性和文字表述

13、的清晰程度為主要標準。 可以看出，這項競賽與學生畢業(yè)以后工作時的條件非常相近，是對學生業(yè)務、能力和素質的全面培養(yǎng)，特別是開放性思維和創(chuàng)新意識。,5、 怎樣參加數學建模競賽,競賽是由教育部高教司和中國工業(yè)與應用數學學會共同主辦的，每年9月中下旬舉行。競賽面向全國大專院校的學生，不分專業(yè)。 我校有志參加數學建模的同學可以自愿報名，經過學習和培訓一般都能參加數學建模競賽。,6、數模競賽須具備的知識,數學知識 1、高等數學 2、線性代數 3、概率論與數理統(tǒng)計 4、最優(yōu)化理論 5、圖論 6、組合數學 7、微分方程穩(wěn)定性分析 8、排隊論 計算機知識 1、綜合類： Matlab, Mathematic 2、

14、統(tǒng)計類：Spss, SAS, Statistics 3、最優(yōu)解：Lindo, Lingo 4、科技學術論文排版,7、數學建模競賽的信息和資料,網站信息： 1、(國內數學建模競賽)或 / 2. （國際數學建模競賽）,8、數 學 建 模 的 重 要 意 義,計算機技術和數學軟件的迅速發(fā)展，為數學建模的應用提供了強有力的工具;,數學迅速進入一些諸如經濟、生態(tài)、人口、地質等領域，為數學建模開拓了許多新的領地.,1、提高綜合利用所學的各項數學知識的能力。 2、培養(yǎng)同學們的洞察能力、數學語言翻譯能力、綜合應用分析能力、聯想能力和各種當代科技最新成果的使用能力。 3、為將來的工作和學習打下堅實的基礎。,數學

15、建模實踐的每一步中都 蘊含著能力上的鍛煉，在調查研究階段，需 要用到觀察能力、分析能力和數據處理能力等。在提出假設時，又需要用到 想象力和歸納 簡化能力。 在真正開始自己的研究之前，還應當盡可能先了解一下前人或別人的工作，使自己的工作成為別人研究工作的繼續(xù)而不是別人工作的重復，你可以把某些已知的研究結果用作你的假設，去探索新的奧秘。因此我們還應當學會在盡可能短的時間內查到并學會我想應用的知識的本領。 還需要你多少要有點創(chuàng)新的能力。這種能力不是生來就有的，建模實踐就為你提供了一個培養(yǎng)創(chuàng)新能力的機會。,9、數學建模與能力的培養(yǎng),綜合運用學過的數學知識和計算機技術(選擇、使用合適的數學軟件)通過數學

16、建模分析、解決實際問題的能力,面對復雜事物的想象力、洞察力、創(chuàng)造力和獨立進行科學研究的能力,關心國家建設的意識和理論聯系實際的學風,團結合作精神和進行協調的組織能力,誠信意識和自律精神,在圖書室及互聯網上查閱文獻、收集資料及撰寫科技論文的文字表達能力,數學建模競賽培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神，提高學生綜合素質,美國大學生數學建模競賽(MCM),1985年開始：MCM，每年2月；COMAP舉辦，SIAM、INFORMS、MAA等支持,我國大學生1989年（清華等）開始每年都參加，用英文答卷,2002年有11個國家（地區(qū)）522隊參賽，其中美國以外241隊（46%）； “國際競賽”-“中美聯賽”,1996年起

17、，復旦、中國科大、華東理工、清華、浙大、國防科大先后榮獲最高獎(Outstanding),每年賽題和優(yōu)秀答卷刊登于同年 UMAP第3期,1999年起又同時推出交叉學科競賽（Interdisciplinary Contest in Modeling ICM)， 2002年106隊參加,1938年開始：Putnam大學生數學競賽，每年12月，MAA舉辦,全國大學生數學建模競賽（CUMCM） China Undergraduates Mathematical Contest in Modeling,1992年由中國工業(yè)與應用數學學會(CSIAM)組織第一次競賽,1994年起由教育部高教司和CSIAM

18、共同舉辦，每年一次(9月),1993年全國大學生數學建模競賽只有100多所學校400多個隊參加,而2004年則有700所學校的6881多隊20000多學生參加- 全國高校中規(guī)模最大的課外科技活動,每年賽題和優(yōu)秀答卷刊登于次年“數學的實踐與認識”第1期；2001年起刊登于次年“工程數學學報”第1期,全國競賽組委會設在清華大學數學科學系（100084）,網址： 或 ,1992年由中國工業(yè)與應用數學學會(CSIAM)組織第一次競賽,1994年起由教育部高教司和CSIAM共同舉辦，每年一次(9月),全國大學生數學建模競賽 ,全國高校規(guī)模最大的課外科技活動,一項有意義的活動,學習數學當然要學習一些理論，

19、學習一些定理與概念，也要學習一些解題技巧。但更重要的是學到數學的思想方法，用以解決數學和數學以外的問題，特別是學會用數學來解決許多非數學的問題。 實際上，只有懂得數學廣泛的應用，并能用數學來解決多種多樣的問題，才能懂得數學本身，也才能懂得數學抽象的重要性，真正了解數學實際上是非常生動活潑的，也才能真正學好數學！ “高技術本質上是一種數學技術”！,近幾年全國大學生數學建模競賽題,近幾年全國大學生數學建模競賽題,數學建模的論文結構,1、摘要問題、模型、方法、結果 2、問題重述 3、模型假設 4、分析與建立模型 5、模型求解 6、模型檢驗 7、模型推廣 8、參考文獻 9、附錄,數學建模競賽組隊的方式

20、,盡可能地讓不同專業(yè)的學生組成一隊，以利學科交叉；,盡可能地讓能力、素質方面不同的學生（創(chuàng)新能力強的，認真踏實的，有組織能力的，文筆好的，）組成一隊，以利優(yōu)勢互補；,盡可能地讓學生在隊內充分磨合，達成默契，形成“領袖”。,CUMCM 宗旨,創(chuàng)新意識 團隊精神 重在參與 公平競爭,10、我校參加大學生數學建模競賽情況,我校從1999年參加全國大學省數學建模競賽，獲全國一等獎一項，二等獎五項，陜西賽區(qū)一、二、三等獎多項。 2001-2009獲獎情況,三、 教學目的與要求,1、培養(yǎng)學生解決實際問題的綜合能力。,1）“雙向翻譯”能力 2）運用數學思想進行綜合分析能力 3）結合其他專業(yè)特別是應用計算機解

21、決問題的能力 4）觀察力和想象力 5）提高撰寫科研論文的能力 6）團結協作的精神,2、 教學參考書,1 姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型(第三版).高等教育出版社. 2 沈繼紅等.數學建模.哈爾濱工程大學出版社. 3 周義倉,赫孝良.數學建模實驗.西安交通大學出版社. 4 劉來福,曾文藝.數學模型與數學建模.北京師范大學出版社. 5 陳義華.數學模型.重慶大學出版社.,3、 要求,通過學習要培養(yǎng)自己的應用數學的能力，特別是學習和思考、發(fā)現問題、分析問題的能力。 要求完成每次課后留的作業(yè)的同時，這們課要完成一個自己發(fā)現的實際問題的數學建模小論文。 參加校內數學建模競賽，其成績作為課程成績的一部分。

22、 如果有志參加全國大學生數學建模競賽，還應注意計算機編程和數學軟件使用能力的培養(yǎng)。,1 模型：是我們對所研究的客觀事物有關屬性的模擬，它應當具有事物中使我們感興趣的主要性質，模擬不一定是對實體的一種仿造，也可以是對某些基本屬性的抽象。,四、數學模型與建模舉例,直觀模型： 實物模型，主要追求外觀上的逼真。 物理模型：為一定目的根據相似原理構造的模型，不僅可以顯示原型的外形或某些特征，而且可以進行模擬試驗，間接地研究原型的某些規(guī)律。 思維模型，符號模型，數學模型。,2、數學模型： 1）近藤次郎（日）的定義：數學模型是將現象的特征或本質給以數學表述的數學關系式。它是模型的一種。 2）本德（美）的定義

23、：數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的簡化的數學結構。 3）姜啟源（中）的定義：是指對于現實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設，運用 適當的數學工具得到一個數學結構。,數學結構：是指數學符號、數學關系式、數學命題、圖形圖表等，這些基于數學思想與方法的數學問題。,總之，數學模型是對實際問題的一種抽象，基于數學理論和方法，用數學符號、數學關系式、數學命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物的本質屬性與其內在聯系。,古希臘時期：“數理是宇宙的基本原理” 文藝復興時期：應用數學來闡明現象“進行嘗試” 微積分法的產生，使得數學與世界密切聯系起來，用公式、圖表、符

24、號反映客觀世界越來越廣泛，越來越精確。,費馬（P.Fermal 1601-1665）用變分法表示 “光沿著所需時間最短的路徑前進” 牛頓（Newton 1642-1727）將力學法則用單純的數學式表達， 如，牛頓第二 定律：,結合開普勒三定律得出萬有引力定律,航行問題：,甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速、水速各多少？,用 分別代表船速、水速，可以列出方程,解方程組，得,答：船速、水速分別為20千米/小時、5千米/小時。,3、數學建模過程,表述,（歸納）,求解,（演繹）,解釋,驗證,現實對象與數學模型的關系,3.數學建模示例建模示例之一 椅

25、子的穩(wěn)定性問題,問題：將四條腿一樣長的正方形椅子放在不平的地面上，是否總能設法使它的四條腿同時著地，即放穩(wěn)。,假設 1）地面為光滑曲面； 2）相對地面的彎曲程度而言，椅子的腿是足夠長的； 3）只要有一點著地就視為已經著地，即將與地面的接 觸視為幾何上的點接觸； 4）椅子的中心不動。,x,y,A,A,B,B,C,C,D,D,O,2 建模分析,表示A,C與地面距離之和,表示B,D與地面距離之和,則由三點著地，有,不失一般性，設初始時：,假設： 是 的連續(xù)函數， 且 對任意 ， 求證：至少存在 ，使得,數學模型 數學命題：.,4 模型求解,證明： 將椅子轉動 ，對角線互換，由,可得,令,由 的連續(xù)性

26、， 根據介值定理，在 中至 少存在一點 ,使得 ,即,又,所以,結論：能放穩(wěn)。,連續(xù)函數的介值定理,o,x,y,a,b,思考題1：長方形的椅子會有同樣的性質嗎？,思考題1：長方形的椅子會有同樣的 性質嗎？,4、建立數學模型的方法和步驟,方法 機理分析法：以經典數學為工具，分析其內部的機理規(guī)律。,統(tǒng)計分析法：以隨機數學為基礎，經過對統(tǒng)計數據進行分 析，得到其內在的規(guī)律。 如：多元統(tǒng)計分析。,系統(tǒng)分析法：對復雜性問題或主觀性問題的研究方法。把 定性的思維和結論用定量的手段表示出來。 如：層次分析法。,建模步驟,1）模型準備： 了解問題的實際背景，明確建模目 的，掌握對象的各種信息如統(tǒng)計數據等，弄清

27、實際 對象的特征。 有時需查資料或到有關單位了解情況等。,建模步驟,2）模型假設：根據實際對象的特征和建模目的，對問 題進行必要地合理地簡化。不同的假設會得到不同的模型。如果假設過于簡單可能會導致模型的失敗或部分失敗，于是應該修改或補充假設，如“四足動物的體重問題”；如果假設過于詳細，試圖把復雜的實際現象的各個因素都考慮進去，可能會陷入困境，無法進行下一步工作。分清問題的主要方面和次要方面，抓主要因素，盡量將問題均勻化、線性化。,3）模型建立： 分清變量類型，恰當使用數學工具； 抓住問題的本質，簡化變量之間的關系； 要有嚴密的數學推理，模型本身要正確； 要有足夠的精確度。 4）模型求解：可以包

28、括解方程、畫圖形、證明定理 以及邏輯運算等。會用到傳統(tǒng)的和近代的數學方 法，計算機技 術（編程或軟件包）。特別地近似計 算方法（泰勒級數，三角級數，二項式展開、代數 近似、有效數字等）。,6）模型檢驗： 把模型分析的結果“翻譯”回到實 際對象中，用實際現象、數據等檢驗模型的合理性 和適應性檢驗結果有三種情況：符合好，不好，階 段性和部分性符合好。 7）模型應用：應用中可能發(fā)現新問題，需繼續(xù)完善。,5）模型分析：結果分析、數據分析。 變量之間的依賴關系或穩(wěn)定性態(tài)；數學預測；最優(yōu) 決策控制。,5、模型的分類,1）按變量的性質分：,2）按時間變化對模型的影響分,3）按模型的應用領域（或所屬學科）分

29、人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、 水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、 生物數學模型、醫(yī)學數學模型、地質數學模型、 數量經濟學模型、數學社會學模型等。,4）按建立模型的數學方法（或所屬數學分支）分 初等模型、幾何模型、線性代數模型、微分方程模型、 圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學模型等。,5）按建模目的分 描述性模型、分析模型、預報模型、優(yōu)化模型、 決策模型、控制模型等。,6）按對模型結構的了解程度分 白箱模型：其內在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等。 灰箱模型：其內在機理尚不十分清楚的現象和問題，包括生態(tài)、氣象、經濟、交通等。 黑箱模型：其內在機理（數量關系）很不清

30、楚的現象，如生命科學、社會科學等。,練習,1 某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點。為什么？,A,B,甲,乙,37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支 球隊中的勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結束。問共需進行多少場比賽？,一般思維：,逆向思維： 每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即 就是淘汰了36名球隊，因此比賽進行了36場。,3 某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達T市車站，它的妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半抵

31、達T市車站，隨即步行回家，它的妻子像往常一樣駕車前來，在半路上遇到他接回家時，發(fā)現比往常提前了10分鐘。問他步行了多長時間？,車站,家,5：30,相遇,早10鐘,5分鐘,5分鐘,6：00,5：55,共走了25分鐘。,甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人每天在隨機的時刻到達丙站，并搭乘最先經過丙站的那趟車，結果發(fā)現100天中約有90天到達甲站，僅約有10天到達乙站。問開往甲乙兩站的電車經過丙站的時刻表是如何安排的？,8:00,8:10,8:20,8:30,甲至乙,乙至甲,x,X-8:00=0:09 x=8:09,8:09,8:19,一男孩和一女孩分別在離家 2 km 和 1 km 且方向相反的兩所學校上學，每天同時放學后分別以4