1、2002年世界數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)標(biāo),1.3正方形的性質(zhì)與判定(二),菱形,矩形,平行四邊形,正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,角 ：四個(gè)角都是直角,圖形的對(duì)稱性：既是軸對(duì)稱圖形, 又是中心對(duì)稱圖形.,正方形的性質(zhì),一、課前自主學(xué)習(xí) 1、矩形的判定方法是 2、菱形的判定方法是,你覺得什么樣的四邊形是正方形呢?( 判斷一個(gè)四邊形是正方形有哪些方法？）,正方形的判定方法：,(可從平行四邊形、矩形、菱形為基礎(chǔ)）,定義法,對(duì)角線 相等,對(duì)角線垂直,四條邊相等，四個(gè)角都是直角,對(duì)角線互相垂直、平分且相等,以四邊形為基礎(chǔ)：,既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。,1、 叫正方形。 2、有 的矩

2、形是正方形。 3、對(duì)角線 的矩形叫正方形 4、有 的菱形是正方形。 5、對(duì)角線 的菱形叫正方形 6、有 ，有 的平行四邊形是正方形 7、對(duì)角線 的平行四邊形是正方形 8、對(duì)角線 的四邊形是正方形,正方形的判定,5種識(shí) 別方法,三個(gè)角是直角,四條邊相等,一個(gè)角是直角,或?qū)蔷€相等,一組鄰邊相等,或?qū)蔷€垂直,一組鄰邊相等,或?qū)蔷€垂直,一個(gè)角是直角,或?qū)蔷€相等,一個(gè)角是直角且一組鄰邊相等,平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié),做一做,現(xiàn)在請(qǐng)大家做一做這樣一個(gè)實(shí)驗(yàn)：將一張長方形紙對(duì)折兩次，然后剪下一個(gè)角，打開，怎樣剪才能剪出一個(gè)正方形？,例1：已知：如圖，在矩形abcd中，be平分 abc，

3、 ce平分 dcb，bfce，cf be. 求證:四邊形becf是正方形,證明: bfce，cf be 四邊形becf 是平行四邊形,be平分 abc, ce平分 dcb,四邊形abcd是矩形, abc=90, dcb =90, ebc=45, ecb =45, ebc= ecb, eb=ec, becf是菱形,在ebc中, ebc=45 , ecb =45,菱形becf是正方形, bec =90,(1)正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的 等腰直角三角形（ ） (2)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是正方形（ ） (3)如果一個(gè)菱形的對(duì)角線相等，那么它一定 是正方形 （ ） (4)如果一個(gè)矩

4、形的對(duì)角線互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (5)四條邊相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形 是正方形（ ）,快速反應(yīng),判斷題:,（6）正方形一定是矩形（ ） （7）正方形一定是菱形（ ） （8）菱形一定是正方形（ ） （9）矩形一定是正方形（ ） (10)正方形、矩形、菱形都是平行四邊形 （ ）,（12）正方形是軸對(duì)稱圖形,一共有2條對(duì)稱軸( ),(13)四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 ( ) (14)四條邊都相等的四邊形是正方形 ( ),1、下列命題正確的是（ ） a、四個(gè)角都相等的四邊形是正方形 b、四條邊都相等的四邊形是正方形 c、對(duì)角線相等的平行四邊形是正方形 d、對(duì)角線互相垂直的矩形

5、是正方形,d,選擇題:,2四個(gè)內(nèi)角都相等的四邊形一定是（ ） a、正方形 b、菱形 c、矩形 d平行四邊形,3在四邊形abcd中，o是對(duì)角線的交點(diǎn)，能判定這個(gè)四邊形是正 方形的是：（ ）aaobocodo，acbd badbc ac caocobodoabbc dacbd,c,a,5 四個(gè)內(nèi)角都相等，四條邊也都相等的四邊形一定是：（ ） a正方形 b菱形 c矩形 d平行四邊形,a,4. 已知在abcd中， a=90，如果添加一個(gè)條件，即可推出該四邊形是正方形，那么這個(gè)條件可以是（ ） ad=90 b.ab=cd c. ad=bc d. bc=cd,d,6、順次連結(jié)矩形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一

6、定是 （ ） 正方形 菱形矩形梯形,順次連結(jié)菱形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四國邊形,順次連結(jié)正方形的各邊中點(diǎn)，所得的四邊形一定是（ ） 正方形 菱形 矩形 平行四國邊形,b,c,a,以四邊形各邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)所組成的新四邊形的形狀與哪些線 段有關(guān)系？有怎樣的關(guān)系？,例2：已知：如圖(2)，點(diǎn)a、b、c、d分別是正方形abcd 的邊ab、bc、cd、da的中點(diǎn)，求證：四邊形abcd是正方形。,分析:你能先證明四邊形是矩形嗎？,應(yīng)用舉例：,1 已知：如圖點(diǎn)a 、 b 、 c、d分別是正方形abcd 四條邊上的點(diǎn)，并且aa=bb=cc=dd 求證：四邊形abcd是正方

7、形,、由已知正方形證三角形全等； 、證得菱形； 、再證直角； 、是正方形,證題思路分析,上一頁,例3:已知：如圖，在正方形abcd中，aa=bb=cc=dd 。 求證：四邊形abcd是正方形。,證明：四邊形abcd是正方形 ab=bc=cd=da,又aa=bb=cc=dd da=ab=bc=cd,a=b=c=d=90 aadbbaccbddc,四邊形abcd是菱形,又ada=bab， aad+ada=90 aad+bab=90 ,dab=180（aad+bab）=90 四邊形abcd是正方形。,思考題： 如圖正方形abcd的對(duì)角線相交于點(diǎn)o，o又是另一個(gè)正方形oefg的一個(gè)頂點(diǎn)，若正方形oef

8、g繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中.,探究二:若正方形oefg與正方形abcd兩邊分別相交于m n，試判斷線段am于bn之間的關(guān)系.,探究一:兩個(gè)正方形重疊部分的面積是否會(huì)發(fā)生變化？并說明理由。,探究四： 如圖，有兩個(gè)大小不等的兩個(gè)正 方形，其中小正方形的面積是大正方形面積的一半，若陰影部分的面積為8，則小正方形的邊長為多少？,探究三: 若正方形oefg繼續(xù)旋轉(zhuǎn)時(shí)，am 與 bn之間的關(guān)系是否還成立？,3、 直角三角形abc中，cd平分acb交ab于d，deac，dfab。求證：四邊形cedf是正方形。,四邊形abcd是正方形（ ), de=df( ),deac， dfbc, cd平分acb, 四邊形abcd為矩形( ),而acb=90, dec=90， dfc=90,證明： deac，dfab,有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形,角平分線的定理,有一組鄰邊相等的矩形是正方形,1、如圖，在ab上取一點(diǎn)c，以ac、bc為正方形的一邊在同一側(cè)作正方形aedc和bcfg連結(jié)af、bd延長bd交af于h。求證：(1) acfdcb (2) bhaf,練一練,2、如圖(6)，abc的外面作正方形abde和acfg，連結(jié)bg、ce，交點(diǎn)為n。求證：ceaabg