1、第七節(jié)數(shù)學歸納法一、選擇題(65分=30分)1.(2011懷化仿真)命題“n為正奇數(shù)時xn yn可以被x y除盡”用數(shù)學歸納法證明，在第2階段正確的證明法是()假設n=k(kN* )，證明n=k 1命題成立假設n=k(k為正奇數(shù))，證明n=k 1命題成立假設n=2k 1(kN* )，證明n=k 1命題成立假設n=k(k為正奇數(shù))，證明n=k 2命題成立分析：在a、b、c中，k 1不一定表示奇數(shù)，在d中僅k是奇數(shù)，k 2是奇數(shù)?；卮穑?d2 .在(2011鶴壁仿真)數(shù)學歸納法中，在證明了“11 1”的情況下，n=k(k1 )的不等式成立，在證明了n=k 1的情況下，左邊應增加的項目數(shù)是()A.2

2、k-1 B.2k-1戰(zhàn)斗機C.2k D.2k 1戰(zhàn)斗機分析：增加的項目數(shù)為(2k 1-1)-(2k-1)=2k 1-2k=2k回答： c3.(2011巢湖聯(lián)合試驗)對于不等式1，n=2時，左邊式等于()甲級聯(lián)賽c.1d.1分析： n=2時，左邊的公式為一=一?；卮穑?d6 .已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2an(n2 )通過以a1=1計算a2、a3、a4，得到an=()甲乙PS分析： Sn=n2an，Sn 1=(n 1)2an 1Sn 1-Sn=(n 1)2an 1-n2anan 1=(n 1)2an 1-n2an、8756； an 1=an(n2 )在n=2的情況下，S2=4a2和S2=a1

3、 a2a2=、a3=a2=、a4=a3=a1=1，a2=，a3=，a4=，an=回答： b二、填空問題(35分=15分)7 .在數(shù)列中，a1=且Sn=n(2n-1)an通過計算a2、a3、a4而推定為an的式子是分析： a1=且Sn=n(2n-1)ana1 a2=2(22-1)a2，a2=另外，a1 a2 a3=3(23-1)a3a3=此外，a1 a2 a3 a4=4(24-1)a4a4=.預期： an=答案： an=8.(2011紹興月考)用數(shù)學歸納法證明的111)，第一步要證明的不等式是分析： n=2時，左邊=1=1，右邊=2答案： 129.(2011東莞調查)已知的整數(shù)對的排列如下： (

4、1，1 )、(1，2 )、(2，1 )、(1，3 )、(2，2 )、(3，1 )、(1，4 )、(2，3 )、(3，2 )、(4，1 )、(1，5 )、(2，4 )、第60個數(shù)對為解析：正題規(guī)則：2=1 1 3=1 2=2 1；4=1 3=2 2=3 1；5=1 4=2 3=3 2=4 1；一個整數(shù)n具有的數(shù)是(n-1 )對。123. (n-1 )=60，8756； 設=60當n=11時，5對數(shù)更多，而且這5對數(shù)的和都是1212=1 11=2 10=3 9=4 8=5 7第六十個數(shù)對是(5，7 )?；卮穑?(五、七)三、解答問題(共計37分)10.(12點)用數(shù)學歸納法證明以下方程式12-22

5、 32-42 (-1)n-1n2=(-1)n-1證明： (1)n=1時，左邊=12=1右邊=(-1)0=1原方程式成立假定(n=k(kN*，k1 )，等式成立，即12-22 32-42 (-1)k-1k2=(-1)k-1那么，在n=k 1的情況下12-22 32-42 (-1)k-1k2 (-1)k(k 1)2=(-1)k-1 (-1)k(k 1)2=(-1)k-k 2(k 1)=(-1)k在n=k 1的情況下，公式也成立從(1)(2)中得到的任意nN*中12-22 32-42 (-1)n-1n2=(-1)n-111.(12分) (2011東北六校連考)設數(shù)列an的前n項之和為Sn，方程式x2

6、-anx-an=0為Sn-1，n=1，2，3，(1)求出a 1、a2(2)推測數(shù)列Sn的通項式，提出嚴格的證明分析： (1)在1)n=1的情況下，x2-a1x-a1=0是S1-1=a1-1于是，(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0，a1=。在n=2的情況下，x2-a2x-a2=0表示S2-1=a2-、于是，(a2-)2-a2(a2-)-a2=0，a2=。從(2)問題來看(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0Sn2-2Sn 1-anSn=0。在n2的情況下，an=Sn-Sn-1代入上式，得到Sn-1Sn-2Sn 1=0.從(1)得到的S1=a1=、S2=a1 a2=由推測S3=.由此推

7、測Sn=、n=1、2、3。用數(shù)學歸納法證明這個結論()當)n=1時，已知結論成立因為假設(ii)n=k(kn*，k1 )，假設Sk=，n=k 1，則Sk 1=，Sk 1=，所以假設n=k 1，則結論也成立。由以上可知，根據(I )、(ii )，Sn=對于所有正整數(shù)n成立.(13分鐘) (2011溫州模擬)已知的f(x)=，nN*與f ()的大小進行比較，說明理由解析： f()=1-，一方=1-、和f ()的大小等于2n和n2的大小在n=1的情況下為2112； 在n=2的情況下，22=22；在n=3的情況下為2332； 在n=4的情況下，24=42；在n=5的情況下為2552。在n5時，預計為2nn2.以下用數(shù)學歸納法證明當n=5時，由上可知不等式成立假設n=k(k5，kN* )，當不等式成立，即2kk2，n=k 1時，k2k 1=22k