1、正弦定理、余弦定理（1）教學(xué)目的：使學(xué)生掌握正弦定理能應(yīng)用解斜三角形，解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的正確理解和熟練運(yùn)用授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、引言：在直角三角形中，由三角形內(nèi)角和定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)，可以由已知的邊和角求出未知的邊和角那么斜三角形怎么辦？提出課題：正弦定理、余弦定理 二、講解新課：正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 證明一：（等積法）在任意斜ABC

2、當(dāng)中SABC= 兩邊同除以即得：=證明二：（外接圓法）如圖所示，同理 =2R，2R證明三：（向量法）過(guò)A作單位向量垂直于由+= 兩邊同乘以單位向量 得 (+)=則+=|cos90+|cos(90-C)=| |cos(90-A) =同理，若過(guò)C作垂直于得： = =正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題： 1兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見(jiàn)圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):三、講解范例：例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B為B的平分線，求證

3、：ABBCAC分析：前面大家所接觸的解三角形問(wèn)題是在一個(gè)三角形內(nèi)研究問(wèn)題，而B(niǎo)的平分線BD將ABC分成了兩個(gè)三角形：ABD與CBD，故要證結(jié)論成立，可證明它的等價(jià)形式：ABADBCDC，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到兩個(gè)三角形內(nèi)，而在三角形內(nèi)邊的比等于所對(duì)角的正弦值的比，故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)相等角正弦值相等，互補(bǔ)角正弦值也相等即可證明結(jié)論證明：在ABD內(nèi)，利用正弦定理得：在BCD內(nèi)，利用正弦定理得：BD是B的平分線ABDDBC sinABDsinDBCADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC評(píng)述：此題可以啟發(fā)學(xué)生利用正弦定理將邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，并且注意互補(bǔ)角

4、的正弦值相等這一特殊關(guān)系式的應(yīng)用四、課堂練習(xí)：1在ABC中，,則k為( )A2R BR C4R D(R為ABC外接圓半徑)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，則ABC為( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形3在ABC中，sinAsinB是AB的A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件4在ABC中，求證：參考答案：1A，2A3C4五、小結(jié) 正弦定理，兩種應(yīng)用六、課后作業(yè)：1在ABC中，已知，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列證明：由已知得sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B

5、2cos2Bcos2Acos2C2sin2Bsin2Asin2C由正弦定理可得2b2a2c2即a2，b2，c2成等差數(shù)列七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）八、課后記： 課 題：正弦定理、余弦定理（2）教學(xué)目的：1掌握正弦定理、余弦定理；2使學(xué)生能初步運(yùn)用它們解斜三角形，并會(huì)解決斜三角形的計(jì)算問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理、余弦定理的靈活運(yùn)用授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1正弦定理：在任一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，即= =2R（R為ABC外接圓半徑）2正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題： 1兩角和任意一邊，求

6、其它兩邊和一角；2兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角（見(jiàn)圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:若A為銳角時(shí):若A為直角或鈍角時(shí):3在RtABC中(若C=90)有： 在斜三角形中一邊的平方與其余兩邊平方和及其夾角還有什么關(guān)系呢？二、講解新課：1余弦定理 ：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即 問(wèn)題 對(duì)于任意一個(gè)三角形來(lái)說(shuō)，是否可以根據(jù)一個(gè)角和夾此角的兩邊，求出此角的對(duì)邊？推導(dǎo) 如圖在中，、的長(zhǎng)分別為、即同理可證 ，2余弦定理可以解決的問(wèn)題利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（2）

7、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角三、講解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C解： 0725， A44 08071， C36, B180(AC)100(sinC 05954, C 36或144(舍)例2在ABC中，已知a2730，b3696，C8228，解這個(gè)三角形解：由 ，得 c4297 07767， A392, B180(AC)5830(sinA 06299， A=39或141(舍)例 3 ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A解法一： |AB| |BC| |AC| = A84解法二： (8，3)，(2，4) cosA=, A84例4 設(shè)

8、=(x1, y1) =(x2, y2) 與的夾角為q （0qp），求證：x1x2+ y1y2=|cosq證明：如圖，設(shè), 起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)為A，B則A=(x1, y1) B=(x2, y2) =- 在ABC中，由余弦定理|-|2=|2+|2-2| cosq|-|2=|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2|2=x12+y12 ，|2= x22+y22(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y22-2| cosqx1x2+ y1y2=|cosq 即有= x1x2+ y1y2=|cosq四、課堂練習(xí)：1在ABC中，bCosA=acos

9、B，則三角形為( )A直角三角形 B銳角三角形C等腰三角形D等邊三角形2在ABC中，若a2b2+c2，則ABC為；若a2=b2+c2，則ABC為 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，則ABC為 3在ABC中，sinA=2cosBsinC，則三角形為 4在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= 參考答案： 1C 2鈍角三角形，直角三角形，銳角三角形3等腰三角形 4120五、小結(jié) 余弦定理及其應(yīng)用六、課后作業(yè)：1在ABC中，證明下列各式：（1）（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0(2) 證明：(1)左邊（a2b2c2）故原命題得證 故原命題得證2在ABC中，已知sin

10、BsinCcos2，試判斷此三角形的類(lèi)型解：sinBsinCcos2, sinBsinC2sinBsinC1cos180（BC）將cos（BC）cosBcosCsinBsinC代入上式得cosBcosCsinBsinC1, cos（BC）1又0B，C，BCBC0 BC故此三角形是等腰三角形3在ABC中，bcosAacosB試判斷三角形的形狀解法一：利用余弦定理將角化為邊bcosAacosB,bb2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，2sinBcosA2sinAcosBsinAcosBcos

11、AsinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB故此三角形是等腰三角形七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）八、課后記： 課 題：正弦定理、余弦定理（3）教學(xué)目的：1進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點(diǎn):三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問(wèn)題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注

12、意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講授新課：1正余弦定理的邊角互換功能對(duì)于正、余弦定理，同學(xué)們已經(jīng)開(kāi)始熟悉，在解三角形的問(wèn)題中常會(huì)用到它其實(shí)，在涉及到三角形的其他問(wèn)題中，也常會(huì)用到它們兩個(gè)定理的特殊功能是邊角互換，即利用它們可以把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，也可以把角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，從而使許多問(wèn)題得以解決例1已知a、b為ABC的邊，A、B分別是a、b的對(duì)角，且，求的值解：(這是角的關(guān)系)， (這是邊的關(guān)系)于是，

13、由合比定理得例2已知ABC中，三邊a、b、c所對(duì)的角分別是A、B、C，且a、b、c成等差數(shù)列求證：sinAsinC2sinB證明：a、b、c成等差數(shù)列，ac2b(這是邊的關(guān)系)又將、代入，得整理得sinAsinC2sinB(這是角的關(guān)系)2正、余弦定理的巧用某些三角習(xí)題的化簡(jiǎn)和求解，若能巧用正、余弦定理，則可避免許多繁雜的運(yùn)算，從而使問(wèn)題較輕松地獲得解決，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下：例3求sin220cos280sin20cos80的值解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角設(shè)這三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊依次是a、b、c，由

14、余弦定理得：a2b22abcos150c2（）而由正弦定理知：a2sin20，b2sin10，c2sin150，代入()式得：sin220sin2102sin20sin10cos150sin2150原式例4在ABC中，三邊長(zhǎng)為連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長(zhǎng)()分析：由于題設(shè)條件中給出了三角形的兩角之間的關(guān)系，故需利用正弦定理建立邊角關(guān)系其中利用正弦二倍角展開(kāi)后出現(xiàn)了cos，可繼續(xù)利用余弦定理建立關(guān)于邊長(zhǎng)的方程，從而達(dá)到求邊長(zhǎng)的目的解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為，1，2，其中*，又設(shè)最小角為，則 ,又由余弦定理可得2（1）2（2）22（1）（2）cos將代入整理得：2340

15、解之得14，21(舍)所以此三角形三邊長(zhǎng)為4，5，6評(píng)述： 此題所求為邊長(zhǎng)，故需利用正、余弦定理向邊轉(zhuǎn)化，從而建立關(guān)于邊長(zhǎng)的方程例5已知三角形的一個(gè)角為60，面積為10c2，周長(zhǎng)為20c，求此三角形的各邊長(zhǎng)分析：此題所給的題設(shè)條件除一個(gè)角外，面積、周長(zhǎng)都不是構(gòu)成三角形的基本元素，但是都與三角形的邊長(zhǎng)有關(guān)系，故可以設(shè)出邊長(zhǎng)，利用所給條件建立方程，這樣由于邊長(zhǎng)為三個(gè)未知數(shù)，所以需尋求三個(gè)方程，其一可利用余弦定理由三邊表示已知60角的余弦，其二可用面積公式ABCabsinC表示面積，其三是周長(zhǎng)條件應(yīng)用解：設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，B60，則依題意得 由式得：b220（ac）2400a2c22

16、ac40（ac） 將代入得4003ac40（ac）0再將代入得ac13由 b17，b27所以，此三角形三邊長(zhǎng)分別為5c，7c，8c評(píng)述： (1)在方程建立的過(guò)程中，應(yīng)注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面積公式的應(yīng)用(2)由條件得到的是一個(gè)三元二次方程組，要注意要求學(xué)生體會(huì)其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及運(yùn)算能力三、課堂練習(xí)：1在ABC中，已知B=30,b=50,c=150，那么這個(gè)三角形是( )A等邊三角形B直角三角形C等腰三角形 D等腰三角形或直角三角形2在ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，則此三角形為( )A直角三角形 B等腰三角形

17、C等邊三角形 D等腰直角三角形3在ABC中，已知sinAsinBsinC=654，則secA= 4ABC中，則三角形為 5在ABC中，角A、B均為銳角且cosAsinB，則ABC是 6已知ABC中，試判斷ABC的形狀7在ABC中，（a2+b2）sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B)，判斷ABC的形狀參考答案：1D 2A 3 8 4等腰三角形5鈍角三角形 6等邊三角形 7等腰三角形或直角三角形四、小結(jié) 熟悉了正、余弦定理在進(jìn)行邊角關(guān)系轉(zhuǎn)換時(shí)的橋梁作用，并利用正、余弦定理對(duì)三角恒等式進(jìn)行證明以及對(duì)三角形形狀進(jìn)行判斷五、課后作業(yè)：1在ABC中，已知，求證：a2，b2，c2成等差數(shù)列證明：由

18、已知得sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B2cos2Bcos2Acos2C 2sin2Bsin2Asin2C由正弦定理可得2b2a2c2, 即a2，b2，c2成等差數(shù)列2在ABC中，A30，cosB2sinBsinC(1)求證：ABC為等腰三角形；(提示BC75)(2)設(shè)D為ABC外接圓的直徑BE與AC的交點(diǎn)，且AB2，求ADDC的值答案：（1）略 （2）1六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）七、課后記： 課 題：正弦定理、余弦定理（4）教學(xué)目的：1進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角

19、形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點(diǎn): 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系授課類(lèi)型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教 具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問(wèn)題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講解范例：例1在任一ABC中求證：證：左邊=0=右邊

20、例2 在ABC中，已知，B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：B=4590 即ba A=60或120當(dāng)A=60時(shí)C=75 當(dāng)A=120時(shí)C=15 解二：設(shè)c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之：當(dāng)時(shí) 從而A=60 ，C=75當(dāng)時(shí)同理可求得：A=120 ，C=15例3 在ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程的兩個(gè)根，且2cos(A+B)=1 求（1）角C的度數(shù) （2）AB的長(zhǎng)度 （3）ABC的面積解：（1）cosC=cosp-(A+B)=-cos(A+B)=- C=120（2）由題設(shè)： AB2=AC2+BC2-2ACBCosC 即AB=（3）SABC=例4 如圖，在四邊形A

21、BCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, BDA=60, BCD=135 求BC的長(zhǎng)解：在ABD中，設(shè)BD=x則即 整理得：解之： （舍去）由余弦定理： 例5 ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 ; 2求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1設(shè)三邊 且C為鈍角 解得 或3 但時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去當(dāng)時(shí) 2設(shè)夾C角的兩邊為 S當(dāng)時(shí)S最大=例6 在ABC中，AB5，AC3，D為BC中點(diǎn)，且AD4，求BC邊長(zhǎng)分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長(zhǎng)，應(yīng)考慮在假設(shè)BC為后，建立關(guān)于的方程而正弦定理涉及到兩個(gè)角，故不可用此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在建立方程時(shí)所

22、發(fā)揮的作用因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以BD、DC可表示為，然用利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設(shè)BC邊為，則由D為BC中點(diǎn)，可得BDDC，在ADB中，cosADB在ADC中，cosADC又ADBADC180cosADBcos（180ADC）cosADC解得，2, 所以，BC邊長(zhǎng)為2評(píng)述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對(duì)于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來(lái)求解sinA，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)BD5，DC3，則由互補(bǔ)角ADC、ADB的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出BC后，再結(jié)合余弦

23、定理求出cosA，再由同角平方關(guān)系求出sinA三、課堂練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長(zhǎng)的乘積解：設(shè)ABC三邊為a，b，c則ABC又，其中R為三角形外接圓半徑, abc4RSABC410251所以三角形三邊長(zhǎng)的乘積為1評(píng)述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式ABC發(fā)生聯(lián)系，對(duì)abc進(jìn)行整體求解2在ABC中，已知角B45，D是BC邊上一點(diǎn)，AD5，AC7，DC3，求AB解：在ADC中，cosC又0C180，sinC在ABC中，AB評(píng)述：此題在求解過(guò)程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意

24、正、余弦定理的綜合運(yùn)用3在ABC中，已知cosA，sinB，求cosC的值解：cosAcos45，0A45A90, sinAsinBsin30，0B0B30或150B180若B150，則BA180與題意不符0B30 cosBcos（AB）cosAcosBsinAsinB又C180（AB）cosCcos180（AB）cos（AB）評(píng)述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對(duì)正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范圍時(shí)，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較四、小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問(wèn)題，要求大家注意常見(jiàn)解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問(wèn)題的求解能力五、課后作業(yè)：六、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）七、課后記及備用