1、,時變電磁場,第 4 章 時變電磁場, 在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數(shù)；變化的磁場會產(chǎn)生電場，變化的電場會產(chǎn)生磁場，電場與磁場相互依存，構(gòu)成統(tǒng)一的電磁場。, 英國科學(xué)家麥克斯韋將靜態(tài)場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統(tǒng)一的電磁場基本方程組高度概括。電磁場基本方程組是研究宏觀電磁場現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。, 時變場的知識結(jié)構(gòu)框圖, 本章要求：深刻理解電磁場基本方程組的物理意義，掌握電磁波的產(chǎn)生和傳播特性。,4.1 電磁感應(yīng)定律和全電流定律,4.1.1 電磁感應(yīng)定律,當(dāng)與回路交鏈的磁通發(fā)生變化時，回路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，這就是法拉弟電磁感應(yīng)定律（Faradays Law of Electr

2、omagnetic Induction ）。,引起磁通變化的原因分為三類：,稱為感生電動勢，這是變壓器工作的原理，又稱為變壓器電勢。, 回路不變，磁場隨時間變化,圖4.1.2 感生電動勢,負號表示感應(yīng)電流產(chǎn)生的磁場總是阻礙原磁場的變化,圖4.1.1感生電動勢的參考方向,稱為動生電動勢，這是發(fā)電機工作原理，又稱為發(fā)電機電勢。, 磁場隨時間變化，回路切割磁力線,實驗表明：感應(yīng)電動勢 與構(gòu)成回路的材料性質(zhì)無關(guān)（甚至可以是假想回路），只要與回路交鏈的磁通發(fā)生變化，回路中就有感應(yīng)電動勢。當(dāng)回路是導(dǎo)體時，才有感應(yīng)電流產(chǎn)生。, 回路切割磁力線，磁場不變,圖4.1.2 動生電動勢,電荷為什么會運動呢？即為什么

3、產(chǎn)生感應(yīng)電流呢？,4.1.2 感應(yīng)電場（渦旋電場）,麥克斯韋假設(shè)，變化的磁場在其周圍激發(fā)著一種電場，該電場對電荷有作用力（產(chǎn)生感應(yīng)電流），稱之為感應(yīng)電場（Electric Field of Induction )。,感應(yīng)電動勢與感應(yīng)電場的關(guān)系為,感應(yīng)電場是非保守場，電力線呈閉合曲線，變化的磁場 是產(chǎn)生 的渦旋源。,圖4.1.3b 變化的磁場產(chǎn)生感應(yīng)電場,在靜止媒質(zhì)中,圖4.1.3a 變化的磁場產(chǎn)生感應(yīng)電場,根據(jù)自然界的對偶關(guān)系，變化的磁場產(chǎn)生電場，變化的電場是否會產(chǎn)生磁場呢？,作閉合曲線 l 與導(dǎo)線交鏈，根據(jù)安培環(huán)路定律,4.1.3 全電流定律,圖4.1.4 交變電路用安培環(huán)路定律,為什么相同

4、的線積分結(jié)果不同？,全電流定律,全電流定律揭示不僅傳導(dǎo)電流激發(fā)磁場，變化的電場也可以激發(fā)磁場。它與變化的磁場激發(fā)電場形成自然界的一個對偶關(guān)系。,麥克斯韋由此預(yù)言電磁波的。,解： 忽略極板的邊緣效應(yīng)和感應(yīng)電場,位移電流密度,位移電流,例 4.1.1 已知平板電容器的面積為 S , 相距為 d , 介質(zhì)的介電常數(shù) ， 極板間電壓為 u(t)。試求位移電流 iD；傳導(dǎo)電流 iC與 iD 的關(guān)系是什么?,電場,微分形式,圖4.1.5 傳導(dǎo)電流與位移電流,4.2 電磁場基本方程組 分界面上的銜接條件,4.2.1 電磁場基本方程組,綜上所述,電磁場基本方程組 (Maxwell方程)為,全電流定律,電磁感應(yīng)

5、定律,磁通連續(xù)性原理, 全電流定律麥克斯韋第一方程, 表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場；, 電磁感應(yīng)定律麥克斯韋第二方程 , 表明電荷和變化的磁場都能產(chǎn)生電場；, 磁通連續(xù)性原理表明磁場是無源場,磁力線總是閉合曲線；, 高斯定律表明電荷以發(fā)散的方式產(chǎn)生電場(變化的磁場以渦旋的形式產(chǎn)生電場)。, 麥克斯韋第一、二方程是獨立方程，后面兩個方程可以從中推得。, 靜態(tài)場和恒定場是時變場的兩種特殊形式。,高斯定律,四個方程所反映的物理意義,時變電磁場中媒質(zhì)分界面上的銜接條件的推導(dǎo)方式與前三章類同，歸納如下：,例 4.2.1 試推時變場中導(dǎo)理想導(dǎo)體與理想介質(zhì)分界面上的銜接條件。,4.2.2 分界面上的

6、銜接條件,解： 理想導(dǎo)體中 為有限值，當(dāng),折射定律,圖4.2.1 媒質(zhì)分界面,仍從電磁場基本方程組出發(fā),經(jīng)整理后，得,稱為動態(tài)位（potential of Kinetic State）。,由,由,（2）,（1）,洛侖茲條件（規(guī)范）,定義A 的散度,2) 若場不隨時間變化，波動方程蛻變?yōu)椴此煞匠? 簡化了動態(tài)位與場源之間的關(guān)系，使得A單獨由J決定，j單獨由r決定，給解題帶來了方便；, 洛侖茲條件是電流連續(xù)性原理的體現(xiàn)。,1） 洛侖茲條件（Luo lunci Condition)的重要意義,洛侖茲條件, 確定了 的值，與 共同唯一確定A；,4.3.2 達朗貝爾方程的積分解,以位于坐標原點時變點電荷

7、為例，然后推廣到連續(xù)分布場源的情況。,1）通解的物理意義：,f1 在 時間內(nèi)經(jīng)過 距離后不變,說明它是以有限速度 v 向 r 方向傳播，稱之為入射波。,式中 具有速度的量綱 ，f1，f2 是具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的任意函數(shù)。,（除q點外）,有,圖4.3.1 的物理意義,由此推論，時變點電荷的動態(tài)標量位為,可以證明：該解滿足齊次波動方程。,在無限大均勻媒質(zhì)中沒有反射波，即 f2=0。,它表明： f2 在 時間內(nèi), 以速度v 向( -r )方向前進了 距離,故稱之為反射波。,2）解的表達式,圖4.3.2 波的入射、反射與透射,當(dāng)點電荷不隨時間發(fā)生變化時，波動方程蛻變?yōu)?，其特解為,當(dāng)場源不隨時間變化時

8、，蛻變?yōu)楹愣ù艌鲋械拇攀肝籄。, 電磁波在真空中的波速與光速相等。光也是一種電磁波。, 達朗貝爾方程解的形式表明：t 時刻的響應(yīng)取決于 時刻激勵源的情況。 故又稱 A、 為滯后位（Retarded Potential）。,它表明： f1是一個以速度 沿 r方向前進的波。, 它具有速度的量綱；且通解中的 經(jīng)過 后得以保持不變，必有自變量不變，即,4.4 坡印亭定理和坡印亭矢量, 電磁能量符合自然界物質(zhì)運動過程中能量守恒和轉(zhuǎn)化定律坡印亭定理；, 坡印亭矢量是描述電磁場能量流動的物理量。,4.4.1 坡印亭定理（Poynting Theorem）,在時變場中，電、磁能量相互依存，總能量密度為,物理意

9、義：體積V內(nèi)電源提供的功率，減去電阻消耗的熱功率，減去電磁能量的增加率，等于穿出閉合面S的電磁功率。 在恒定場中，場量是動態(tài)平衡下的恒定量，能量守恒定律為,表示單位時間內(nèi)流過與電磁波傳播方向相垂直單位面積上的電磁能量，亦稱為功率流密度，S 的方向代表波傳播的方向，也是電磁能量流動的方向。,恒定場中的坡印亭定理,注：磁鐵與靜電荷 產(chǎn)生的磁、電場不構(gòu)成能量的流動。,坡印亭定理,例 4.4.1 用坡印亭矢量分析直流電源沿同軸電纜向負載傳送能量的過程。設(shè)電纜為理想導(dǎo)體，內(nèi)外半徑分別為a和b。,解： 理想導(dǎo)體內(nèi)部電磁場為零。電磁場分布如圖所示。,電場強度, 穿出任一橫截面的能量相等，電源提供的能量全部被

10、負載吸收。, 電磁能量是通過導(dǎo)體周圍的介質(zhì)傳播的，導(dǎo)線只起導(dǎo)向作用。,這表明：,單位時間內(nèi)流入內(nèi)外導(dǎo)體間的橫截面A的總能量為,磁場強度,坡印亭矢量,圖4.4.1 同軸電纜中的電磁能流,以導(dǎo)體表面為閉合面，則導(dǎo)體吸收的功率為,表明，導(dǎo)體電阻所消耗的能量是由外部傳遞的。,例 4.4.2 導(dǎo)線半徑為a，長為 ，電導(dǎo)率為 ，試用坡印亭矢量計算導(dǎo)線損耗的能量。,電場強度,磁場強度,電源提供的能量一部分用于導(dǎo)線損耗,另一部分傳遞給負載,圖4.4.2 計算導(dǎo)線損耗的量,圖4.4.3 導(dǎo)體有電阻時同軸電纜中的E、H 與S,4.5.1 正弦電磁場的復(fù)數(shù)形式,4.5 正弦電磁場,正弦電磁場的復(fù)數(shù)形式與正弦穩(wěn)態(tài)電路

11、中的相量法類同，后者有三要素：振幅(標量，常數(shù))、頻率和相位。,前者也有三要素：振幅（矢量、空間坐標的函數(shù)）, 頻率和相位。,正弦電磁場基本方程組的復(fù)數(shù)形式,場與動態(tài)位的關(guān)系,4.5.2 坡印亭定理的復(fù)數(shù)形式,在正弦電磁場中，坡印亭矢量的瞬時形式為,稱之為平均功率流密度。,同理,取體積分，利用高斯散度定理，并將 代入體積分項，有,若體積V內(nèi)無電源，閉合面S內(nèi)吸收的功率為,有功功率 無功功率,此項可用于求解電磁場問題的等效電路參數(shù),例 4.5.1 平板電容器如圖所示，當(dāng)兩極板間加正弦工頻交流電壓 u（t） 時，試分析電容器中儲存的電磁能量。,解：忽略邊緣效應(yīng)及感應(yīng)電場, 則電場滿足無旋性質(zhì)，可表

12、示為,根據(jù)全電流定律，由位移電流產(chǎn)生的磁場為,顯然，電容器中儲存電場能量，磁場能量忽略不計,電磁場近似為EQS場。,整理得,復(fù)坡印亭矢量,電容器吸收能量,(無功功率),圖4.5.1 兩圓電極的平板電容器,解：忽略邊緣效應(yīng)及位移電流，則時變磁場可用恒定磁場的方法計算（為什么）。,顯然，螺線管中儲存磁場能量，電場能量忽略不計，電磁場近似為MQS場。,從安培環(huán)路定律，得,從電磁感應(yīng)定律，得,復(fù)坡印亭矢量,螺線管儲存能量,(無功功率),例 4.5.2 N匝長直螺線管，通有正弦交流電流 。試分析螺線管儲存的電磁能量。,圖4.5.2 長直螺線管,4.5.3 達朗貝爾方程的復(fù)數(shù)形式及其解,4.6 電磁輻射,

13、什么是輻射？, 電磁波從波源出發(fā)，以有限速度在媒質(zhì)中向四面八方傳播，一部分電 磁波能量脫離波源而單獨在空間波動，不再返回波源，這種現(xiàn)象稱為輻射。,研究內(nèi)容：, 輻射是有方向性的，希望在給定的方向產(chǎn)生指定的場。 輻射過程是能量的傳播過程，要考慮天線發(fā)射和接收信號的能力。 研究輻射的方向性和能量傳播的前提是掌握輻射電磁場的特性。, 輻射的波源是天線、天線陣。發(fā)射天線和接收天線是互易的。天線的幾何形狀、尺寸 是多樣的，單元偶極子天線（電偶極子天線和磁偶極子天線）是天線的基本單元，也是最簡單的天線。,工程上的實際天線,4.6.1 電偶極子的輻射,一、天線的形成,以平行板電容器和長直載流螺線管為例可知,

14、即增加電容器極板間距d，縮小極板面積S，減少線圈數(shù)n，就可達到上述目的，具體方式如圖所示。,可見，開放的LC電路就是大家熟悉的天線！當(dāng)有電荷（或電流）在天線中振蕩時，就激發(fā)出變化的電磁場在空中傳播。,圖4.6.1 電偶極子天線的形成的演示,從LC電路的振蕩頻率 式可知，要提高振蕩頻率、開放電路，就必須降低電路中的電容值和電感值。,二. 電磁輻射的過程,當(dāng)電偶極子p=qd 以簡諧方式振蕩時向外輻射電磁波,圖4.6.2 電偶極子天線,右圖是 E 線分別在 的場圖,圖4.6.3 一個電偶極子在不同時刻的E線分布,某一瞬間 E 線與 H 線在空間的分布,圖4.6.5動態(tài)描述單元偶極子天線輻射形成的過程

15、,圖4.6.4 時單元偶極子天線E 線與H線分布,三.電偶極子的電磁場,遠離天線P點的動態(tài)位為：,在球坐標系中，,圖4.6.7 單元偶極子天線的磁矢量,特點： 無推遲效應(yīng)；, 電場與靜電場中電偶極子的場相同，磁場與恒定磁場中元電流的場相同，因此有結(jié)論：任一時刻，電、磁場的分布規(guī)律分別與靜態(tài)場中電、磁場相同，稱之為似穩(wěn)場。,近區(qū)內(nèi)只有電磁能量交換，沒有波的傳播（輻射）。,1. 近區(qū),近區(qū)外的能量來自何方？,圖4.6.8 電偶極子的近區(qū) E 與 H 線的分布,忽略 的高次項 , 遠區(qū)的電磁場,特點： 輻射區(qū)電磁場有推遲效應(yīng)。, 相位相同的點連成的面稱為等相位面，輻射區(qū)的電磁波為球面波。, 輻射是有

16、方向性的，即, 輻射功率為, E、H、S 空間上正交，時間上同相，有波阻抗（Wave Impedance), 輻射電阻表示天線輻射電磁能量的能力,表明天線愈長，頻率愈高，輻射能量愈大。,3. 輻射的方向性,圖4.6.11 立體方向圖,輻射的方向性用兩個相互垂直的主平面上的方向圖表示，E平面（電場所在平面） 和H平面（磁場所在平面）。E平面與H平面的方向性函數(shù)分別為,4.6.11 單元偶極子天線的方向圖,（a）E平面方向圖,（ b）H 平面方向圖,4.6.2 細線天線和天線陣,1. 細線天線,直線對稱振子是一種細線天線,它是指線的橫截面尺寸遠比波長小，它的長度 l 與波長l在同一數(shù)量級( )上,

17、流經(jīng)它的上面的電流 i不再等幅同相。設(shè)振子上的電流為正弦分布i=i(z,t)。,與前面相類似地分析方法，可以得到輻射電場為,特點： 球面波；, 有方向性。其E平面方向因子為,圖4.6.13 直線對稱振子,圖4.6.12 開路傳輸線張開成對稱振子,2. 天線陣： 為了削弱天線的方向性，增加輻射能量，用一組或陣列天線來代替單一天線， 以構(gòu)成天線陣。,圖4.6.13 細線天線的E平面方向圖,中不僅與 有關(guān)，還與半波天線長度 有關(guān)。圖中給出四種天線長度的 E 平面方向圖。,微波接力通信,圖 4.7.1 視距與天線高度的關(guān)系,圖 4.7.2 微波接力示意圖,當(dāng) 時,圖 4.7.3 通信衛(wèi)星,圖 4.7.

18、4 同步衛(wèi)星建立全球通信,1. 在靜止軌道上放置太陽能電池帆板,產(chǎn)生500萬KW能量;,2. 通過“變電站”微波發(fā)生器，將直流功率變?yōu)槲⒉üβ剩?3. 通過天線陣向地面定向輻射；,4. 地面接收站將微波轉(zhuǎn)換為電能；,5. 提供用戶。,圖 4.7.5 空間太陽能發(fā)電站和電力傳輸,對達朗貝爾方程 (1) 兩邊取散度,交換微分次序,將達朗貝爾方程 (2)代入上式，得,整理得,圖4.0 時變場知識結(jié)構(gòu)框圖,電磁感應(yīng)定律,全電流定律,Maxwell方程組,分界面上銜接條件,動態(tài)位A ,達朗貝爾方程,正弦電磁場,坡印亭定理與坡印亭矢量,電磁幅射( 應(yīng)用 ),陜西省廣播電臺中波天線,微波發(fā)射天線,微波接收天

19、線,陜西省電視塔,上海市電視塔,圖 4.6.14 一個簡單的天線陣,畫出了rl時的輻射圖。兩個波的天線間距為l/2,激發(fā)的相位一致。曲面上的矢徑長表示E的數(shù)值對q和j的函數(shù)關(guān)系。曲面上的曲線，是j為常數(shù)的曲線，每隔10 度畫一條。為清楚起見，曲面切成了兩半。沿著y軸的方向，兩個波相加，合成的電場強度是單個天線所產(chǎn)生的兩倍。這點在整個yz平面上都對，只要rl。沿著x軸，兩個波相位相反而互相抵消了。在xz平面的其他方向上，波并不完全抵消，因為路程差比l/2小。每個天線在z軸上的場都是零，所以天線陣的場也是零。,圖 4.6.15 兩個波天線,用豎粗線表示,相距l(xiāng)/2, 但是在 x= -D/2的一個相

20、位超 前p弧度。此時兩個波在yz平面上到處都對消了。在x軸上的所有點上，兩個波相位一致，得到二倍于單個天線的場強。在z軸的方向上還是沒有輻射。,麥克斯韋（James Clerk Maxwell 1831-1879),麥克思維是19世紀偉大的英國物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家。1831年11月13日生于蘇格蘭的愛丁堡，自幼聰穎，父親是個知識淵博的律師，使麥克斯韋從小受到良好的教育。10歲時進入愛丁堡中學(xué)學(xué)習(xí)14歲就在愛丁堡皇家學(xué)會會刊上發(fā)表了一篇關(guān)于二次曲線作圖問題的論文，已顯露出出眾的才華。1847年進入愛丁堡大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理。1850年轉(zhuǎn)入劍橋大學(xué)三一學(xué)院數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)，1854年以第二名的成績獲史密斯獎學(xué)

21、金，畢業(yè)留校任職兩年。1856年在蘇格蘭阿伯丁的馬里沙耳任自然哲學(xué)教授。1860年到倫敦國王學(xué)院任自然哲學(xué)和天文學(xué)教授。1861年選為倫敦皇家學(xué)會會員。1865年春辭去教職回到家鄉(xiāng)系統(tǒng)地總結(jié)他的關(guān)于電磁學(xué)的研究成果，完成了電磁場理論的經(jīng)典巨著論電和磁，并于1873年出版，1871年受聘為劍橋大學(xué)新設(shè)立的卡文迪什試驗物理學(xué)教授，負責(zé)籌建著名的卡文迪什實驗室，1874年建成后擔(dān)任這個實驗室的第一任主任，直到1879年11月5日在劍橋逝世。,麥克斯韋主要從事電磁理論、分子物理學(xué)、統(tǒng)計物理學(xué)、光學(xué)、力學(xué)、彈性理論方面的研究。尤其是他建立的電磁場理論，將電學(xué)、磁學(xué)、光學(xué)統(tǒng)一起來，是19世紀物理學(xué)發(fā)展的最

22、光輝的成果，是科學(xué)史上最偉大的綜合之一。麥克斯韋大約于1855年開始研究電磁學(xué)，在潛心研究了法拉第關(guān)于電磁學(xué)方面的新理論和思想之后，堅信法拉第的新理論包含著真理。于是他抱著給法拉第的理論“提供數(shù)學(xué)方法基礎(chǔ)”的愿望，決心把法拉第的天才思想以清晰準確的數(shù)學(xué)形式表示出來。他在前人成就的基礎(chǔ)上，對整個電磁現(xiàn)象作了系統(tǒng)、全面的研究，憑借他高深的數(shù)學(xué)造詣和豐富的想象力接連發(fā)表了電磁場理論的三篇論文：論法拉第的力線（1855年12 月至1856年2月）；論物理的力線（1861至1862年）；電磁場的動力學(xué)理論（1864年12月8日）。對前人和他自己的工作進行了綜合概括，將電磁場理論用簡潔、對稱、完美數(shù)學(xué)形式表示出