1、一、問題的提出,1.自由落體運(yùn)動的瞬時速度問題,如圖,取極限得,1,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,播放,2,如圖,如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.,極限位置即,3,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,4,其它形式,即,5,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：,6,注意:,7,播放,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,8,2.右導(dǎo)數(shù):,單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,9,10,11,三、由定義求導(dǎo)數(shù),步驟:,例1,解,12,例2,解,13,例3,解,更一般地,例如,14,例4,解,15,例5,解,16,例6,解,17,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程為,法線方程為,18

2、,例7,解,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,19,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,20,連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例,例如,注意: 該定理的逆定理不成立.,21,例如,22,例如,23,24,例8,解,25,六、小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,連續(xù),直接用定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,26,思考題,27,思考題解答,28,29,30,31,練習(xí)題答案,32,2.切線

3、問題,割線的極限位置切線位置,33,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,34,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,35,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,36,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,37,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,38,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,39,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,40,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,41,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,42,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,43,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,44,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函

4、數(shù).,45,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,46,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,47,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,48,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,49,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,50,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,51,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,52,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,53,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,54,一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則,定理,55,證(3

5、),證(1)、(2)略.,56,57,推論,58,二、例題分析,例1,解,例2,解,59,例3,解,同理可得,60,例4,解,同理可得,例5,解,同理可得,61,例6,解,62,63,三、小結(jié),注意:,分段函數(shù)求導(dǎo)時, 分界點(diǎn)導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.,64,思考題,求曲線 上與 軸平行的切線方程.,65,思考題解答,令,切點(diǎn)為,所求切線方程為,和,66,練 習(xí) 題,67,68,練習(xí)題答案,69,一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理,即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).,70,證,于是有,71,例1,解,同理可得,72,例2,解,特別地,73,二、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理,即 因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中

6、間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t),74,證,75,推廣,例3,解,76,例4,解,例5,解,77,例6,解,例7,解,78,三、小結(jié),反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）;,復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 （注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）;,已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù),或常數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.,79,思考題,80,思考題解答,正確地選擇是（3）,例,在 處不可導(dǎo)，,取,在 處可導(dǎo)，,在 處不可導(dǎo)，,取,在 處可導(dǎo)，,在 處可導(dǎo)，,81,練 習(xí) 題,82,83,練習(xí)題答案,84,85,初等函數(shù)的求導(dǎo)問題,1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,86,2.函數(shù)的和

7、、差、積、商的求導(dǎo)法則,87,3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.,注意:初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).,88,例1,解,89,例2,解,90,小結(jié),任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.,關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).,91,思考題,冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）.,92,思考題解答,正確地選擇是（3）,例,在 處不可導(dǎo)，,在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，,93,練 習(xí) 題,94,練習(xí)題答案,95,一、高階導(dǎo)數(shù)的定義,問題:變速直線運(yùn)動的加速度.,定義,96,記作,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).,二階導(dǎo)

8、數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),97,二、 高階導(dǎo)數(shù)求法舉例,例1,解,1.直接法:,由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).,98,例2,解,99,例3,解,注意:,求n階導(dǎo)數(shù)時,求出1-3或4階后,不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出n階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明),100,例4,解,同理可得,101,例5,解,102,2. 高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:,萊布尼茲公式,103,例6,解,104,3.間接法:,常用高階導(dǎo)數(shù)公式,利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則,運(yùn)算, 變量代換等方法, 求出n階導(dǎo)數(shù).,105,例7,解,106,例8,解,107,三、小結(jié),高階導(dǎo)數(shù)的定義；,高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(萊布尼茲公式);,n階導(dǎo)數(shù)

9、的求法;,1.直接法;,2.間接法.,108,思考題,設(shè) 連續(xù)，且 ，,求 .,109,思考題解答,可導(dǎo),不一定存在,故用定義求,110,練 習(xí) 題,111,112,113,練習(xí)題答案,114,115,一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定義:,隱函數(shù)的顯化,問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?,隱函數(shù)求導(dǎo)法則:,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,116,例1,解,解得,117,例2,解,所求切線方程為,顯然通過原點(diǎn).,118,例3,解,119,二、對數(shù)求導(dǎo)法,觀察函數(shù),方法:,先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,-對數(shù)求導(dǎo)法,適用范圍:,120,例4,解,等式兩邊取對數(shù)得,12

10、1,例5,解,等式兩邊取對數(shù)得,122,一般地,123,三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù),例如,消去參數(shù),問題: 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?,124,由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得,125,126,例6,解,127,所求切線方程為,128,例7,解,129,130,例8,解,131,四、相關(guān)變化率,相關(guān)變化率問題:,已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?,132,例9,解,仰角增加率,133,例10,解,水面上升之速率,134,五、小結(jié),隱函數(shù)求導(dǎo)法則: 直接對方程兩邊求導(dǎo);,對數(shù)求導(dǎo)法: 對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo);,參數(shù)方程求導(dǎo): 實(shí)質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;,相關(guān)變

11、化率: 通過函數(shù)關(guān)系確定兩個相互依賴的變化率; 解法: 通過建立兩者之間的關(guān)系, 用鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法求解.,135,思考題,136,思考題解答,不對,137,練 習(xí) 題,138,139,140,141,練習(xí)題答案,142,143,一、問題的提出,實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,144,再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值,問題:這個線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?,145,二、微分的定義,定義,(微分的實(shí)質(zhì)),146,由定義知:,147,三、可微的條件,定理,證,(1) 必要性,148,(2) 充分性,149,例1,解,150,四、微分的幾何意義,M,

12、N,）,幾何意義:(如圖),151,五、微分的求法,求法: 計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), 乘以自變量的微分.,1.基本初等函數(shù)的微分公式,152,2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則,153,例2,解,例3,解,154,六、微分形式的不變性,結(jié)論：,微分形式的不變性,155,例4,解,例3,解,156,例5,解,在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使等式成立.,157,七、小結(jié),微分學(xué)所要解決的兩類問題:,函數(shù)的變化率問題,函數(shù)的增量問題,微分的概念,導(dǎo)數(shù)的概念,求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法.,研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué).,導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:,158,導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:,159,思考

13、題,160,思考題解答,說法不對.,從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念.,161,練 習(xí) 題,162,163,練習(xí)題答案,164,165,一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值,例1,解,166,二、計(jì)算函數(shù)的近似值,例1,解,167,168,常用近似公式,證明,169,例2,解,170,三、誤差估計(jì),由于測量儀器的精度、測量的條件和測量的方法等各種因素的影響，測得的數(shù)據(jù)往往帶有誤差，而根據(jù)帶有誤差的數(shù)據(jù)計(jì)算所得的結(jié)果也會有誤差，我們把它叫做間接測量誤差.,定義：,問題:在實(shí)際工作中,絕對誤差與相對誤差無法求得

14、?,171,辦法:將誤差確定在某一個范圍內(nèi).,通常把絕對誤差限與相對誤差限簡稱為絕對誤差與相對誤差.,172,例3,解,173,四、小結(jié),近似計(jì)算的基本公式,174,練習(xí)題,175,176,練習(xí)題答案,第二章習(xí)題課,177,求 導(dǎo) 法 則,基本公式,導(dǎo) 數(shù),高階導(dǎo)數(shù),高階微分,一、主要內(nèi)容,178,1、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,179,2.右導(dǎo)數(shù):,單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,180,2、基本導(dǎo)數(shù)公式,（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）,181,3、求導(dǎo)法則,(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則,182,(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,(4) 對數(shù)求導(dǎo)法,先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,適用范圍:,183,(5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則,用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).,(6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則,184,4、高階導(dǎo)數(shù),記作,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)),185,5、微分的定義,定義,(微分的實(shí)質(zhì)),186,6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系,定理,7、 微分的求法