1、,Home,目錄,3.2 柯西-古薩基本定理,3.3 柯西積分公式,3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),3.1 復(fù)積分的概念,第3章 復(fù)變函數(shù)的積分,3.1 復(fù)積分的概念,1 復(fù)變函數(shù)的積分定義,定義：設(shè)函數(shù) w=f(z) 定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為:,2 復(fù)積分存在的一個(gè)充分條件：,復(fù)積分的計(jì)算方法：,一個(gè)復(fù)積分的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)實(shí)二型線積分,1 線性性：,3 復(fù)積分的性質(zhì) ：,例題1,（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針方向 的單位半圓周。,解（1）,（2）參數(shù)方程為,可見積分與路徑有關(guān)。,例題2,解：,例如,例題3,解：,可見，

2、積分僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),而與路徑無關(guān)。,例題4,證明：,定理1（Cauchy-Goursat）,如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, 則它 在D內(nèi)任何一條封閉曲線 C 的積分為零:,注1：定理中的曲線C可以不是簡(jiǎn)單曲線. 此定理成立的條件之一是曲線C要屬于區(qū)域D。, 3.2 柯西-古薩基本定理,注2：如果曲線C是D的邊界, 函數(shù) f (z)在D內(nèi)與C上解析, 即在閉區(qū)域 D+C上解析, 甚至 f (z)在D內(nèi)解析, 在閉區(qū)域D+C 上連續(xù), 則 f (z)在邊界上的積分仍然有,推論：,與路徑無關(guān)僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。,如果函數(shù) f (z)在單連通域D內(nèi)處處解析, C屬于D，,柯西-古薩基

3、本定理還可推廣到多連通域:,假設(shè)C及C1為任意兩條簡(jiǎn)單閉曲線, C1在C內(nèi)部,設(shè)函數(shù) f (z)在C及C1所圍的二連域D內(nèi)解析, 在邊界上連續(xù)，則,定理2 (復(fù)合閉路定理),證明：取,這說明解析函數(shù)沿簡(jiǎn)單閉曲線積分不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的值。,-閉路變形原理,推論（復(fù)合閉路定理）：,(互不包含且互不相交)，,所圍成的多連通區(qū)域，,例題1,C 如圖所示：,解：,存在 f (z)的解析單連通域D包含曲線 C ，故積分與路徑無關(guān)，僅與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。,或,現(xiàn)設(shè)z=it，t從-3變化到1，,例題2 求,C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線。,解：,現(xiàn)分別以z=0,1為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不

4、包含也互不相交的正向圓周C1與C2.,練習(xí)：計(jì)算積分,解：現(xiàn)分別以z=1,2為圓心,在C內(nèi)作兩個(gè)互不包含也互不相交的正向圓周C1與C2.由復(fù)合閉路定理知：, 3.3 柯西積分公式,若 f (z) 在D內(nèi)解析，則,分析：,在上節(jié)的基礎(chǔ)上,我們來進(jìn)一步探討如下積分:,定理 (柯西積分公式) 如果 f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處解析, C為D內(nèi)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線, 它的內(nèi)部完全含于D, z0為C內(nèi)的任一點(diǎn), 則,-解析函數(shù)可用復(fù)積分表示。,證 由于f (z)在 z0連續(xù), 任給e 0, 存在d (e) 0, 當(dāng) |z-z0|d 時(shí), | f (z)-f (z0)| e. 設(shè)以 z0為中心, R 為半

5、徑的圓周K : |z-z0|=R全部在C的內(nèi)部, 且R d.,從而有:,例題1 計(jì)算,解：,因?yàn)閒(z)=cosz在復(fù)平面上解析, 又-i在 內(nèi),所以,例題2 計(jì)算,解：方法1,因?yàn)閒(z)=sinz在復(fù)平面上解析,又-1,1均在 內(nèi),所以,解：方法2,利用復(fù)合閉路定理,分別以-1,1為圓心,作兩個(gè)互不相交互不包含的圓周C1，C2,練習(xí) 計(jì)算,解：,因?yàn)楸环e函數(shù)在 內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn),所以,例題3,解：,一個(gè)解析函數(shù)不僅有一階導(dǎo)數(shù), 而且有各高階導(dǎo)數(shù), 它的值也可用函數(shù)在邊界上的值通過積分來表示. 這一點(diǎn)和實(shí)變函數(shù)完全不同. 一個(gè)實(shí)變函數(shù)在某一區(qū)間上可導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)在這區(qū)間上是否連續(xù)也不一定,更不

6、要說它有高階導(dǎo)數(shù)存在了., 3.4 解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù),定理 解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)數(shù)仍為解析函數(shù), 它的n階導(dǎo)數(shù)為:,其中C為在函數(shù) f (z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞 z0的任何一條正向簡(jiǎn)單曲線, 而且它的內(nèi)部全含于D.,證 設(shè)z0為D內(nèi)任意一點(diǎn), 先證n=1的情形, 即,因此就是要證,按柯西積分公式有,因此,現(xiàn)要證當(dāng)Dz0時(shí)I0, 而,f (z)在C上連續(xù), 則有界, 設(shè)界為M, 則在C上有 | f (z) | M. d為 z0 到C上各點(diǎn)的最短距離, 則取 |Dz| 適當(dāng)?shù)匦∈蛊錆M足 |Dz| d/2,因此,L是C的長(zhǎng)度,這就證得了當(dāng) Dz0時(shí), I0.,即:,再利用同樣的方法去求極限:,依此類推, 用數(shù)學(xué)歸納法可以證明:,高階導(dǎo)數(shù)公式的作用, 不在于通過積分來求導(dǎo), 而在于通過求導(dǎo)來求積分.,例1 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = r 1.,解 1) 函數(shù) 在C內(nèi)的z=1處不解析, 但cospz在C內(nèi)卻是處處解析的.,練習(xí): 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = 2.,解：,因?yàn)閦=1在 | z | = 2包圍的區(qū)域D內(nèi)， 又f（z）=5z2-3z+2在復(fù)平面上解析.,練習(xí): 求下列積分的值, 其中C為正向圓周: | z | = 3/2.,解：由于,在 | z | = 3/2內(nèi)有兩個(gè)奇點(diǎn)z=0,z=-1，分