1、第五講 插 值,拉格朗日插值,分段線性插值,三次樣條插值,一 維 插 值,一、插值的定義,二、插值的方法,三、用Matlab解插值問題,二 維 插 值,一、二維插值定義,二、網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)插值法,三、用Matlab解插值問題,最鄰近插值,分片線性插值,雙線性插值,網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,一維插值的定義,節(jié)點(diǎn)可視為由,產(chǎn)生,表達(dá)式復(fù)雜,或無封閉形式,或未知.,稱為拉格朗日插值基函數(shù)。,已知函數(shù)f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,xn處的函數(shù)值為 y0,y1,yn 。求一n次多項(xiàng)式函數(shù)Pn(x)，使其滿足： Pn(xi)=yi,i=0,1,n.,解決此問題的拉格朗日插值多項(xiàng)式公式如下,其中Li(

2、x) 為n次多項(xiàng)式：,拉格朗日(Lagrange)插值,拉格朗日(Lagrange)插值,特別地:,兩點(diǎn)一次(線性)插值多項(xiàng)式:,三點(diǎn)二次(拋物)插值多項(xiàng)式:,拉格朗日多項(xiàng)式插值的 這種振蕩現(xiàn)象叫 Runge現(xiàn)象,采用拉格朗日多項(xiàng)式插值：選取不同插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時(shí)，繪出插值結(jié)果圖形.,例,To Matlab lch(larg1),分段線性插值,計(jì)算量與n無關(guān); n越大，誤差越小.,To MATLAB xch11，xch12，xch13，xch14,例,用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.,1.在-6,6中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(xc

3、h11),4.在-6,6中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(xch14),2.在-6,6中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(xch12),3.在-6,6中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值(xch13),三次樣條插值,樣條函數(shù)的由來,飛機(jī)、船體、汽車外形等的放樣（設(shè)計(jì)）,細(xì)木條：樣條,比分段線性插值更光滑。,在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。 光滑性的階次越高，則越光滑。是否存在較低次的分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？三次樣條插值就是一個(gè)很好的例子。,三次樣條插值,三次樣條插值,g(x)為被插值函數(shù)。,用MATLAB作插值計(jì)算,一維插值函數(shù)：,yi=interp1(

4、x，y，xi，method),nearest ：最鄰近插值linear ： 線性插值； spline ： 三次樣條插值； cubic ： 立方插值。 缺省時(shí)： 分段線性插值。,注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過x的范圍。,例,用三次樣條插值選取11個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值(ych),To MATLAB ych(larg1),用MATLAB作插值計(jì)算,用n=11個(gè)節(jié)點(diǎn)，m=21個(gè)插值點(diǎn)，三種方法作插值，畫圖。,chazhi1,插值的應(yīng)用,加工時(shí)需要x每改變0.05時(shí)的y值,chazhi2,圖1 零件的輪廓線 （x間隔0.2）,表1 x間隔0.2的加工坐標(biāo)x,y（圖1右半部的數(shù)據(jù)）,數(shù)

5、控機(jī)床加工零件,模型 將圖1逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度，輪廓線上下對(duì)稱，只需對(duì)上半部計(jì)算一個(gè)函數(shù)在插值點(diǎn)的值。,圖2 逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)90度的結(jié)果,令v=x, u= -y,例：在1-12的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測(cè)量一次溫度，測(cè)得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值。,To MATLAB (temp),hours=1:12; temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24; h=1:0.1:12; t=interp1(hours,temps,h,spline); (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的) plot(ho

6、urs,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖 xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius),例 已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變0.1時(shí)的y值。,To MATLAB(plane),二維插值的定義,第一種（網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)）：,已知 mn個(gè)節(jié)點(diǎn),第二種（散亂節(jié)點(diǎn)）：,注意：最鄰近插值一般不連續(xù)。具有連續(xù)性的最簡(jiǎn)單的插值是分片線性插值。,最鄰近插值,二維或高維情形的最鄰近插值，與被插值點(diǎn)最鄰近的 節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值即為所求。,將四個(gè)插值點(diǎn)（矩形的四個(gè)頂點(diǎn)）處的函數(shù)值依次簡(jiǎn)記為：,分片線性插值,f (xi, yj)=f1，f (xi+1, yj)=f2，

7、f (xi+1, yj+1)=f3，f (xi, yj+1)=f4,插值函數(shù)為：,第二片(上三角形區(qū)域)：(x, y)滿足,插值函數(shù)為：,注意：(x, y)當(dāng)然應(yīng)該是在插值節(jié)點(diǎn)所形成的矩形區(qū)域內(nèi)。顯然，分片線性插值函數(shù)是連續(xù)的；,分兩片的函數(shù)表達(dá)式如下：,第一片(下三角形區(qū)域)： (x, y)滿足,雙線性插值是一片一片的空間二次曲面構(gòu)成。 雙線性插值函數(shù)的形式如下：,其中有四個(gè)待定系數(shù)，利用該函數(shù)在矩形的四個(gè)頂點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）的函數(shù)值，得到四個(gè)代數(shù)方程，正好確定四個(gè)系數(shù)。,雙線性插值,要求x0,y0單調(diào)；x，y可取為矩陣，或x取行向量，y取為列向量，x,y的值分別不能超出x0,y0的范圍。,z=

8、interp2(x0,y0,z0,x,y,method),用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值,nearest 最鄰近插值 linear 雙線性插值 cubic 雙三次插值 缺省時(shí), 雙線性插值,例：測(cè)得平板表面3*5網(wǎng)格點(diǎn)處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面z=f(x,y)的圖形。,輸入以下命令： x=1:5; y=1:3; temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86; mesh(x,y,temps),1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗

9、糙的溫度分布曲圖.,2以平滑數(shù)據(jù),在x、y方向上每隔0.2個(gè)單位的地方進(jìn)行插值.,再輸入以下命令: xi=1:0.2:5; yi=1:0.2:3; zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic); mesh(xi,yi,zi) 畫出插值后的溫度分布曲面圖.,To MATLAB (wendu),通過此例對(duì)最近鄰點(diǎn)插值、雙線性插值方法和雙三次插值方法的插值效果進(jìn)行比較。,To MATLAB (moutain),插值函數(shù)griddata格式為:,cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）,用MATLAB作散點(diǎn)數(shù)據(jù)的插值計(jì)算,要求cx取行向量， cy取為列向量。,nearest 最鄰近插值 linear 雙線性插值 cubic 雙三次插值 v4- Matlab提供的插值方法 缺省時(shí), 雙線性插值,例 在某海域測(cè)得一些點(diǎn)(x,y)處的水深z由下表給出，船的吃水深度為5英尺，在矩形區(qū)域（75，200）*