1、第三章函數(shù)一、基礎(chǔ)知識(shí)定義1映射對(duì)任意2個(gè)集合a、b，根據(jù)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，如果在b中唯一的要素與a中的任意的要素x對(duì)應(yīng)，則將f: AB稱為1個(gè)映射。定義2單射，f: AB是一個(gè)映射，對(duì)于任意的x、y-a、xy，如果都有f(x)f(y )，就稱為單射。定義3完整照片如果f 3360 ab為映射，對(duì)于任意的y-b，如果有一個(gè)x-a成為f(x)=y，則f 3360 ab被稱為從a向b的完整照片。定義4一對(duì)一映射，如果f: AB為單射和滿射雙方，則稱為一對(duì)一映射，僅一對(duì)一映射存在逆映射，即存在從b到a為逆的由對(duì)應(yīng)規(guī)則f-1構(gòu)成的映射，標(biāo)記為f-1: AB。在定義5個(gè)函數(shù)和映射f: AB中，若a、b都是非空

2、數(shù)定徑套，則該映射為函數(shù)。 a被稱為其定義域，x-a、y-b，并且f(x)=y (即，對(duì)應(yīng)于x為b的y )，y被稱為x的影像，x被稱為y的原影像。 集合f(x)|xA稱為函數(shù)的值域。 通常函數(shù)由解析式提供，其中，函數(shù)的定義域是處于可以取的具有解析式意義的未知數(shù)的值的范圍，例如，函數(shù)y=3-1的定義域?yàn)閤|x0，0，xR。在定義6個(gè)反函數(shù)中，如果函數(shù)f: AB (通常記為y=f(x ) )是一對(duì)一映射，則將其逆映射f-1: AB稱為原函數(shù)的反函數(shù)，通常記為y=f-1(x )的示例：函數(shù)y=的逆函數(shù)為y=1-(x0 )。定理1彼此為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的影像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。定理2在定義域中是增加(

3、減法)函數(shù)的函數(shù)，其反函數(shù)一定是增加(減法)函數(shù)。定義7個(gè)函數(shù)的性質(zhì)。(1)單調(diào)性：如果函數(shù)f(x )在區(qū)間I上滿足任意的x1，x2I且x1 x2，總是滿足f(x1)f(x2)，則f(x )在區(qū)間I上增加(減去)(2)奇性：將函數(shù)y=f(x )的定義域設(shè)為以d、d為原點(diǎn)對(duì)稱的整數(shù)定徑套，對(duì)于任意的x-d，如果有f(-x)=-f(x )，則稱為f(x )，對(duì)于任意的x-d，如果都有f(-x)=f(x )，則稱為f(x )是偶函數(shù)奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。(3)周期性：對(duì)于函數(shù)f(x )，如果存在非零常數(shù)t，當(dāng)x取定義域內(nèi)的一個(gè)又一個(gè)整數(shù)時(shí)，如果f(x T)=f(x )成立

4、，那么將f(x )稱為周期函數(shù)，并且t是該函數(shù)的整數(shù)。定義8設(shè)果實(shí)數(shù)aa為開區(qū)間(a，)，集合x|xa為半開半閉區(qū)間(-，a )。定義9個(gè)函數(shù)的圖像，點(diǎn)定徑套(x，y)|y=f(x )，xD被稱為函數(shù)y=f(x )的圖像，其中d是f(x )的定義域。 通過(guò)畫畫得到函數(shù)y=f(x )的圖像和其他函數(shù)圖像的關(guān)系(a，b0)是不容易的(1)將a個(gè)單位向右錯(cuò)位得到y(tǒng)=f(x-a )的圖像。 (2)將a個(gè)單位向左錯(cuò)位，得到y(tǒng)=f(x a )的圖像。 (3)使b個(gè)單位向下移動(dòng)，得到y(tǒng)=f(x)-b的圖像。 (4)關(guān)于y=f(-x )的圖像和y軸對(duì)稱。 (5)函數(shù)y=-f(-x )的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 (6

5、)關(guān)于直線y=x與函數(shù)y=f-1(x )的圖像對(duì)稱。 (7)函數(shù)y=-f(x )的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱。定理3復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性記住“同增異減”四個(gè)單詞。 例如，y=，u=2-x在(-，2 )中是減法函數(shù)，y=在(0，)中是減法函數(shù)，y=在(-，2 )中是增加函數(shù)。注：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定方法為同增減。 在此不作嚴(yán)密論證，要求指導(dǎo)后顯而易見。二、方法和例題xyx系列11x1 .尺數(shù)形結(jié)合。求出方程式|x-1|=的正根的個(gè)數(shù)?！窘狻糠謩e描繪y=|x-1|和y=的圖像，由圖像可知兩者具有唯一的升交點(diǎn)，因此，方程式有正的根。例2求函數(shù)f(x)=的最大值。當(dāng)記錄f(x)=、點(diǎn)P(x，x2)、a

6、 (3，2 )、b (0，1 )時(shí)，f(x )表示從動(dòng)點(diǎn)p到點(diǎn)a和b的距離的差。|PA|-|PA|AB|=因此，等號(hào)僅在p為AB延長(zhǎng)線和拋物線y=x2的升交點(diǎn)的情況下成立。所以f(x)max=2、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用。令例3為x、y-r并且滿腳丫子，求x-y。設(shè)f(t)=t3 1997t，則先證f(t )在(-，)上增加。 實(shí)際上，如果是a0，則f(t )增加。根據(jù)問(wèn)題，假設(shè)f(x-1)=-1=f(1-y )，x-1=1-y，并且x y=2。例4奇函數(shù)f(x )在定義域(-1，1 )內(nèi)為減函數(shù)，另外在f(1-a) f(1-a2)0，求a的可取值的范圍。因?yàn)閒(x )是奇函數(shù)，所以如果f(1-a2)=

7、-f(a2-1)，根據(jù)題目設(shè)定f(1-a)0，則從得到n0，設(shè)定f(t )。 另外，因?yàn)閒(m)=f(-n )，所以m=-n，所以3x-1 2x-3=0，所以x=)m0且n0的情況。 同樣地存在m n=0、x=，但與m0相不符點(diǎn)定?？傊?，方程式中唯一的實(shí)數(shù)解x=3 .配置方法。例7求出函數(shù)y=x的值域。解釋： y=x=2x 1 2 1-1=(1)-1-1=-。當(dāng)x=-時(shí)，y取最小值-，因此函數(shù)值域?yàn)?，)。4 .兌換法。例8求出函數(shù)y=( 2)(1)、x- 0，1 的值域。因?yàn)槊?u是x-0，1，所以2u2=24，所以+/- 2，12，所以y因此，該函數(shù)值域是 2，8 。5 .判別式。例9求

8、函數(shù)y=的值域。由函數(shù)解析式得到的(y-1)x2 3(y 1)x 4y-4=0. 在y1的情況下，式關(guān)于x的方程式有實(shí)根。在=9(y 1)2-16(y-1)20下，解除y1。另外，當(dāng)y=1時(shí)，存在x=0的解析式成立因此，函數(shù)值域?yàn)椋?。6 .關(guān)于反函數(shù)。例10函數(shù)y=f(x )的定義域、值域都是r，并且存在反函數(shù)的情況。 當(dāng)f(x )以(-、)增加時(shí)，求證： y=f-1(x )也以(-、)為增函數(shù)?！咀C明】作為x10，f(x )以(-)增加，同理f(x )以(-)增加。在方程式f(x)=f-1(x )中，如果記作f(x)=f-1(x)=y，則y0，從f-1(x)=y得到f ()如果是xy的話，

9、即使是xy也會(huì)出現(xiàn)不符點(diǎn)。 所以x=y。即f(x)=x，化學(xué)簡(jiǎn)并性3x5 2x4-4x-1=0，即，(x-1)(3x4 5x3 5x2 5x 1)=0，因?yàn)閤0，所以在3 x 4、5 x 3、5 x 2、5 x 10中，x=1。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練問(wèn)題1.x=-1，0，1 、Y=-2，- 1，0，1，2 、映射f:XY滿腳丫子：對(duì)于任意的x-x給出a= 1，2，3 ，b=-1，0，1 和映射f:XY，如果f是單射，則f有_，如果f是滿射，則f有_ _ _ _ _個(gè)。 滿腳丫子ff(x)=f(x )的映射為3 .如果直線y=k(x-2 )和函數(shù)y=x2的2x圖像在點(diǎn)(-1，-1)處相交，則圖像和直線共享

10、_個(gè)升交點(diǎn)。4 .如果函數(shù)y=f(x )的值域是，則函數(shù)g(x)=f(x )的值域是5 .已知的f(x)=，函數(shù)g(x)=ff(x)的值域是已知f(x)=|x a|，當(dāng)x3時(shí)，如果f(x )是增加函數(shù)，則a的可取值的范圍為_。如果y=f(x )在定義域(，2 )中被設(shè)置為增函數(shù)，則y=f(x2-1)的單調(diào)減少區(qū)間變?yōu)? .如果在函數(shù)y=(x )中存在反函數(shù)y=-1(x )，則y=-1(x )的圖像和y=-(-x )的圖像關(guān)于直線是9 .當(dāng)函數(shù)f(x )滿足=1-時(shí)，f ()=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。10 .函數(shù)y=，x

11、(1，)的反函數(shù)是11 .求出以下函數(shù)的值域： (1)y=； y=； 3)y=x 2 (4) y=已知在r上定義的任何x-r，f(x)=f(x 2)并且在f(x )為偶函數(shù)并且x-2，3的情況下，滿足f(x )。四、高考水平的訓(xùn)練問(wèn)題已知的a-f (x )定義域是(0，1 )，而g (x )=f (x-a ) f (x )的定義域是假設(shè)2.0a1，則f(x)=(a-1)x2-6ax a 1總是為正值。 f(x )的定義域是映射f: a，b，c，d 1，2，3 滿足100，函數(shù)f(x )的定義域?yàn)閞，并且獲得f(x a)=證據(jù)： f11 .將與x相關(guān)聯(lián)的方程2x2-tx-2=0這兩條設(shè)為、()，

12、求出已知的函數(shù)f(x)=、(1)f()、f()。 (2)求證據(jù)： f(x )在，中是增函數(shù)。 (3)對(duì)于任意正數(shù)x1、x2，求出證據(jù)：2|-|。五、聯(lián)賽考試水平的訓(xùn)練問(wèn)題1 .奇函數(shù)f(x )包括函數(shù)f-1(x )，其中，在y=f(x )的圖像向上偏移三個(gè)單位，接著向右偏移兩個(gè)單位，然后關(guān)于直線y=-x對(duì)稱時(shí)，所獲得的曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)是如果a 0、a1和F(x )是奇函數(shù)，那么G(x)=F(x )就是奇偶性。如果3.=x，則下面的公式中正確的是_ _ _ _ _ .f (-2-x )=-2-f (x )。 F(-x)=； f (x-1 )=f (x ):f (x )=-x。假設(shè)函數(shù)f:RR滿足f(0)=1，并且對(duì)于任何x和y-r，存在f(xy1)=f(x)f(y)-f(y)-f(y )5.f(x )是在r上定義的函數(shù)，如果f(1)=1并且對(duì)于任何x-r來(lái)說(shuō)，通知f(x 5)f(x) 5，f(x1)f(x )的g(x)=f(x) 1-x，那么g (2002 )=_ _ _ .6 .函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞增區(qū)間是7 .函數(shù)f(x)=的奇數(shù)性是： _奇數(shù)函數(shù)、_ _ _ _ _雙位數(shù)函數(shù)(填寫為非)。8 .函數(shù)y=x的值域是f(x)=、對(duì)于任意的a-r，標(biāo)記為v (a )=max f (x