1、1、求冪級數(shù)收斂半徑的方法 2、復(fù)變函數(shù)泰勒展開條件與展開方法 3、復(fù)變函數(shù)洛朗展開條件與展開方法 4、極點階的確定,第三章 冪級數(shù)展開,重點內(nèi)容,3.1 復(fù)數(shù)項級數(shù),一、復(fù)數(shù)項級數(shù)定義及其收斂判據(jù),復(fù)數(shù)項級數(shù)定義：,每一項均為復(fù)數(shù),說明：,實數(shù)項級數(shù)是復(fù)數(shù)項級數(shù)的特例,一個復(fù)數(shù)項級數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個實數(shù)項級數(shù)來討論,2、復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂判據(jù)-Cauchy收斂判據(jù),（1）實數(shù)項級數(shù)的收斂定義,.,極限S稱為級數(shù)的和.,反之，稱為發(fā)散。,則稱級數(shù) 收斂。,（2） 復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂定義,.,則稱級數(shù) 收斂。,極限S稱為級數(shù)的和.,反之，稱為發(fā)散。,（3）實數(shù)項級數(shù)Cauchy收斂原理,成立。,對于任意

2、的自然數(shù)p 都有：,證明見高等數(shù)學(xué)教材。,（4）復(fù)數(shù)項級數(shù)Cauchy收斂原理,說明nN后面項的和為一小數(shù)，則級數(shù)收斂。,證明略,成立。,對于任意的自然數(shù)p 都有：,二、絕對收斂與一致收斂的概念及性質(zhì),1、 絕對收斂, 絕對收斂的定義,，,充分條件,常用判斷級數(shù)絕對值收斂的方法來判斷級數(shù)的收斂,或?qū)憺?、 、, 性質(zhì)：,c.改變絕對收斂級數(shù)各項的先后次序其和不變。,成立。,則稱級數(shù) 為一致收斂。,2、一致收斂, 一致收斂的定義,如果級數(shù)定義在區(qū)域B（或某曲線l）上，則在區(qū)域 B（或l）上的各點z，對于給定的小正數(shù)，存在與z無 關(guān)的正整數(shù)N,使得n N時，對于任意的自然數(shù)p恒有：, 性質(zhì)：,b、

3、在B上一致收斂的級數(shù)的每一項都是B上的連續(xù)函數(shù)， 則級數(shù)的和也是B上的連續(xù)函數(shù)。 在l上一致收斂的級數(shù)的每一項都是l上的連續(xù)函數(shù)，則 級數(shù)的和也是l上的連續(xù)函數(shù),而且級數(shù)可以沿l逐項積分。,c、在 中一致收斂的級數(shù)的每一項都在 中單值解析，則 級數(shù)的和也是 中的單值解析函數(shù)，其各階導(dǎo)數(shù)可由級數(shù) 逐項求導(dǎo)得到，且導(dǎo)數(shù)的級數(shù)在 內(nèi)的任意一個閉區(qū)域中 一致收斂。,a、一致收斂是對B或l而言，或者說是對復(fù)函數(shù)而言的。,三、級數(shù)絕對收斂性的常用判別法：,達朗貝爾（dAlembent） 判別法,對于級數(shù),如果（至少當(dāng)n充分大時）,柯西(Cauchy)判別法,高斯（Gauss）判別法,如果（至少當(dāng)n充分大時

4、）,其中p1，而n 是有界的。,3.2 冪級數(shù),一、冪級數(shù)表示,其中 都是復(fù)常數(shù)，這樣的級數(shù)稱為以z0為 中心的冪級數(shù)。,二、冪級數(shù)的收斂半徑及其求法：,1、收斂半徑R：,應(yīng)用正項級數(shù)的比值判別法可知,如果,則冪級數(shù)絕對收斂。否則發(fā)散。,引入記號R，,以為圓心作一個半徑為的圓，冪級數(shù)在圓的內(nèi)部絕對收斂，在圓外發(fā)散。這個圓稱為冪級數(shù)的收斂圓，它的半徑稱為收斂半徑。,1 冪級數(shù)絕對收斂；若1則發(fā)散。,收斂半徑為,對同一級數(shù)而言，兩種方法給出的收斂半徑相同。（證略）,2、Cauchy法求收斂半徑,應(yīng)用正項級數(shù)的根值判別法可知,如果,解：,級數(shù)的和為（幾何級數(shù)）,令,解,收斂半徑為,級數(shù)為,級數(shù)的和為

5、,例3 求下列級數(shù)的收斂半徑；,解：,，這是實數(shù)項級數(shù)，為收斂級數(shù)（P 級數(shù)）。,z=1時，級數(shù)為,2）,在收斂圓周上,當(dāng)z=0時，級數(shù)為：,當(dāng)z=2時，級數(shù)為:,-調(diào)和級數(shù)，級數(shù)發(fā)散,-交錯級數(shù)，由萊布尼茨準(zhǔn)則知級數(shù)收斂,三、冪級數(shù)性質(zhì),1、級數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對且一致收斂,證明,由,2、級數(shù)的和在收斂圓內(nèi)部是解析函數(shù)（無奇點）,證明,該級數(shù)在 上仍一致收斂，可以沿 逐項積分，再應(yīng)用 Cauchy公式，有,取 內(nèi)任一點z，用 同乘以等式兩邊，,這就是說，冪級數(shù)的和可以用連續(xù)函數(shù)的回路積分來表示，而連續(xù)函數(shù)的回路積分可在積分號下求導(dǎo)任意多次。所以，冪級數(shù)的和在收斂圓的內(nèi)部是解析函數(shù)。,3、冪級數(shù)在

6、收斂圓內(nèi)部可以逐項求導(dǎo)任意多次。,1、解析函數(shù)在收斂圓內(nèi)可以展開冪級數(shù),證明,f(z)在CR內(nèi)解析，則應(yīng)用Cauchy公式，在CR內(nèi)有,3.3 泰勒級數(shù)展開,、解析函數(shù)以冪級數(shù)展開問題,由（3.2.7）有,應(yīng)用Cauchy公式，逐項積分，有,解析函數(shù)在收斂圓內(nèi)展開的級數(shù)稱為泰勒級數(shù)。,1）解析函數(shù)在收斂圓內(nèi)以同一點為中心展為泰勒級數(shù)是 唯一的。（證明略）,2）若函數(shù)f(z)在收斂圓上或外部不解析，則函數(shù)與展開 的泰勒級數(shù)只有在收斂圓內(nèi)部才相等。,2、說明,二、解析函數(shù)展為泰勒級數(shù)舉例,1、直接展開法：,解：,也是解析的，而,故有：,收斂半徑：,（1）,在整個復(fù)平面上解析的，在,的鄰域上解析，,

7、解：,同理：,請同學(xué)們自己證明。,解：,2、間接展開法,f(z)=ln(1+z),解,3.4 解析延拓,一、問題的提出與解析延拓的概念,1、問題的提出,上式的左端的函數(shù)在很大的區(qū)域內(nèi)都是解析的，只有在 點不解析，但上式右端泰勒級數(shù)只在 區(qū) 域解析，這樣，我們可以說有兩個函數(shù)：,兩函數(shù)的關(guān)系：,函數(shù) 的解析區(qū)域大于 的解析區(qū)域,在小區(qū)域上,能否通過 找到 呢？,2.解析延拓：,若已知f(z)在某個鄰域b上解析，若能找到另一個函 數(shù)F(z)，使它在含有區(qū)域b的一個較大的鄰域上是解析的， 并且在區(qū)域b上等同于f(z)，這一過程稱為解析延拓。,解析延拓就是使得解析函數(shù)定義域擴大。,二、解析延拓的方法：

8、,利用泰勒級數(shù)方法進行。選區(qū)域b的內(nèi)點z0，在z0的鄰域上把解析函數(shù)展開。如果這收斂區(qū)域有一部分超出b，函數(shù)f(z)定義域就擴大了一步，再在超出部分的區(qū)域選定一點為中心展開，這樣反復(fù)下去就可以找到函數(shù)所有的解析區(qū)域了。,三.函數(shù)解析延拓的唯一性,函數(shù)f (z)通過某種方法進行了解析延拓，得到的函數(shù) 是唯一的。,證明,3.5 洛朗級數(shù)展開,一、洛朗級數(shù)的定義,含有負冪的冪級數(shù)稱為洛朗級數(shù)。,二、洛朗級數(shù)的收斂環(huán),洛朗級數(shù)通常有兩部分組成：,解析部分：,主要部分：,對主要部分做復(fù)數(shù)代換,在z平面的問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)討論。,在平面內(nèi)看來，它也是泰勒級數(shù)，收斂半徑為,收斂域即：,回到z平面上，收斂域為,解

9、析部分和主要部分都收斂的區(qū)域，洛朗級數(shù)才可能收斂。,三、洛朗定理,有時需要討論一個函數(shù)在它的奇點附近的性質(zhì)，需要把函數(shù)展開為冪級數(shù)進行討論。在這種情況下，顯然不能做泰勒展開，而洛朗級數(shù)將解決這一問題。,1.洛朗定理：,f(z)可展為冪級數(shù)：,證明,取 比外境界線稍小， 比內(nèi)境界線稍大，以不考慮圓周上的問題。,由復(fù)通區(qū)域的Cauchy公式，有,對于第一項有,所以有,（3）如果只有環(huán)心是f(z)的奇點，則內(nèi)圓半徑可以任意小。 這時的展開稱為孤立奇點 的鄰域內(nèi)展開。,四、函數(shù)的洛朗展開法：,幾點說明 （1）洛朗級數(shù)既可以在奇點附近展開，也可以在非奇點附 近展開。,解：z=0處是函數(shù)的奇點，其余在復(fù)平

10、面上收斂， 則收斂域為,解：函數(shù)f(z)存在兩個奇點：z=1，z=2，函數(shù)在上述兩環(huán)域 中均解析。級數(shù)中心均指定為z=1。,例3 求ctgz在z=0的鄰域內(nèi)的洛朗展開。,解：用待定系數(shù)法。,ctgz是奇函數(shù)，設(shè),有,由此推得：,解,函數(shù)有兩個奇點 z=0 , z=-1。函數(shù)在給定的區(qū)域解析。,對于D1區(qū)域：,對于D2區(qū)域，請同學(xué)們自己求解。,3.6 孤立奇點的分類,一、孤立奇點與非孤立奇點,函數(shù)f(z)在z0不可導(dǎo)，而在z0點的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，此,z0稱為f(z)的孤立奇點。,2.非孤立奇點：,一點使f(z)在該點處不可導(dǎo)，此點稱為非孤立奇點。,1.孤立奇點：,函數(shù)f(z)在z0的鄰域內(nèi)除在z

11、0點不可導(dǎo)以外，還至少存在,解,注意: 孤立奇點一定是奇點, 但奇點不一定是孤立奇點.,因此，z=0是這兩個函數(shù)的孤立奇點。,不再有其它奇點。,解,函數(shù)的奇點為,因為,（1）可去奇點：,該點稱為可去奇點。,冪項）：,二、孤立奇點的分類及性質(zhì)：,1.孤立奇點的分類：,說明:,據(jù)此顯然有,是有限的。即函數(shù)在可去奇點的領(lǐng)域上是有界的。,不再是函數(shù) 的奇點。可去奇點今后將不作為奇點看待。,可去奇點的判定, 由定義判斷:, 判斷極限,若極限存在且為有限值,如果補充定義:,時,級數(shù)中不含負冪項,所以,解,解,無負冪項,另解,（2）極點：,（只有有限項負冪項），z0稱為極點，m稱為極點的階。,極點的判定方法,在點 的某去心鄰域內(nèi),其中 在 的鄰域內(nèi)解析, 且, 由定義判別, 由定義的等價形式判別,解,是解析函數(shù)。,解,所以,的奇點, 如果是極點, 指出它的級數(shù)。,（3）本性奇點,例如，,含有無窮多個z 的負冪項,所以z=0為本性奇點，,綜上所述:,孤立奇點,可去奇點,m級極點,本性奇點,洛朗級數(shù)特點,存在且為 有限值,不存在且不為,無負冪項,含無窮多個負冪項,如果 且 ，那么 級數(shù) 收斂.,交錯級數(shù)的收斂準(zhǔn)則(萊布尼茲準(zhǔn)則)：,返回,函數(shù)f (z