1、第3章 3.2 第3課時(本欄目內容，在學生用書中以活頁形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1如圖，正棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A.B.C. D.解析：以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，設AB1.則B(1,1,0)，A1(1,0,2)，A(1,0,0)，D1(0,0,2)(0,1，2)，(1,0,2)cos，異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為，故選D.答案：D2若正三棱錐的側面都是直角三角形，則側面與底面所成的二面角的余弦值為()A. B.C. D.解析：設正

2、三棱錐PABC，PA，PB，PC兩兩互相垂直，設PAPBPCa.取AB的中點D，連結PD、CD，易知PDC為側面PAB與底面ABC所成的角易求PDa，CDa，故cosPDC.答案：B3若平面的一個法向量n(2,1,1)，直線l的一個方向向量為a(1,2,3)，則l與所成角的正弦值為()A. B.C D.解析：cosa，n.答案：B4二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，則該二面角的大小為()A150 B45C60 D120解析：由條件，知0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，(2)2，co

3、s，120，二面角的大小為60.故選C.答案：C二、填空題(每小題5分，共10分)5正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是_解析：如圖，以DA、DC、DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，取正方體的棱長為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，易證是平面A1BD的一個法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1與平面A1BD所成角的正弦值為.答案：6正ABC與正BCD所在平面垂直，則二面角ABDC的余弦值為_解析：取BC中點O，連結AO，DO.建立如右圖所示坐標系，設BC1，則A，B，D.，.由于為面BCD的法向

4、量，可進一步求出面ABD的一個法向量n(1，1)，cosn，.答案：三、解答題(每小題10分，共20分)7在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12，E，F(xiàn)分別是線段AB、BC上的點，且EBBF1，求直線EC1與FD1所成角的余弦值解析：以D為坐標原點，分別為x軸、y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系則有D1(0,0,2)，E(3,3,0)，F(xiàn)(2,4,0)，C1(0,4,2)，于是(3,1,2)，(2，4,2)，設與所成的角為，則cos ，所以直線EC1與FD1所成的角的余弦值為.8.如圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E為BC的中點

5、，F(xiàn)為CC1的中點(1)求EF與平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角FDEC的余弦值解析：建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(xiàn)(0,2,2)(1)(1,0,2)，易得平面ABCD的一個法向量為n(0,0,1)，設與n的夾角為，則cos ，EF與平面ABCD所成的角的余弦值為.(2)(1,0,2)，(0,2,2)，設平面DEF的一個法向量為m，則m0，m0，可得m(2，1,1)，cosm，n，二面角FDEC的余弦值為.尖子生題庫9(10分)如圖所示，在三棱錐PABC中，PA底面ABC，PAAB

6、，ABC60，BCA90，點D，E分別在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求證：BC平面PAC；(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點E，使得二面角ADEP為直二面角？并說明理由解析：以A為原點，分別為y軸、z軸的正方向，過A點且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標系Axyz，設PAa，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a,0)，C，P(0,0，a)(1)證明：(0,0，a)，0，BCAP.又BCA90，BCAC，BC平面PAC.(2)D為PB的中點，DEBC，E為PC的中點，D，E，由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足為點E.DAE是AD與平面PAC所成的角，cosDAE，AD與平面PAC所成的角的正弦值為.(3)DEBC，又由(1)知BC平面PAC，DE平面PAC，又AE平面PAC，