1、4.1一元二次方程,教學(xué)目標(biāo) 1、通過探索實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律，經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進(jìn)一步使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效的數(shù)學(xué)模型。 2、通過觀察，歸納一元二次方程的概念。,如圖，正方形桌面的面積是2m2，求它的邊長(zhǎng),解：設(shè)正方形桌面的邊長(zhǎng)是x m 根據(jù)題意，得 x2 =2,x2 =2,如圖，矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長(zhǎng)度是19m，如果花圃的面積是24m2。求花圃的長(zhǎng)和寬。,解：設(shè)花圃的寬是xm，則花圃的長(zhǎng)是 (19-2x)m 根據(jù)題意，得 x(19-2x)=24 整理，得 -2x2+19x=24,x2 =2,-2x2+19x=24,某校圖書館的

2、藏書在兩年內(nèi)從5萬冊(cè)增加到7.2萬冊(cè)，平均每年增長(zhǎng)的百分率是多少？,解：設(shè)平均每年增長(zhǎng)的百分率是x 根據(jù)題意，得 5(1+x)2=72 整理，得 x2+2x=0.44,-2x2+19x=24,x2 =2,x2+2x=0.44,觀察上面列出的x2=2、-2x2+19x=24、 x2+2x=0.44，3個(gè)方程，顯然，這三個(gè)方程都不是一元一次方程。那么這三個(gè)方程與一元一次方程的區(qū)別在哪里？它們有什么共同特點(diǎn)呢？,歸納：像上述方程這樣，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程。,注：符合一元二次方程即符合三個(gè)條件：一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)為2；整式方程,任何一個(gè)關(guān)于x的一元

3、二次方程都可以化成下面的形式：ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a0） 這種形式叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2、bx、c分別叫做二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)。a、b分別叫做二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。,如果a=0，那么ax2 +bx+c=0就不是一元二次方程了。,說明：一元二次方程的一般形式ax2bxc=0（a0）具有兩個(gè)特征：一是方程的右邊為0；二是左邊的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0。此外要意識(shí)到：二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)都是包括符號(hào)的。,例1：判斷下列關(guān)于x的方程是否為一元二次方程： （1） 2（x21）= 3y （ ） （2） （x3）2=（x5）2 （ ） （3） mx

4、23x2 = 0 （ ） （4） （a21）x2（2a1）x5a = 0（ ）,例1：判斷下列方程是否為一元二次方程： （1） 2(x21)=3y （ ） （2） (x3)2=(x5)2 （ ） （3） mx23x2=0 (m是常數(shù)) （ ） （4） (a21)x2(2a1)x5a=0 (a是常數(shù)) （ ）,例2：把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次 項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)： （1）x2-x=2 （2）4x+1=x2 （3）2x2=-3x+1 （4）x(x+3)=-2,x2-x-2=0 x2 1 -x -1 -2,x2-4x-1=0 x2 1 -4x -4 -1,2x2+

5、3x-1=0 2x2 2 3x 3 -1,x2+3x+2=0 x2 1 3x 3 2,x2-x-2=0,x2-4x-1=0,2x2+3x-1=0,x2+3x+2=0,例3：方程(2a-4)x2-2bx+a=0,在什么條件下此方程為一 元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？,解：當(dāng)a2時(shí)是一元二次方程；,當(dāng)a2，b0時(shí)是一元一次方程。,（三）、練習(xí) 1、把下列方程化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。 （1） 2(x21)=3x 解:一般形式為:2x23x-2=0； 二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)系數(shù)為-3；常數(shù)項(xiàng)為-2。 （2) 6y2=y 解:一般形式為:6y2y=0； 二

6、次項(xiàng)系數(shù)為6；一次項(xiàng)系數(shù)為-1；常數(shù)項(xiàng)為0。,解:一般形式為:2x23x-2=0； 二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)系數(shù)為-3；常數(shù)項(xiàng)為-2。,解:一般形式為:6y2y=0； 二次項(xiàng)系數(shù)為6；一次項(xiàng)系數(shù)為-1；常數(shù)項(xiàng)為0。,（3） (x-2)(x+3)=8 解:一般形式為:x2+x-14=0； 二次項(xiàng)系數(shù)為1；一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為-14。 （4） (x+3)(3x-4)=(x+2)2 解:一般形式為:2x2+x-16=0； 二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為-16。,解:一般形式為:x2+x-14=0； 二次項(xiàng)系數(shù)為1；一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為-14。,解:一般形式為:2x2+x-16=0；

7、二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)系數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)為-16。,2、根據(jù)題意，列出方程： （1）剪出一張面積是240cm2的長(zhǎng)方形彩紙，使它的長(zhǎng)比寬多8cm，這張彩紙的長(zhǎng)是多少？ 解：設(shè)這張彩紙的長(zhǎng)是xcm，則寬是(x-8)cm 根據(jù)題意，得 x(x-8)=240 （2）一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，已知正方形面積是圓面積的1/9,求圓的半徑。 解：設(shè)圓的半徑是xcm 根據(jù)題意，得 x2 =9,解：設(shè)這張彩紙的長(zhǎng)是xcm，則寬是(x-8)cm 根據(jù)題意，得 x(x-8)=240,解：設(shè)圓的半徑是xcm 根據(jù)題意，得 x2 =9,（3）某學(xué)校圖書館去年年底有圖書1萬冊(cè)，預(yù)計(jì)到明年年底增加到

8、1.44萬冊(cè)。求這兩年圖書的年平均增長(zhǎng)率。 解：設(shè)這兩年圖書的年平均增長(zhǎng)率是x 根據(jù)題意，得 (1+x)2 =1.44 （4）一塊面積為600平方厘米的長(zhǎng)方形紙片，把它的一邊剪短10厘米，恰好得到一個(gè)正方形。求這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。 解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是xcm 根據(jù)題意，得 x(x+10)=600,解：設(shè)這兩年圖書的年平均增長(zhǎng)率是x 根據(jù)題意，得 (1+x)2 =1.44,解：設(shè)這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是x厘米 根據(jù)題意，得 x(x+10)=600,3、關(guān)于的方程（m-3）x2+nx+m=0，在什么條件下是一元二次方程？在什么條件下是一元一次方程？,解：當(dāng)m3時(shí)是一元二次方程； 當(dāng)m3，n0時(shí)是一元一

9、次方程。,（五）小結(jié)： 1、只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式為ax2bxc=0（a、b、c是常數(shù),a0），一元二次方程的項(xiàng)及系數(shù)都是根據(jù)一般式定義的，這與多項(xiàng)式中的項(xiàng)、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的。 3、在實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中，體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性和重要性。,布置作業(yè)： 課本第82頁習(xí)題1,如圖，長(zhǎng)5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3m，如果梯子底端向右滑動(dòng)的距離與梯子頂端向下滑動(dòng)的距離相等，求梯子滑動(dòng)的距離。,解：設(shè)梯子滑動(dòng)的距離是xm。根據(jù)勾股定理，滑動(dòng)的梯子的頂端離地面4m，則滑動(dòng)后梯子的頂端離地面(4-x)m，梯子的底端與墻的距離是(3+x)m 根