1、第一章 概率論的基本概念本章要求1.應(yīng)深刻理解隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間和隨機(jī)事件的概念，熟練掌握事件之間的關(guān)系與事件的運(yùn)算(包含并、交、互斥、對(duì)立)。2.頻率的穩(wěn)定性是概率定義的基礎(chǔ)，弄清頻率與概率的關(guān)系，對(duì)正確理解隨機(jī)事件的概率定義是非常重要的。并應(yīng)熟練掌握概率的有關(guān)性質(zhì)及概率的運(yùn)算。3.掌握古典概型的概率定義及計(jì)算。古典概型是各類概率模型中最基本的一種。它簡(jiǎn)單而直觀，讀者可以利用古典概型的實(shí)例來(lái)幫助對(duì)各種概念的理解。4.掌握條件概率和與條件概率有關(guān)的三個(gè)公式:乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式。5.理解隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)的獨(dú)立性的概念,了解事件互斥、互逆和相互獨(dú)立的三者之間的關(guān)系及區(qū)別，要求做到概

2、念清晰、計(jì)算正確。在社會(huì)生活與生產(chǎn)活動(dòng)中存在著大量的隨機(jī)現(xiàn)象，雖然這種現(xiàn)象以偶然性為特征,但它確實(shí)存在一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，概率論就是一門以隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支。概率論的產(chǎn)生,還有一段名聲不好的故事。17世紀(jì)的一天，保羅與著名的賭俠梅爾賭錢，他們事先每人拿出6枚金幣，然后玩骰子，約定誰(shuí)先勝三局誰(shuí)就得到12枚金幣。比賽開始后，保羅勝了一局，梅爾勝了兩局。這時(shí)一件意外的事中斷了他們的賭博。于是，他們商量這12枚金幣應(yīng)怎樣合理的分配。保羅認(rèn)為，根據(jù)勝的局?jǐn)?shù)，他應(yīng)得到總數(shù)的，即4枚金幣，梅爾應(yīng)得總數(shù)的，即8枚金幣。但精通賭博的梅爾認(rèn)為他贏的可能性大，所以他應(yīng)該得全部賭金。于是他們請(qǐng)求數(shù)學(xué)家

3、帕斯卡評(píng)判。帕斯卡得到答案后，又求教與數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬。他們的一致裁決是:保羅應(yīng)分3枚金幣，梅爾應(yīng)分9枚金幣。帕斯卡是這樣決定的，如果在玩一局，或是梅爾勝，或是保羅勝。如梅爾勝，那么他可以得到全部金幣（記為1）；如果保羅勝，那么兩人各勝兩局，應(yīng)各得金幣的一半（記為）。由于這一局中兩人獲勝的可能性相等。因此梅爾得金幣的可能性應(yīng)是兩種可能性大小的一半，另一半為保羅所有，即梅爾為（1+1/2）/2=3/4，所以他們應(yīng)各得9枚和3枚金幣。費(fèi)爾馬是這樣考慮的：如果再玩兩局，會(huì)出現(xiàn)四種可能的結(jié)果：（梅爾勝，保羅勝）；（保羅勝，梅爾勝）；（梅爾勝，梅爾勝）；（保羅勝，保羅勝）。其中三種結(jié)果都使梅爾取勝，只有第四

4、種結(jié)果才能使保羅取勝。所以梅爾取勝的概率為，保羅取勝的概率為。這與帕斯卡的答案一致，費(fèi)爾馬的做法正與古典概型的概率問(wèn)題是一致的。帕斯卡和費(fèi)爾馬還研究了有關(guān)這類隨機(jī)事件的更一般的規(guī)律，由此開始了概率論的早期研究工作。內(nèi)容提要與疑難解析一、隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件 1.隨機(jī)試驗(yàn)若試驗(yàn)滿足條件：(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行；(2)試驗(yàn)的結(jié)果具有很多可能性；(3)試驗(yàn)前不能確切知道會(huì)出現(xiàn)何種結(jié)果，只知道所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。這樣的試驗(yàn)叫做隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，記為。2.樣本空間、樣本點(diǎn)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間，記為。樣本空間的元素，即的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)，記為。3.隨機(jī)事件 試驗(yàn)的樣

5、本空間的子集叫做隨機(jī)試驗(yàn)的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。用大寫字母等表示。在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生。4.基本事件、必然事件、不可能事件由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件，基本事件也叫樣本點(diǎn)。樣本空間包含所有樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總是要發(fā)生的，稱為必然事件。每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件，稱為不可能事件，記為。二、事件的關(guān)系及運(yùn)算1子事件 若事件發(fā)生，必然導(dǎo)致事件發(fā)生，則稱事件是的子事件，記作，或。2等事件 若且，則稱事件與相等，記作=。3和事件 事件和事件至少有一個(gè)發(fā)生的事件，稱為和的和事件，記作。用表示中至少有一個(gè)發(fā)生的事件。4積事件 事件和同時(shí)發(fā)生的事件，稱為

6、與的積事件，記為或。用表示同時(shí)發(fā)生的事件。5差事件 表示發(fā)生而不發(fā)生的事件，稱為與的差事件，記作。6互斥事件（或互不相容事件）若事件與不能同時(shí)發(fā)生，即，則稱與是互斥事件。反之，稱與相容。7事件（或逆事件）若,且，稱A與B互為對(duì)立事件（或逆事件），記。注意：對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。8 事件的運(yùn)算律（1） 交換律：；（2） 結(jié)合律：；（3） 分配律：； （4） 德、摩根律： ；（5） 對(duì)減法運(yùn)算滿足 (或)；事件之間的關(guān)系及運(yùn)算與集合論中的集合之間的關(guān)系及運(yùn)算是完全相似，但在概率論中很重要的一點(diǎn)是要學(xué)會(huì)用這些關(guān)系及運(yùn)算來(lái)表示各種各樣的事件。三、頻率與概率1頻率 用表示在

7、n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的次數(shù)，比值叫做在n次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的頻率。頻率的性質(zhì): （1）；（2） ；（3） 若，則2 概率的定義 隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性大小的度量值稱為事件A的概率，記為且集合函數(shù)滿足下列條件： 對(duì)于每一個(gè)事件A,有； ；若， 是兩兩互不相容的事件，則有。概率的性質(zhì):性質(zhì)1 設(shè)有有限個(gè)兩兩互斥的事件,，則；性質(zhì)2 設(shè)是A的對(duì)立事件，則性質(zhì)3 設(shè)，則，；性質(zhì)4 上述可推廣到幾個(gè)事件情形。注意 性質(zhì)1與性質(zhì)4的區(qū)別：僅當(dāng)是互斥事件時(shí)才可用性質(zhì)1。巧妙運(yùn)用性質(zhì)2，當(dāng)直接計(jì)算比較麻煩，而計(jì)算比較方便時(shí)，就可先求。一般講，求若干事件之中“至少”出現(xiàn)其中一件的概率，求其對(duì)立事件的概率較為簡(jiǎn)便。四、古

8、典概型1古典概型 隨機(jī)試驗(yàn)E具有以下兩個(gè)特征：樣本空間的元素（即基本事件）只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的。稱E為古典概型試驗(yàn)。2古典概率 在古典概型的情況下，事件A的概率定義為 注意：計(jì)算古典概率時(shí)，首先要弄清隨機(jī)試驗(yàn)是什么？即判斷有限性和等可能性是否滿足，其次要弄清樣本空間是怎樣構(gòu)成的，構(gòu)成樣本空間的每個(gè)基本事件出現(xiàn)一定要等可能的。忽略了這一點(diǎn)，就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。例1.同時(shí)擲兩顆骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率。解 設(shè)A表示出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為7的事件。 用同時(shí)擲兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之和構(gòu)成樣本空間為：，共有11個(gè)樣本點(diǎn)。A=7, 把兩顆骰子標(biāo)上1號(hào)和2號(hào)，用（1，3）表示1號(hào)骰子出現(xiàn)點(diǎn)

9、數(shù)1，2號(hào)骰子出現(xiàn)點(diǎn)3，則試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的樣本空間為：共有36個(gè)樣本點(diǎn)。上述兩種做法中法是正確的，而法是錯(cuò)誤的。作為古典概型問(wèn)題。中各樣本點(diǎn)出現(xiàn)不是等可能的，而中各樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的。而法的錯(cuò)誤對(duì)初學(xué)者又是很容易出現(xiàn)的。因此應(yīng)引起足夠的重視。古典概型研究的對(duì)象大致可分為三類問(wèn)題：摸球；分房；隨機(jī)取數(shù)（電話號(hào)碼）問(wèn)題。這幾類問(wèn)題的餓解決方法將在典型例題或練習(xí)題中給出。4幾何概率 設(shè)在平面上有某一區(qū)域S，而區(qū)域A是它的一部分，在區(qū)域內(nèi)任意投擲一點(diǎn)，假設(shè)該點(diǎn)落在任意一點(diǎn)處都是等可能的，并且落在區(qū)域的任何部分A內(nèi)的概率，只與這部分的面積成正比例，而與其位置與形狀無(wú)關(guān)，則在區(qū)域內(nèi)投擲一點(diǎn)而落在區(qū)域A內(nèi)

10、的概率為 如果將上述定義中的G（A）與G（S）分別理解為直線上區(qū)間的長(zhǎng)度及空間的體積時(shí)，有 及 顯然幾何概率是古典概率的推廣。五、條件概率及有關(guān)公式1條件概率 在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下計(jì)算事件B發(fā)生的概率,稱 為事件B在事件A發(fā)生條件下的條件概率,記作(P(B|A),有如下公式: 注意：條件概率仍滿足概率的三條公理，具有一般概率的性質(zhì)。2乘法公式 若時(shí)則有注意：在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不要把求的問(wèn)題誤以為是求的問(wèn)題，現(xiàn)介紹兩者的區(qū)別如下： 從樣本空間上是講，計(jì)算 的樣本空間為S，計(jì)算 的樣本空間為A。 凡涉及事件A與B“同時(shí)”發(fā)生，用 ，“有包含”關(guān)系或主從條件關(guān)系的用。例2 某種動(dòng)物由出生活到20

11、歲的概率為0.8，活到25歲的概率為0.4，問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物活到25歲的概率是多少？解 A=活到20歲以上，B=活到25歲以上，顯然，故該問(wèn)題屬于條件概率。例3.某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格產(chǎn)品中有75件一等品，試求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品的概率。解 A=任取一件是合格品，B=任取一件是一等品。因?yàn)樗蟮氖窃谀硰S的產(chǎn)品中任取一件，即樣本空間是某廠的產(chǎn)品，因此這是屬于問(wèn)題。3全概率公式 如果事件組滿足：互斥，且則 對(duì)任一事件A皆有：注意：由諸多原因可引發(fā)某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡(jiǎn)單地看作這諸多事件的和，這樣的概率問(wèn)題屬于全概類型。用全概率公式求解的概率問(wèn)題關(guān)鍵在于尋找完備

12、事件組，如何找，（這是難點(diǎn)）下列兩點(diǎn)可予考慮。 每個(gè)都是導(dǎo)致A發(fā)生的原因之一，即用找原因的方法找比較方便。 如果樣本空間S能寫出來(lái)，求S的一個(gè)劃分是比較容易的，如果試驗(yàn)E是由幾個(gè)不同的試驗(yàn)復(fù)合而成。即，而所求的概率是最后一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的一個(gè)概率，則可把倒數(shù)第二個(gè)試驗(yàn)的樣本空間進(jìn)行劃分。例4 盒中有14個(gè)乒乓球，其中有10個(gè)是新的。第一次比賽時(shí)，從中任取4個(gè)來(lái)用，比賽后放回盒中；第二次比賽時(shí)，再?gòu)暮兄腥稳?個(gè)，求第二次取的球都是新球的概率。 解 . 設(shè)A=第二次取出的4個(gè)球全是新球。導(dǎo)致A發(fā)生的原因是什么？與第二次取球時(shí)剩幾個(gè)新球有關(guān)，即第一次取出的4個(gè)球中有幾個(gè)新球有關(guān)。于是我們找到了A發(fā)生的一

13、組原因，則有由全概率公式解 .：第一次從盒中取出4個(gè)球。 ：第一次用過(guò)的球放回盒后，第二次取4個(gè)球。 顯然，A=第二次從盒中取出的都是新球，則A是最后一次試驗(yàn)的結(jié)果。倒數(shù)第二個(gè)試驗(yàn)的樣本空間，其中，表示取出的4個(gè)球中含k個(gè)新球的結(jié)果，故可劃分為，且，含基本事件數(shù)分別為1，40，270，480，210，顯然故由全概率公式得與相同的結(jié)果。1.貝葉斯公式 在全概率公式的條件下，若，由條件概率的定義有 注意：在全概率公式和貝葉斯公式中的是導(dǎo)致結(jié)果A的原因：概括起來(lái)，由因溯果用全概率公式，由果溯因用貝葉斯公式。六、獨(dú)立性1.獨(dú)立事件 如果兩事件中任一事件的發(fā)生不影響另一事件的概率，則稱這兩事件是相互獨(dú)立

14、的，即； 另外可定義 若，則稱兩事件A和B是相互獨(dú)立的。2.幾個(gè)事件獨(dú)立 如果對(duì)于任一組（每組?。仁?總成立，則稱事件是相互獨(dú)立。注意：相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立。兩兩相互獨(dú)立相互獨(dú)立。四對(duì)事件A,B;,B;A,之中有一對(duì)相互獨(dú)立，則另外三對(duì)也相互獨(dú)立。獨(dú)立與互斥的區(qū)別：兩事件A，B獨(dú)立，則常有，即A與B非互斥。事實(shí)上，若A與B互斥，則而當(dāng)時(shí)，可知。因此兩事件互斥并不能得出這兩個(gè)事件就獨(dú)立的結(jié)論。典型例題例1 . 某地區(qū)有1000人是1925年出生的，隨機(jī)試驗(yàn)E：考察到2000年還有幾個(gè)人活著。問(wèn)（1） E的樣本空間是什么？（2） 設(shè)A=只有10人活著，B=至少有30人活者，C=最多有5人活著。

15、 則A與B，A與C，B與C是否互不相容？A、B、C的對(duì)立事件是什么？ 解（1） 這是E的所有可能結(jié)果，故E的樣本空間為： （2）。由于A與B，B與C，A與C都互不相容。注意：我們所考慮的事件的運(yùn)算是對(duì)同一試驗(yàn)中的事件而言的。例2 . 袋中有9個(gè)球，4個(gè)白球，5個(gè)黑球，現(xiàn)從中任取兩個(gè)，求 兩個(gè)均為白球的概率； 兩個(gè)球中有一個(gè)是白的，另一個(gè)是黑的概率； 至少有一個(gè)是黑球的概率。解：（1）設(shè)，隨機(jī)試驗(yàn)為從9個(gè)球中任取兩個(gè)。方法一，假設(shè)取球與先后次序有關(guān)，則基本事件總數(shù)為，且每事件為等可能的，A含基本事件個(gè)數(shù)為故方法二，假設(shè)取球與先后次序無(wú)關(guān)，則基本事件總數(shù)為，且每事件為等可能的，A含基本事件個(gè)數(shù)為，

16、故 （3） 設(shè)方法一，取球與先后次序有關(guān)，則基本事件總數(shù)為，事件B的基本事件個(gè)數(shù)為故 方法二，取球與先后次序無(wú)關(guān)，則基本事件總數(shù)為故 (3)設(shè)C=至少有一個(gè)黑球，則，故 例3.設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中恰有m個(gè)人。（1）指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人??；（2）恰有n個(gè)房間各有一個(gè)人；（3）某指定的房間中恰有m個(gè)。解：將幾個(gè)人等可能地分配到N間房中去，S中有個(gè)基本事件（每一個(gè)人分配到N間房中去都有N種方法，因?yàn)闆]有限制每間房住多少人）。設(shè)A=指定的n間房里各有一人?。豢疾霢：n個(gè)人要分到指定的n間房中去，使每間房各有一人。第一個(gè)人，有n種分法；第二個(gè)人有n-1種最后一間給第n個(gè)人，

17、所以共有n!種分法。設(shè)B=恰有n間房里各有一人，考察B：n個(gè)人要分到指定的n間房中去，使每間房有一人，有n!種分法，而n間房未指定，所以可以從N中任意選取，故有種方法。設(shè)C=某指定的房間恰有m個(gè)人?？疾霤：首先從n個(gè)人中任選m個(gè)人分配到指定的某一房間中去，有種選法，再把剩下的n-m個(gè)人分配到N-1個(gè)房間去的分法有種。注意：上例是古典概型中的分房問(wèn)題。人與房子都是有其特性的，處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要弄清什么是“人”，什么是“房”，一般不可顛倒。例如有n個(gè)人的生日問(wèn)題；幾封信裝n個(gè)信封問(wèn)題（配對(duì)問(wèn)題）；球在盒中的分布問(wèn)題（把球看成“人”）等都是類似于分房問(wèn)題。例4. 某班有12名大學(xué)生是1980年出生的

18、，試求下列事件的概率：至少有2人是同日生；至少有1人在五月一日出生。解 這是古典概型的概率問(wèn)題。這類問(wèn)題首先要弄清樣本空間中有多少個(gè)樣本點(diǎn)，其次弄清事件包含了幾個(gè)樣本點(diǎn)。與分房問(wèn)題類似，S含有個(gè)基本事件。設(shè)A=至少有2人同日生，則=沒有2人的生日是同一天，含有基本事件數(shù)為，故設(shè)B=至少有一人在五月一日過(guò)生日，=沒有一個(gè)人的生日是在五月一日。含有個(gè)基本事件，則例5. 從n雙不同的鞋子中任取2r（2rn）只鞋，求下列事件發(fā)生的概率：沒有成對(duì)的鞋子；只有一對(duì)鞋子；恰有兩對(duì)鞋子；有r對(duì)鞋子。解： 此問(wèn)題是古典概型問(wèn)題。樣本空間含基本事件總數(shù)為。設(shè)A=沒有成對(duì)的鞋子，A中含基本事件數(shù)：先從n雙中取出2r

19、雙，再?gòu)拿侩p中取出一只，即故 設(shè)B=只有一雙成對(duì)的鞋子，B中含基本事件數(shù)：先從n雙中取出一雙，其兩只全取出，再?gòu)氖Ｏ碌膎-1雙中取出2r-2雙，從其每雙中取出一只，即故 設(shè)C=恰有兩對(duì)鞋子，C中含基本事件數(shù)：，故有 例6.（約會(huì)問(wèn)題），兩人約定于7點(diǎn)到8點(diǎn)在某地會(huì)面，試求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率。先到者等半小時(shí)再離去，求兩人能會(huì)面的概率。解 設(shè)x,y分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，則，此兩人到達(dá)時(shí)間（x,y）與（圖1-1）中正方形CDEF內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的。設(shè)A表示事件“其中一人必須等另外一人的時(shí)間小時(shí)以上”，則A發(fā)生意味著滿足如下的不等式。,由幾何概率得(2)兩人都會(huì)面的充要條件是：，則。注意

20、：約會(huì)問(wèn)題中，一般總希望見到面的概率大一點(diǎn)，這就要求相互等候的時(shí)間長(zhǎng)一點(diǎn)，而輪船?？繒r(shí)卻相反，希望不會(huì)面的概率大一點(diǎn)，這就要相互等候的時(shí)間短一點(diǎn)（如約會(huì)問(wèn)題）。例7. （抽簽問(wèn)題）甲、乙、丙三人以抽簽方式?jīng)Q定誰(shuí)將得到唯一一張電影票，將兩個(gè)黑球一個(gè)紅球放入袋中，甲、乙、丙依次摸球，摸到紅球者將得到電影票。 如果讓甲先摸，結(jié)果甲摸到紅球，試問(wèn)乙和丙是否吃虧了？他們?yōu)楹瓮庥杉紫让?甲摸到了紅球的概率是，而當(dāng)已知甲摸到黑球時(shí)，乙摸到紅球概率是，甲是否吃虧？解：設(shè)分別表示甲、乙、丙摸到紅球的事件，則故每人得到電影票的概率是一樣的，這是用乘法公式再次證明抽簽不必爭(zhēng)先恐后。（2）乙摸到紅球這一事件的發(fā)生

21、與兩個(gè)因素有關(guān)；甲摸到紅球或黑球。由全概率公式：由全概率公式再次證明了無(wú)論先后次序如何，抽得幸運(yùn)簽的概率是相等的。例8 設(shè)在某次世界女排賽中，中國(guó)人取得決賽權(quán)。中國(guó)隊(duì)要與日本隊(duì)與美國(guó)隊(duì)的勝者爭(zhēng)奪冠軍，根據(jù)以往的戰(zhàn)績(jī)，中國(guó)隊(duì)?wèi)?zhàn)勝日本隊(duì)、美國(guó)隊(duì)的概率分別為0.9與0.4，而日本隊(duì)?wèi)?zhàn)勝美國(guó)隊(duì)的概率為0.5，求中國(guó)隊(duì)取得冠軍的概率。解：由題意，未完成的日美半決賽誰(shuí)勝是中國(guó)隊(duì)奪冠的兩大因素。設(shè)A=中國(guó)隊(duì)奪得冠軍,B1=日本隊(duì)勝美國(guó),B2=美國(guó)隊(duì)勝日本,由全概率公式例9 發(fā)報(bào)臺(tái)分別以概率0.6和0.4發(fā)出信號(hào)“”和“-”，由于通訊系統(tǒng)受到干擾，當(dāng)發(fā)生信號(hào)“”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)未收到信號(hào)“”而是分別以概率0.8和0

22、.2收到信號(hào)“”和“-”.同樣，當(dāng)發(fā)生信號(hào)“-”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)分別以概率0.9和0.1收到收到信號(hào)“-”和“”，求（1） 收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“”的概率；（2） 當(dāng)收?qǐng)?bào)臺(tái)收到信號(hào)“”時(shí)，收?qǐng)?bào)臺(tái)是發(fā)出信號(hào)“”的該了概率？解：設(shè)分別為發(fā)生的信號(hào)“”和“-”，則（1） 由全概率公式（2） 由貝葉斯公式就是收到信號(hào)“”在發(fā)出信號(hào)“”所占的百分比。例10 兩射手彼此獨(dú)立向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲擊中的概率為0.8，已擊中的概率為0.6，求目標(biāo)被擊中的概率？解：設(shè)A=甲擊中目標(biāo),B=乙擊中目標(biāo),C=目標(biāo)被擊中 例11 加工某一零件共需要經(jīng)過(guò)四道工序，設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別為2%、3%、5%、3%，假使各道工

23、序是互不影響的，求加工出來(lái)的零件的次品率。解： 為使計(jì)算簡(jiǎn)便，應(yīng)先算合格品率。設(shè)，則為產(chǎn)品合格的事件，故有，由的獨(dú)立性，例12 已知一個(gè)家庭有三個(gè)小孩，且其中一個(gè)是女孩，求至少有一男孩的概率（一個(gè)小孩為男或女是等可能的）。解：（本題初看乍似簡(jiǎn)單，卻容易存在理解上的錯(cuò)誤，有人認(rèn)為，三個(gè)孩子已知一個(gè)是女孩，還有兩個(gè)孩子，那么兩個(gè)孩子中至少有一個(gè)是男孩的概率為。答案應(yīng)是，其實(shí)這樣理解是錯(cuò)誤的。）此題應(yīng)為條件概率問(wèn)題。由于已知有一個(gè)是女孩，實(shí)際上至少有一個(gè)女孩的事件已發(fā)生。設(shè)。因?yàn)?，?或 ，而，故例13 設(shè)分析：通常用逆推法，若不等式成立，則證明：例14 設(shè)，則（a） 事件A與B互不相容；（b）事件

24、A與B互相獨(dú)立；（b） 事件A與B互不獨(dú)立；（d）事件A和B互相獨(dú)立。解：,有故應(yīng)選（d）考研精解一.填空題1、三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子有4個(gè)黑球1個(gè)白球，第二個(gè)箱子有3個(gè)黑球3個(gè)白球，第三個(gè)箱子有3個(gè)黑球5個(gè)白球，現(xiàn)隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再?gòu)倪@個(gè)箱子中取出1個(gè)球，這個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕实扔?，已知取出的球是白球，此球?qū)儆诘诙€(gè)箱子的概率為。（注：1987年考研題）解：用代表“取第i只箱子”，i=1,2,3,用代表“取出的球是白球”。由全概率公式由貝葉斯公式 2、已知隨機(jī)事件的概率，隨機(jī)事件的概率及條件概率，則。（注：1989年考研題）解：3、甲、乙兩人獨(dú)立地對(duì)同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5

25、，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率為。（注：1989年考研題）解：用代表事件“甲命中目標(biāo)”，代表事件“乙命中目標(biāo)”，則代表“目標(biāo)被命的中”的事件，而所求概率為 4、設(shè)隨機(jī)事件A、B及其和事件的概率分別是0.4,0.3和0.6。若表示的對(duì)立事件，那么積事件的概率。（注：1990年考研題）解：因?yàn)?，故 5、已知?jiǎng)t事件全不發(fā)生的概率為。（注：1992年考研題）解：由，故，所求事件的概率為6、一批產(chǎn)品共有10個(gè)正品和2個(gè)次品，任意抽取兩次，每次抽一個(gè)，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率為。（注：1993年考研題）解：設(shè)分別表示第一次，第二次抽次品的事件，則7、已知、B兩事件滿足條件且，則

26、。（注：1996年考研題）解：由 得8、設(shè)工廠A和工廠B的次品率分別為1%和2%，現(xiàn)從由A和B的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬A生產(chǎn)的概率是。（注：1996年考研題）解：用A和B分別代表產(chǎn)品是工廠A和工廠B生產(chǎn)的，C代表產(chǎn)品是次品，則所求概率為9、在區(qū)間（0，1）中隨機(jī)的取兩個(gè)數(shù)，則事件“兩數(shù)之和小于”的概率為。（注：1988年考研題）解：用和分別表示隨機(jī)抽取的兩個(gè)數(shù)，則、取值的所有可能結(jié)果（即樣本點(diǎn)全體），對(duì)應(yīng)的集合為以1為邊長(zhǎng)的正方形，其面積為1，事件，對(duì)應(yīng)（圖2）中陰影部分面積A，A的面積為10、隨機(jī)地向半圓(a為正常數(shù))內(nèi)擲一點(diǎn),點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域面積成正比,則原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與x軸的夾角小于的概率為（注：1991年考研題）解：半圓 即樣本空間的面積為，所求事件對(duì)圖（12）中陰影部分面積：，故所求概率為 11、將