1、每日一句,平常心最快樂,忙時靜心，,閑時練心，,怒時制心，,貪時修心，,時時觀心。,第九章,*二、全微分在近似計算中的應用,應用,第三節(jié),一元函數(shù) y = f (x) 的微分,近似計算,估計誤差,本節(jié)內容:,一、全微分的定義,全微分,由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系得,回顧； 一元函數(shù)y=f(x) 微分的有關概念,記,或,有限增量公式；,由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系也有,有限增量公式；,如果,由一元函數(shù)微分學中增量與微分的關系也有,有限增量公式；,如果,一、全微分的定義,定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內點( x , y ),可表示成,其中 A , B 不

2、依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關，,稱為函數(shù),在點 (x, y) 的全微分, 記作,若函數(shù)在域 D 內各點都可微,則稱函數(shù),f ( x, y ) 在點( x, y) 可微，,處全增量,則稱此函數(shù)在D 內可微.,(2) 偏導數(shù)連續(xù),下面兩個定理給出了可微與偏導數(shù)的關系:,(1) 函數(shù)可微,函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微,當函數(shù)可微時 :,得,函數(shù)在該點連續(xù),偏導數(shù)存在,函數(shù)可微,即,定理1(必要條件),若函數(shù) z = f (x, y) 在點(x, y) 可微 ,則該函數(shù)在該點的偏導數(shù),同樣可證,證:因函數(shù)在點(x, y) 可微, 故,必存在,且有,得到對

3、x 的偏增量,因此有,反例: 函數(shù),易知,但,因此,函數(shù)在點 (0,0) 不可微 .,注意: 定理1 的逆定理不成立 .,偏導數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !,即:,定理2 (充分條件),證：,若函數(shù),的偏導數(shù),則函數(shù)在該點可微分.,所以函數(shù),在點,可微.,注意到, 故有,推廣:,類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問題.,例如, 三元函數(shù),習慣上把自變量的增量用微分表示,記作,故有下述疊加原理,稱為偏微分.,的全微分為,于是,例1. 計算函數(shù),在點 (2,1) 處的全微分.,解:,解,解,所求全微分,可知當,*二、全微分在近似計算中的應用,1. 近似計算,由全微分定義,較小時,及,有近似等式:,(

4、可用于誤差分析或近似計算),(可用于近似計算),半徑由 20cm 增大,解: 已知,即受壓后圓柱體體積減少了,例3. 有一圓柱體受壓后發(fā)生形變,到 20.05cm ,則,高度由100cm 減少到 99cm ,體積的近似改變量.,求此圓柱體,例4.計算,的近似值.,解: 設,則,取,則,內容小結,1. 微分定義:,2. 重要關系:,定義,3. 微分應用, 近似計算, 估計誤差,絕對誤差,相對誤差,思考與練習,1. P75 題5 ；P129 題 1,函數(shù),在,可微的充分條件是( ),的某鄰域內存在 ;,時是無窮小量 ;,時是無窮小量 .,2. 選擇題,答案:,也可寫作:,當 x = 2 , y =

5、1 , x = 0.01 , y = 0.03 時 z = 0.02 , d z = 0.03,3. P129 題 7,4. 設,解:,利用輪換對稱性 , 可得,注意: x , y , z 具有 輪換對稱性,答案:,作業(yè) P75 1; 2 ; 3 ; *6 .,作業(yè),第四節(jié),5. 已知,在點 (0,0) 可微 .,備用題,在點 (0,0) 連續(xù)且偏導數(shù)存在,續(xù),證: 1),因,故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ;,但偏導數(shù)在點 (0,0) 不連,證明函數(shù),所以,同理,極限不存在 ,在點(0,0)不連續(xù) ;,同理 ,在點(0,0)也不連續(xù).,2),3),題目,說明: 此題表明, 偏導數(shù)連續(xù)只是可微

6、的充分條件.,令,則,題目,練 習 題,練習題答案,分別表示 x , y , z 的絕對誤差界,2. 誤差估計,利用,令,z 的絕對誤差界約為,z 的相對誤差界約為,則,特別注意,類似可以推廣到三元及三元以上的情形.,乘除后的結果相對誤差變大 很小的數(shù)不能做除數(shù),例5. 利用公式,求計算面積時的絕對誤差與相對誤差.,解：,故絕對誤差約為,又,所以 S 的相對誤差約為,計算三角形面積.現(xiàn)測得,例6.在直流電路中,測得電壓 U = 24 V ,解: 由歐姆定律可知,( ),所以 R 的相對誤差約為,0.3 + 0.5 ,R 的絕對誤差約為,0.8 ,0.3;,定律計算電阻為 R 時產(chǎn)生的相對誤差和絕對誤差 .,相對誤差為,