1、2020年國家開放大學(xué)數(shù)學(xué)思想與方法期末考試復(fù)習(xí)試題答案一、填空題1、古代數(shù)學(xué)大體可分為兩種不同的類型：一種是 崇尚邏輯推理，以幾何原本為代表；一種是長于計(jì) 算和實(shí)際應(yīng)用，以九章算術(shù)為典范。2、在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué)，而這 方面的代表著作是古希臘歐幾里得的幾何原本。3、幾何原本所開創(chuàng)的公理化方法不僅成為一 種數(shù)學(xué)陳述模式，而且還被移植到其它學(xué)科，并且促進(jìn) 他們的發(fā)展。4、推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的原因主要有兩個(gè)：實(shí)踐的需要； 理論的需要;數(shù)學(xué)思想方法的幾次突破就是這兩種需要 的結(jié)果。5、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是解析幾何,標(biāo)志是 微積分。6、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩 條主線。7、

2、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)是在一定條件下，可能發(fā)生某 種情況，也可能不發(fā)生某種情況。8、等腰三角形的抽象過程，就是把一個(gè)新的特征:兩邊相等,加入到三角形概念中去，使三角形概念得到 強(qiáng)化。9、學(xué)生理解或掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有如下 三個(gè)主要階段潛化階段、明朗階段、深入理解階段。10、數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性的反映，是 數(shù)學(xué)中各個(gè)分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為數(shù)學(xué) 的各個(gè)分支相互滲透和相互結(jié)合的趨勢(shì)。11、強(qiáng)抽象就是指，通過一把一些新特征加入到 某 一 概 念 中 去 而形成新概念的抽象過程。12、菱形概念的抽象過程就是把一個(gè)新的特征： 一組鄰邊相等,加入到平行四邊形概念中去，使平行四 邊形概念得到了

3、強(qiáng)化。13、演繹法與歸納法被認(rèn)為是理性思維中兩種最 重要的推理方法。4、所謂類比，是指由一類事物具有某種屬性， 推測(cè)與其類似的某種事物也具有該屬性的推測(cè)方法:常 稱這種方法為類比法，也稱類比推理。15、反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的矛盾律。16、猜想具有兩個(gè)顯著特點(diǎn)：具有一定的科學(xué)性、 具有一定的推測(cè)性。17、三段論是演繹推理的主要形式。三段論由去前提、小前提、結(jié)論三部分組成。8、化歸方法是指，把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn) 化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問題中， 最終獲得原問題解答的一種方法。19、在化歸過程中應(yīng)遵循的原則是簡(jiǎn)單化原則、熟 悉化原則、和諧化原則。20、在計(jì)算機(jī)時(shí)代，計(jì)算

4、方法己成為與理論方法、 實(shí)驗(yàn)方法并列的第三種科學(xué)方法。21、算法具有下列特點(diǎn)：有限性、確定性、有效性。22、算法大致可以分為多項(xiàng)式算法和指數(shù)型算法兩 大類。23、勻速直線運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型是一次函數(shù)。24、所謂數(shù)學(xué)模型方法是利用數(shù)學(xué)模型解答問題的 一般數(shù)學(xué)方法。25、分類必須遵循的原則是不重復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn) 統(tǒng)一、按層次逐步劃分。26、所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學(xué)問題時(shí)， 由數(shù)思形、見形思數(shù)，數(shù)形結(jié)合考慮問題的一種思想方 法。27、所謂特殊化是指在研究問題時(shí)，從一個(gè)對(duì)象的 給定集合出發(fā)，進(jìn)而考慮某個(gè)包含于該集合的較小集合 的思想方法。28、面對(duì)一個(gè)問題，經(jīng)過認(rèn)真的觀察和思考，通過 歸納或類比提

5、出猜想，然后從兩個(gè)方面入手：演繹證明 此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假,并且進(jìn)一 步修正或否定此猜想。29、化歸方法的三個(gè)要素是：化歸對(duì)象、化歸目標(biāo)、 化歸途徑。30、根據(jù)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法的過程有潛意識(shí)、 明朗化、深刻理解三個(gè)階段，可相應(yīng)地將小學(xué)數(shù)學(xué)思想 方法教學(xué)設(shè)計(jì)成多次孕育、初步理解、簡(jiǎn)單應(yīng)用三個(gè)階 段。31、數(shù)學(xué)思想方法是聯(lián)系數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力的紐 帶，是數(shù)學(xué)科學(xué)的靈魂，它對(duì)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，提 高學(xué)生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。33、算法的有效性是指如果使用該算法從它的初始 數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解。34、數(shù)學(xué)的研究對(duì)象大致可以分成兩大類：數(shù)量關(guān) 系、空間形式

6、。35、在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)，應(yīng)該注意三條原 則化隱為顯原則、循序漸進(jìn)原則、學(xué)生參與原則。36、初等代數(shù)的特點(diǎn)是用字母符號(hào)來表示各種數(shù)， 并且最初研究的對(duì)象主要是代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求 曜。37、一個(gè)概括過括包括比較、區(qū)分、擴(kuò)張和分析等幾個(gè)主要環(huán)節(jié)。38、深層類比又稱實(shí)質(zhì)性類比，它是通過對(duì)被比較的對(duì)象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因 果關(guān)系的分析而得到的類比。39、19世紀(jì)在公理法方面取得了突破性進(jìn)展，在這個(gè)基礎(chǔ)上，抽象的公理法進(jìn)一步向形式化五向發(fā)展。40、一個(gè)科學(xué)的分類標(biāo)準(zhǔn)必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學(xué)對(duì)象講行不重復(fù)、無遺漏的劃分。41、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)只注重形式化數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授, 而忽視

7、對(duì)知識(shí)發(fā)生過程中 的挖掘。42、分類方法的原則是不重復(fù)、無遺漏、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、 按層次逐步劃分。43、數(shù)學(xué)模型按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)的了解程度可 以分為三類：白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。45、數(shù)學(xué)模型具有抽象性、準(zhǔn)確性和演繹性、預(yù)測(cè) 性的特性。46、公理方法就是從初始概念和公理出發(fā)，按照二 定的規(guī)定定義出其它所有的概念,推導(dǎo)出其他一切命題 的一種演繹方法。47、概括通常包括兩種：經(jīng)驗(yàn)概括和理論概括。而經(jīng)驗(yàn)概括是從事實(shí)出發(fā)，以對(duì)個(gè)別事物所作的觀察陳述 為基礎(chǔ)，上升為普遍的認(rèn)識(shí)一一有對(duì)于個(gè)體特性的認(rèn) 識(shí)上升為對(duì)個(gè)體所屬的種的特性的認(rèn)識(shí)。48、化歸方法是將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題。49、公理方法是從盡可能

8、少的初始概念和公理出 發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理,使一門數(shù)學(xué)構(gòu)建成為演繹系 統(tǒng)的一種方法。50、數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)是有益于出現(xiàn)了無理數(shù)或不 可通約性的發(fā)現(xiàn)而造成的。52、所謂社會(huì)科學(xué)數(shù)學(xué)化就是指數(shù)學(xué)向社會(huì)學(xué)科的 滲透，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來揭示社會(huì)現(xiàn)象的一般規(guī)律。54、分類方法具有三個(gè)要素：母項(xiàng)，即被劃分對(duì)象、 子項(xiàng)，即劃分后所得的類概念、根據(jù)，即劃分的 標(biāo)準(zhǔn)。55、在古代的游戲與賭博活動(dòng)中就有概率思想的雛 形，但是作為一門科學(xué)則產(chǎn)生于17世紀(jì)中期前 后，它的起源于一個(gè)所謂的點(diǎn)數(shù)問題有關(guān)。56、在數(shù)學(xué)中建立公理體系最早的是幾何學(xué),而這 方面的代表著作是古希臘學(xué)者歐幾里德的幾何 原本。57、九章算術(shù)是世界上最

9、早系統(tǒng)地?cái)⑹龇謹(jǐn)?shù)運(yùn) 算的著作，它關(guān)于負(fù)數(shù)的論述也是世界上最早的。58、數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)教學(xué)的兩條主線， 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是一條明線,他被寫在教材中，數(shù) 學(xué)思想方法則是一條暗線,需要教師挖掘、提煉 并貫穿在教學(xué)過程中。59、反駁反例是用特殊的否定一般的一種思維方 式。60、類比聯(lián)想是人們運(yùn)用類比法獲得猜想的一種思 想方法，他的主要步驟是聯(lián)想、婁比、猜測(cè)。61、歸納猜想是運(yùn)用歸納法得到的猜想，它的思維 步驟是特例、歸納、猜測(cè)。62、所謂統(tǒng)一性，就是部分與部分、部分與整體協(xié) 調(diào)一致。63、中國九章算術(shù)以算為主的算法體系與古希 臘幾何原本邏輯演繹的體系在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展過程中 爭(zhēng)奇斗妍、交相輝映。二、

10、判斷題（只要答“是”或“否”）是1、計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造物，又是數(shù)學(xué)的創(chuàng)造 者O否2、抽象得到的新概念與表述原來的對(duì)象的概 念之間一定有種屬關(guān)系。否3、一個(gè)數(shù)學(xué)理論體系內(nèi)的每一個(gè)命題都必須 給出證明。否4、九章算術(shù)不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。是5、既沒有脫離數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法，也 沒有不包括數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識(shí)。否6、數(shù)學(xué)模型方法在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、軍事學(xué) 等領(lǐng)域沒應(yīng)用。是7、在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，往往需要綜合運(yùn)用多 種數(shù)學(xué)思想方法才能取得效果。否8、如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這 個(gè)算法，就一定能求出該問題的精確解。是9、對(duì)同一數(shù)學(xué)對(duì)象，若選取不同的標(biāo)準(zhǔn)，可 以得到不同的分類。否10、數(shù)學(xué)思想

11、方法教學(xué)隸屬數(shù)學(xué)教學(xué)范疇，只 要貫徹通常的數(shù)學(xué)教學(xué)原則就可實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法教 學(xué)目標(biāo)。否11、由類比法推得的結(jié)論必然正確。是12、有時(shí)特殊情況能與一般情況等價(jià)。是13、完全歸納法實(shí)質(zhì)上屬于演繹推理的范疇。否14、古希臘的柏拉圖曾在他的學(xué)校門口張榜聲 明：不懂幾何的人不得入內(nèi)。這是因?yàn)樗膶W(xué)校里所 學(xué)習(xí)的課程要用到很多幾何知識(shí)。否15、完全歸納法的一般推理形式是：設(shè)S=4，4, 4,),由于龍、&、凡具有性 質(zhì)P,因此推斷集合S中的每一個(gè)對(duì)象都具有性質(zhì)Po否16、提出一個(gè)問題的猜想是解決這個(gè)問題的 終結(jié)。是17、貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史過程中有兩個(gè) 思想，一是公理化思想，一是機(jī)械化思想。否18、算

12、術(shù)反映的是物體集合之間的函數(shù)關(guān)系。是19、九章算術(shù)是世界上最早系統(tǒng)地?cái)⑹龇?數(shù)運(yùn)算的著作，他關(guān)于負(fù)數(shù)的論述也是世界上最早的。否20、抽象和概括是兩種完全不同的方法。是21、分類可使知識(shí)條理化、系統(tǒng)化。否22、在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，不必經(jīng)過數(shù) 學(xué)抽象這一環(huán)節(jié)。是23、演繹的根本特點(diǎn)就是當(dāng)他的前提為真時(shí), 結(jié)論必為真。是24、抽象得到的新概念與表述原來的對(duì)象概 念之間不一定有種屬關(guān)系。否25、數(shù)學(xué)模型方法是近代才產(chǎn)生的。否26、在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，本教材所涉及到的數(shù)是27、所謂特殊化是指在研究問題時(shí)，從對(duì)象的 一個(gè)給定集合出發(fā)，近而考慮某個(gè)包含與蓋集合 的較小集合的思想。是28、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)學(xué)

13、思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)是29、新頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的特點(diǎn)之一“再創(chuàng)造”體現(xiàn)了我國數(shù)學(xué)課程改革與發(fā)展的新理念。是30、法國的布爾巴基學(xué)派利用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了否31、數(shù)學(xué)公理化方法在其他學(xué)科也能起到作用,否32、算法具有無限性、不確定性與有效性。 是33、最早使用數(shù)學(xué)模型方法的當(dāng)數(shù)中國古人。是34、理論方法、實(shí)驗(yàn)方法和計(jì)算方法并列為三否35、表層類比和深層類比其涵義是一樣的。是36、猜想具有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：一定的科學(xué)性是37、數(shù)學(xué)史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”最解決了其無解。否38、數(shù)學(xué)模型具有預(yù)測(cè)性、準(zhǔn)確性和演繹 性，但不包括抽象性。三、簡(jiǎn)答題1、為什么說幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體 系？答：因?yàn)樵趲?/p>

14、何原本中，除了推導(dǎo)時(shí)所需 要的邏輯規(guī)則外，每個(gè)訂立的證明所采用的論據(jù) 均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，并且 引入的概念也基本上是符合邏輯上對(duì)概念下定義 的要求，原則上不再依賴其他東西。因此幾何 原本是一個(gè)封閉的演繹體系。 另外幾何原本的理論體系會(huì)比任何與社會(huì) 生產(chǎn)生活有關(guān)的應(yīng)用問題，因此對(duì)于社會(huì)生活的各個(gè)領(lǐng) 域來說，它也是封閉的。 所以，幾何原本是一個(gè)封閉的演繹體系。2、試對(duì)九章算術(shù)思想方法的一個(gè)特點(diǎn)“算法 化的內(nèi)容加以說明。答：九章算術(shù)在每一章內(nèi)都先列舉若干實(shí)際問題，并對(duì)每個(gè)問 題給出答案，然后再給出“術(shù)，作為一類問題 的共同解法。以后遇到同類問題，只要按“術(shù)， 給出的程序去做就一定能

15、求出問題的答案。 歷代數(shù)學(xué)家受到追求實(shí)用、講究算法的傳統(tǒng)思 想的影響，使他們對(duì)九章算術(shù)的注、校， 主要集中在對(duì)“術(shù)”進(jìn)行研究，即不斷改進(jìn)算 法。因此，我們說，內(nèi)容的算法化是九章算 術(shù)思想方法上的特點(diǎn)之一。3、簡(jiǎn)述確定性現(xiàn)象、隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)以及確定性 數(shù)學(xué)的局限性。 確定性現(xiàn)象的特點(diǎn)是：在一定的條件下，其 結(jié)果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存 在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會(huì)發(fā)生某 種結(jié)果，或者必然不會(huì)發(fā)生某種結(jié)果。隨機(jī)現(xiàn)象的特 點(diǎn)是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不 發(fā)生某種結(jié)果。對(duì)于隨即現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間 不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學(xué)來加以定量描

16、 述；此外，由于隨機(jī)現(xiàn)象并不是雜亂無章的現(xiàn)象，就個(gè) 體而言，似乎沒有什么規(guī)律存在，但當(dāng)同類現(xiàn)象大量出 現(xiàn)時(shí)，從總體上卻呈現(xiàn)出一種規(guī)律性，而確定數(shù)學(xué)無法 定量地揭示這種規(guī)律性。4、簡(jiǎn)述計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)方面的三種新用途。在數(shù)學(xué)方面，計(jì)算機(jī)至少有三種新的用途，第一, 用來證明一些數(shù)學(xué)命題，而通常證明這類命題，需要進(jìn) 行異常巨大的計(jì)算與演繹工作；第二，用來預(yù)測(cè)某些數(shù) 學(xué)問題的可能結(jié)果；第三，用來作為一種驗(yàn)證某些數(shù)學(xué) 問題結(jié)果的正確性的方法。5、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)抽象的特征。答：數(shù)學(xué)抽象有以下特征：無物質(zhì)性；層次 性；數(shù)學(xué)抽象過程要憑借分析或直覺；數(shù)學(xué)抽象不 僅有概念抽象還有方法抽象。6、簡(jiǎn)述化歸方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)

17、用。答：利用劃歸方法學(xué)習(xí)新知識(shí)；利用劃歸方 法指導(dǎo)解題；利用劃歸原理清理知識(shí)結(jié)構(gòu)。7、簡(jiǎn)述用MM方法解決實(shí)際問題的基本步驟，并 用框圖加以表示。答：用MM方法解決實(shí)際問題的基本步驟為： 從現(xiàn)實(shí)原型抽象概括出數(shù)學(xué)模型； 在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求 得數(shù)學(xué)問題的解； 從數(shù)學(xué)模型再過渡到現(xiàn)實(shí)原型，即將研究數(shù)學(xué) 模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，求得實(shí)際問題的解答。8、試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過 程。答：特殊化解決問題的過程可用框圖表示為：這個(gè)框圖告訴我們：若我們面對(duì)的問題A解決 起來比較困難，可以先將A轉(zhuǎn)化為特殊的A,因?yàn)锳， 與A相比較，外延變小，因此，內(nèi)涵勢(shì)必增多

18、，所以由 A所導(dǎo)出的結(jié)論B，它包含的內(nèi)涵一般也會(huì)比較多。 把信息B，反饋到問題A中，就會(huì)為問題解決提供一些新的信息，再去推導(dǎo)結(jié)論B就會(huì)比較容易一些。若 解決問題A仍有困難，則可對(duì)A再次進(jìn)行特殊化，進(jìn)一 步增加信息量，如此反復(fù)多次，最終推得結(jié)論B,使問 題A得以解決。9、簡(jiǎn)述化歸方法的和諧化原則。和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。美與真在數(shù)學(xué) 命題和數(shù)學(xué)解題中一般是統(tǒng)一的。因此，我們?cè)诮忸} 過程中，可根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形 等的結(jié)構(gòu)特征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息, 從而確立解題的總體思路，達(dá)到以美啟真的作用。10、什么是算法的有限性特點(diǎn)？試舉一個(gè)不符合 算法有限性特點(diǎn)的

19、例子。一個(gè)算法必須在有限 步內(nèi)終止。例如，十進(jìn)制小數(shù)的除法的算法。若取數(shù)4. 5和3作為初始數(shù)據(jù)，計(jì)算過程為得到 的結(jié)果為1. 5.但是對(duì)初始數(shù)據(jù)20和3,計(jì)算過 程為無論怎樣延續(xù)這個(gè)過程都不能結(jié)束，同時(shí) 也不會(huì)中斷.如果在某一處中斷過程，我們只能 得到一個(gè)近似的、步準(zhǔn)確的結(jié)果。而且如果在 某一處中斷計(jì)算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算 法?？梢?，十進(jìn)制小數(shù)除法對(duì)于20和3這組數(shù) 不符合算法的“有限性”特點(diǎn)。11、簡(jiǎn)述培養(yǎng)數(shù)學(xué)猜想能力的途徑。答：猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學(xué)教學(xué)，如新知 識(shí)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)規(guī)律的尋求，解題思路的探索等途 徑來實(shí)現(xiàn)。12、簡(jiǎn)述特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用。答：利用特殊值（圖形）解

20、選擇題；利用特 殊化探求問題結(jié)論；利用特例檢驗(yàn)一般結(jié)果；利用 特殊化探索解題思路。13、什么是類比猜想？并舉一個(gè)例子說明。答：人們運(yùn)用類比法，根據(jù)一類事物所具有的 某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測(cè)性的判斷，即猜想， 這種思想方法稱為類比猜想。 例如，分式與分?jǐn)?shù)非常相似，只不過是用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分?jǐn)?shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、 通分、四則運(yùn)算等方面是對(duì)應(yīng)相似的。14、什么是歸納猜想？并舉一個(gè)例子說明。答：人們運(yùn)用歸納法，得出對(duì)一類現(xiàn)象的某種 一般性認(rèn)識(shí)的一種推測(cè)性的判斷，即猜想，這種思想方 法稱為歸納猜想。例如，人們?cè)诙攘苛撕芏鄨@的周長 和半徑以后，發(fā)

21、現(xiàn)它們的比值總是近似地等于3. 14, 于是提出了圓周率是3. 14的猜想。后來，數(shù)學(xué)家從理論上證明了圓周率的數(shù)值是勿，果然和3. 14很接近。15、簡(jiǎn)述將“化隱為顯”列為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué) 的一條原則的理由。答：由于數(shù)學(xué)思想方法往往隱含在數(shù)學(xué)知識(shí)的背 后，知識(shí)教學(xué)雖然蘊(yùn)含著思想方法，但如果不是有意識(shí) 地把數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)對(duì)象，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生 常常只注意到處于表層的數(shù)學(xué)知識(shí)，而注意不到處于深 層的思想方法。因此，進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)必須以 數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，把隱藏在知識(shí)背后的思想方法顯示出 來，使之明朗化，才能通過知識(shí)教學(xué)過程達(dá)到思想方法 教學(xué)的目的。16、數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)為什么要遵循循

22、序漸進(jìn)原 則？試舉例說明。答：數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識(shí)的理解和一 般技能的掌握，它需要學(xué)生深入理解事物之間的本質(zhì)聯(lián) 系。薛申對(duì)每種數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解 和運(yùn)用中形成的，是從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從 感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)的沿著螺旋式方向上升的。 例如，學(xué)生理解屬性結(jié)合方法可從小學(xué)的畫示意圖找 數(shù)量關(guān)系著手孕育；在學(xué)習(xí)數(shù)軸時(shí)，要求學(xué)生會(huì)借助數(shù) 軸來表示相反數(shù)、絕對(duì)值、比較有利書的大小等。17、微積分產(chǎn)生主要可以歸結(jié)為哪四類問題？答：主要有如下四類問題： 第一類是：以植物體位移的距離為時(shí)間的函 數(shù)，求物體瞬時(shí)速度和加速度；反過來，已知物體的加速度為時(shí)間的函數(shù)，求 速度和距離。

23、第二類是：求曲線切線的斜率和方程。 第三類是：求函數(shù)的最大值與最小值。 第四類是：求曲線的長度，曲邊梯形的面積，曲 面圍成圖形的重心。這四類問題的核心是求一個(gè)常量無法確定的量一 一變量問題18、變量數(shù)學(xué)產(chǎn)生的意義是什么？答：變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，為自然科學(xué)更精確地描 述物質(zhì)世界提供了有效工具；變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，促進(jìn) 數(shù)學(xué)自身的發(fā)展和嚴(yán)密；變量數(shù)學(xué)的產(chǎn)生，使辯證法 進(jìn)入數(shù)學(xué)。19、簡(jiǎn)述概括與抽象的關(guān)系。答：概括方法與抽象方法是不同的，但是它們 又有十分密切的聯(lián)系。抽象是舍棄事物的一些屬性而收 括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的 新概念與表述原來的對(duì)象的概念之間不一定由種屬關(guān)系。概括是在思維

24、中由認(rèn)識(shí)個(gè)別事物的本事屬性，發(fā) 展到認(rèn)識(shí)具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于 這類事物的普遍概念。由概括得出的新概念是表述概括 對(duì)象概念的一個(gè)屬概念。概括和抽象雖有差別，但又 是互相聯(lián)系、密不可分的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽 象就不能認(rèn)識(shí)任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括。概括 也是抽象思維過程中所必須的一個(gè)環(huán)節(jié)，前述“收括” 操作實(shí)際上也是一個(gè)概括過程，有人就吧“收括”稱之 為概括，由于對(duì)共同點(diǎn)的概括才能得出對(duì)象的本質(zhì)屬 性，從而完成抽象過程。20、在實(shí)施數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時(shí)應(yīng)注意哪些問題。答：把數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)納入教學(xué)目標(biāo)； 重視數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過程，認(rèn)真設(shè)計(jì)數(shù) 學(xué)思想方法教學(xué)的目標(biāo)；

25、 做好數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的鋪墊工作和鞏固工 作； 不同數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)有不同的教學(xué)要求； 注意不同數(shù)學(xué)思想方法的綜合應(yīng)用。21、我國數(shù)學(xué)教育存在哪些問題？答：數(shù)學(xué)教學(xué)重結(jié)果輕過程；重解題訓(xùn)練，輕 智利、情感開發(fā)；不重視創(chuàng)新能力培養(yǎng)，雖然學(xué)生考試 分?jǐn)?shù)高，但是學(xué)習(xí)能力低下；重模仿輕探索，學(xué)習(xí)缺少主動(dòng)性，缺乏判斷力和獨(dú)立思考能力；學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù) 擔(dān)過重。原因是課堂教學(xué)效率不高，教學(xué)圍繞升學(xué)考試 指揮棒轉(zhuǎn)，不斷重復(fù)訓(xùn)練各種題型和模擬考試，不少教 師心存以量求質(zhì)的想法，造成學(xué)生學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)過重。22、幾何原本貫穿哪兩條邏輯要求？答：幾何原本貫徹了兩條邏輯要求。第一， 公理必須是明顯的，因而是無需加以證明的，其是否

26、真實(shí)應(yīng)受推出的結(jié)果的 檢驗(yàn)，但它仍是不加證明而采用的命題；初始概念必須 是直接可以理解的，因而無需加以定義。第二，由公 理證明定理時(shí)，必須遵循邏輯規(guī)律和邏輯規(guī)則；同樣， 通過初始概念以直接或間接方式對(duì)派生概念下定義時(shí)， 必須遵守下定義的邏輯規(guī)則。23、簡(jiǎn)述公理化方法發(fā)展。答：公理化方法是一個(gè)由個(gè)別上升到特殊再上升 到一般的過程，最后形成了數(shù)學(xué)中普遍適用的科學(xué)方 法。它的發(fā)展關(guān)系可以用下列圖示表明：個(gè)別一特殊一一般；歐氏空間一各種幾何一一般意義空間；具體公理方法一抽象公理方法一形式化公理方 法。24、常量數(shù)學(xué)應(yīng)用的局限性是什么？答：在建立了太陽中心理論后，17世紀(jì)的人 們面臨了如何改進(jìn)計(jì)算行星位

27、置，以及如何解釋地球上 靜止的物體保持不動(dòng)、下降的物體還落在地球上等之類 的問題。這類問題的核心是物體的運(yùn)動(dòng)。面對(duì)這類帶 有運(yùn)動(dòng)特征的問題，人們已有的數(shù)學(xué)知識(shí)：算術(shù)、初等 代數(shù)、初等幾何和三角等構(gòu)成的初等數(shù)學(xué)，顯得無效。 由于初等數(shù)學(xué)都是以不變的數(shù)量（即常量）和固定的 圖形為其研究對(duì)象（因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學(xué)）。 運(yùn)用這些知識(shí)可以有效地描述和解釋相對(duì)穩(wěn)定的事物 和現(xiàn)象?？墒牵瑢?duì)于這些運(yùn)動(dòng)變化的事物和現(xiàn)象，它們 顯然無能為力。25、簡(jiǎn)述計(jì)算的意義答：推動(dòng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用；加快了科學(xué)的數(shù) 學(xué)化；促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。26、簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的幾個(gè)主要階段。答：潛意識(shí)階段一在這個(gè)階段學(xué)生只注意數(shù)學(xué)

28、知識(shí)的學(xué)習(xí)，注意知識(shí)積累，而未曾注意到對(duì)這些知識(shí) 起到橫向聯(lián)系和固定作用的思想方法，或者只是處于一 數(shù)學(xué)思想與方法第23頁共27頁種“朦朦朧朧”、“若有所悟”的狀況；明朗化階段一 隨著運(yùn)用同一種數(shù)學(xué)思想方法解決不同的數(shù)學(xué)問題的 實(shí)踐機(jī)會(huì)的增多，隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)后面的思想方法就會(huì) 逐漸引起學(xué)生的注意和思考，直至產(chǎn)生某種程度的領(lǐng) 悟。當(dāng)經(jīng)驗(yàn)和領(lǐng)悟積累到一定程度時(shí)，這種事實(shí)上巳經(jīng) 被應(yīng)用多次的思想方法就會(huì)凸現(xiàn)出來，學(xué)生開始理解解 題過程中所使用的方法與策略，并且概括總結(jié)出這一思 想方法；深刻理解階段一在這個(gè)階段，學(xué)生基本上能 正確運(yùn)用某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行探索和思考，以求得問 題的解決。同時(shí)，在解決問題

29、的實(shí)踐過程中，學(xué)生又將 加深了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解，并養(yǎng)成了有意識(shí)地、自 覺地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的思維習(xí)慣。27、為什么說數(shù)學(xué)模型方法是一種迂回式化歸？答：運(yùn)用數(shù)學(xué)模型方法解決問題時(shí)，不是直接 求出實(shí)際問題的解，因?yàn)檫@樣做往往是行不通的或者花 費(fèi)過分昂貴。而是先將實(shí)際問題化歸為一個(gè)合適的數(shù) 學(xué)模型，然后通過求數(shù)學(xué)模型的解間接求出原實(shí)際問題 的解，走的是一條迂回的道路。因此，我們說數(shù)學(xué)模 型方法是一種迂回式化歸。28、模型化的方法、開放性的歸納體系及算法化的 內(nèi)容之間的關(guān)系答：模型化的方法與開放性的歸納體系及算法化 的內(nèi)容之間是互相適應(yīng)并且互相促進(jìn)的。雖然，各個(gè)數(shù) 學(xué)模型之間也有一定的聯(lián)系，但是它們更具有相對(duì)獨(dú)立 性。一個(gè)數(shù)學(xué)模型的建立與其它數(shù)學(xué)模型之間并不存在 邏輯依賴關(guān)系。正因?yàn)槿绱?，所以可以根?jù)需要隨時(shí)從 社會(huì)實(shí)