1、高中數(shù)學(xué)解題思想方法高中數(shù)學(xué)解題思想方法 我們遇到一個(gè)新問(wèn)題時(shí)，總想用熟悉的題型去“套”，這只是滿足于解出來(lái)，只有對(duì)數(shù)學(xué)思 想、數(shù)學(xué)方法理解透徹及融會(huì)貫通時(shí)，才能提出新看法、巧解法。高考試題十分重視對(duì)于數(shù)學(xué)思 想方法的考查，特別是突出考查能力的試題，其解答過(guò)程都蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。我們要 有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法去分析問(wèn)題解決問(wèn)題，形成能力，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，使自己具有數(shù)學(xué)頭 腦和眼光。 高考試題主要從以下幾個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行考查： 常用數(shù)學(xué)方法：配方法、消去法、換元法、待定系數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法、坐標(biāo)法、參數(shù)法等； 數(shù)學(xué)邏輯方法：分析法、綜合法、反證法、歸納法、演繹法等； 數(shù)學(xué)思維方法：

2、觀察與分析、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、類比、歸納和演繹等； 常用數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想等。 反證法反證法 與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問(wèn)題的證 明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪 (Hadamard)對(duì)反 證法的實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法 就是從否定命題的結(jié)論入手， 并把對(duì)命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件， 進(jìn)行正確的邏輯推理， 使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的

3、原因是 假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過(guò)程中，兩個(gè)互 相矛盾的判斷不能同時(shí)都為真，至少有一個(gè)是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個(gè)互相 矛盾的判斷不能同時(shí)都假，簡(jiǎn)單地說(shuō)“A 或者非 A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法 在其證明過(guò)程中， 得到矛盾的判斷， 根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時(shí)為真，必有一假， 而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論” 必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對(duì)立的互相否定的判斷不能同時(shí)為假， 必有一真，于

4、是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的， 反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡(jiǎn)要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開(kāi)始，經(jīng)過(guò)正 確無(wú)誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。 應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論 推導(dǎo)出矛盾 結(jié)論成立。實(shí)施的具體步驟是： 第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)； 第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾； 第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。 在應(yīng)用反證法證題時(shí)， 一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理， 否則就不是反證法。 用反證法證題時(shí)， 如果欲證明的

5、命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫 “歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié) 論成立，這種證法又叫“窮舉法”。 在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。?般來(lái)講，反證法常用來(lái)證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯 一”、“無(wú)限”形式出現(xiàn)的命題；或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡(jiǎn)單的命題；或者直接證明難以 下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問(wèn)題可能解決得十分干脆。 示范例題示范例題 例 1. 如圖，設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線，O是底面

6、圓心，C是SB上一點(diǎn).求證：AC與 平面SOB不垂直. 【分析】結(jié)論是“不垂直”，呈“否定性”，考慮使用反證法，即假設(shè)“垂直”后再導(dǎo)出矛 盾后，再肯定“不垂直”. 【證明】假設(shè)AC平面SOB， 直線SO在平面SOB內(nèi)，ACSO， SO底面圓O，SOAB， SO平面SAB，平面SAB底面圓O， 這顯然出現(xiàn)矛盾，所以假設(shè)不成立. 即AC與平面SOB不垂直. 【注】否定性的問(wèn)題常用反證法.例如證明異面直線，可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條 件推導(dǎo)出矛盾. 例 2. 若下列方程：x4ax4a30，x（a1）xa0，x2ax2a0 至 少有一個(gè)方程有實(shí)根.試求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【分析】三個(gè)方程至少有一

7、個(gè)方程有實(shí)根的反面情況僅有一種：三個(gè)方程均沒(méi)有實(shí)根.先求 出反面情況時(shí)a的范圍，再所得范圍的補(bǔ)集就是正面情況的答案. 【解】設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有： ，解得，即a1. 所以當(dāng)a1 或a時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根. 【注】 “至少”、 “至多”問(wèn)題經(jīng)常從反面考慮， 有可能使情況變得簡(jiǎn)單.本題還用到了“判 別式法”、 “補(bǔ)集法” （全集R） ， 也可以從正面直接求解， 即分別求出三個(gè)方程有實(shí)根時(shí) （0） a的取值范圍，再將三個(gè)范圍并起來(lái)，即求集合的并集.兩種解法，要求對(duì)不等式解集的交、并、 補(bǔ)概念和運(yùn)算理解透徹. 例 3. 給定實(shí)數(shù)a，a0 且a1，設(shè)函數(shù)y（其中xR且x），證明：. 經(jīng)過(guò)

8、這個(gè)函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸；.這個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y x成軸對(duì)稱圖像.（88 年全國(guó)理）. 【分析】“不平行”的否定是“平行”，假設(shè)“平行”后得出矛盾從而推翻假設(shè). 【證明】設(shè)M（x，y）、M（x，y）是函數(shù)圖像上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則xx， 假設(shè)直線M M平行于x軸，則必有yy，即 xx ，整理得a（xx） xxa1，這與已知“a1”矛盾， 因此假設(shè)不對(duì)，即直線M M不平行于x軸. 由y得axyyx1，即（ay1）xy1，所以x， 即原函數(shù)y的反函數(shù)為y，圖像一致. 由互為反函數(shù)的兩個(gè)圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱可以得到，函數(shù)y x成軸對(duì)稱圖像. 的圖像關(guān)于直線y 【注】對(duì)于“不

9、平行”的否定性結(jié)論使用反證法，在假設(shè)“平行”的情況下，容易得到一些 性質(zhì)，經(jīng)過(guò)正確無(wú)誤的推理，導(dǎo)出與已知a1 互相矛盾.第問(wèn)中，對(duì)稱問(wèn)題使用反函數(shù)對(duì)稱性 進(jìn)行研究，方法比較巧妙，要求對(duì)反函數(shù)求法和性質(zhì)運(yùn)用熟練. 再現(xiàn)題組再現(xiàn)題組 1.已知函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則方程f（x）0 _. A.至多一個(gè)實(shí)根 B.至少一個(gè)實(shí)根 C.一個(gè)實(shí)根 D.無(wú)實(shí)根 2.已知a0，1b0，那么a、ab、ab之間的大小關(guān)系是_. A.aabab B.ababa C.abaab D.ab aba 3.已知 l，a，b，若a、b為異面直線，則_. A.a、b都與l相交B.a、b中至少一條與l 相交 C.a、b中

10、至多有一條與l相交 D.a、b都與l相交 4.四面體頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共 10 個(gè)，在其中取 4 個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法有_. （97 年全國(guó)理） A. 150 種 B. 147 種 C. 144 種 D. 141 種 答案答案 1 小題：從結(jié)論入手，假設(shè)四個(gè)選擇項(xiàng)逐一成立，導(dǎo)出其中三個(gè)與特例矛盾，選 A； 2 小題：采用“特殊值法”，取a1、b0.5，選 D； 3 小題：從逐一假設(shè)選擇項(xiàng)成立著手分析，選 B； 4 小題：分析清楚結(jié)論的幾種情況，列式是：CC 436，選 D. 數(shù)形結(jié)合思想方法數(shù)形結(jié)合思想方法 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖 形

11、之間的相互轉(zhuǎn)化。 中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識(shí)分三類：一類是純粹數(shù)的知識(shí)，如實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式 （組）、函數(shù)等；一類是關(guān)于純粹形的知識(shí)，如平面幾何、立體幾何等；一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的 知識(shí)，主要體現(xiàn)是解析幾何。 數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可 以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目 的， 比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡 明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性 質(zhì)。 恩格斯曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的量

12、的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù) 數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精 確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合， 尋找解題思路，使 問(wèn)題化難為易、 化繁為簡(jiǎn)， 從而得到解決。 “數(shù)”與“形”是一對(duì)矛盾， 宇宙間萬(wàn)物無(wú)不是“數(shù)” 和“形”的矛盾的統(tǒng)一。 華羅庚先生說(shuō)過(guò)： 數(shù)缺形時(shí)少直觀， 形少數(shù)時(shí)難入微， 數(shù)形結(jié)合百般好， 隔裂分家萬(wàn)事休。 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖像結(jié)合起來(lái)，關(guān)鍵是代數(shù)問(wèn)題與圖 形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解 決問(wèn)

13、題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù) 學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立 關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。 數(shù)學(xué)中的知識(shí)，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角 三角形來(lái)定義的；任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來(lái)定義的。 示范例題示范例題 例 1. 若方程lg（x3xm）lg（3x）在x（0，3）內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取 值范圍. 【分析】將對(duì)數(shù)方程進(jìn)行等價(jià)變形，轉(zhuǎn)化為一元二次方程在某個(gè)范圍內(nèi)有實(shí)解的問(wèn)題，再利 用二次函數(shù)的圖

14、像進(jìn)行解決. 【解】原方程變形為 即： 設(shè)曲線y（x2），x（0，3）和直線y1m，圖像如圖所示.由圖可知： 當(dāng) 1m0 時(shí)，有唯一解，m1； 當(dāng) 11m4 時(shí)，有唯一解，即3m0， m1 或3m0 此題也可設(shè)曲線y（x2） 1 ，x（0，3）和直線ym后畫(huà)出圖像求解. 【注】一般地，方程的解、不等式的解集、函數(shù)的性質(zhì)等進(jìn)行討論時(shí)，可以借助于函數(shù)的圖 像直觀解決， 簡(jiǎn)單明了.此題也可用代數(shù)方法來(lái)討論方程的解的情況， 還可用分離參數(shù)法來(lái)求 （也 注意結(jié)合圖像分析只一個(gè)x值）. 例 2. 設(shè)|z|5，|z|2， |z|，求的值. 【分析】利用復(fù)數(shù)模、四則運(yùn)算的幾何意義，將復(fù)數(shù)問(wèn)題用幾何圖形幫助求解

15、. 【解】如圖，設(shè)z、z后，則、如圖所示. 由圖可知，|，AODBOC，由余弦定理得： cosAOD （i）2i 【另解】設(shè)z、如圖所示. 則|，且 cosAOD，sinAOD， 所以（i）2i，即2i. 【注】本題運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合法”，把共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)與復(fù)平面上的向量表示、代數(shù)運(yùn)算的幾 何意義等都表達(dá)得淋漓盡致，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的生動(dòng)活潑. 一般地， 復(fù)數(shù)問(wèn)題可以利用復(fù)數(shù)的幾 何意義而將問(wèn)題變成幾何問(wèn)題，也可利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、復(fù)數(shù)性質(zhì)求解. 本題設(shè)三角形式后轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題的求解過(guò)程是：設(shè)z5（cosisin），z isin），則|z|（5cos2cos）（5sin2sin）i| ，所

16、以cos（），sin（）， cos（） isin（） （ i）2i. 本題還可以直接利用復(fù)數(shù)性質(zhì)求解，其過(guò)程是：由|z|得： （z）（z）zzz z254z z13， 所以z z16，再同除以z得4，設(shè)z，解得z2i. 幾種解法，各有特點(diǎn)，由于各人的立足點(diǎn)與思維方式不同，所以選擇的方法也有別.一般地， 復(fù)數(shù)問(wèn)題可以應(yīng)用于求解的幾種方法是：直接運(yùn)用復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解；設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式轉(zhuǎn)化為三 角問(wèn)題求解； 設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解； 利用復(fù)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題求解. 例 3. 直線 L 的方程為：x（p0），橢圓中心 D（2，0），焦點(diǎn)在x軸上， 長(zhǎng)半軸為 2，短半軸為 1，它的左頂

17、點(diǎn)為 A.問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它 們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離等于該點(diǎn)到直線 L 的距離？ 【分析】由拋物線定義，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成：p為何值時(shí)，以 A 為焦點(diǎn)、L 為準(zhǔn)線的拋物線與 橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，再聯(lián)立方程組轉(zhuǎn)化成代數(shù)問(wèn)題（研究方程組解的情況）. 【解】由已知得：a2，b1， A（，0），設(shè)橢圓與雙曲線方程并聯(lián)立有： ，消y得：x（47p）x（2p）0 所以1664p48p0，即 6p8p20，解得：p或p1. 結(jié)合范圍（，4）內(nèi)兩根，設(shè)f（x）x（47p）x（2p）， 所以4即p，且f（）0、f（4）0 即p43. 結(jié)合以上，所以43p. 【注】 本題利用方程的曲線將

18、曲線有交點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有實(shí)解的代數(shù)問(wèn)題.一般地， 當(dāng)給出方程的解的情況求參數(shù)的范圍時(shí)可以考慮應(yīng)用了“判別式法”， 其中特別要注意解的范圍. 另外，“定義法”、“數(shù)形結(jié)合法”、 “轉(zhuǎn)化思想”、“方程思想”等知識(shí)都在本題進(jìn)行了綜合 運(yùn)用. 例 4. 設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A（x，y）|xn，ynab （nZ），B（x，y）|x m，y3m15（mZ），C（x，y）|xy144，討論是否，使得AB與（a， b）C 同時(shí)成立.（85 年高考） 【分析】集合A、B 都是不連續(xù)的點(diǎn)集，“存在a、b，使得 AB”的含意就是“存在a、 b使得nab3n15（nZ）有解（AB時(shí)xnm）.再抓住主參數(shù)a、b

19、，則此問(wèn)題的幾何 意義是：動(dòng)點(diǎn)（a，b）在直線 L：nxy3n15 上，且直線與圓xy144 有公共點(diǎn)，但 原點(diǎn)到直線 L 的距離12. 【解】由 AB得：nab3n15 ； 設(shè)動(dòng)點(diǎn)（a，b）在直線 L：nxy3n15 上，且直線與圓xy144 有公共點(diǎn)， 所以圓心到直線距離d3（）12 n為整數(shù)上式不能取等號(hào)，故a、b不存在. 【注】集合轉(zhuǎn)化為點(diǎn)集（即曲線），而用幾何方法進(jìn)行研究.此題也屬探索性問(wèn)題用數(shù)形結(jié) 合法解，其中還體現(xiàn)了主元思想、方程思想，并體現(xiàn)了對(duì)有公共點(diǎn)問(wèn)題的恰當(dāng)處理方法. 本題直接運(yùn)用代數(shù)方法進(jìn)行解答的思路是： 由 AB得：nab3n15 ，即b3n15an（式）； 由（a，b

20、）C 得，ab144 （式）； 把式代入式，得關(guān)于a的不等式： （1n）a2n（3n15）a（3n15） 1440（式）， 它的判別式4n（3n15） 4（1n）（3n15） 14436（n3） 因?yàn)閚是整數(shù)，所以n30，因而0，又因?yàn)?1n0，故式不可能有實(shí)數(shù)解. 所以不存在a、b，使得 AB與（a，b）C 同時(shí)成立 再現(xiàn)題組再現(xiàn)題組 1.設(shè)命題甲：0 x5；命題乙：|x2|3，那么甲是乙的_. （90 年全國(guó)文） A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 2.若log2log20，則_.（92 年全國(guó)理） A. 0ab1B. 0ba1C.ab1D.ba1 3

21、.如果|x| 文） ，那么函數(shù)f（x）cosxsinx的最小值是_. （89 年全國(guó) A.B. C. 1D. 4.如果奇函數(shù)f（x）在區(qū)間3，7上是增函數(shù)且最小值是 5，那么f（x）的7，3上 是_.（91 年全國(guó)） A.增函數(shù)且最小值為5B.增函數(shù)且最大值為5 C.減函數(shù)且最小值為5D.減函數(shù)且最大值為5 5.設(shè)全集I（x，y）|x，yR，集合M（x，y）| 1，那么等于_.（90 年全國(guó)） 1，N（x，y）|yx A.B. （2，3）C. （2，3）D. （x， y）|yx1 6.如果是第二象限的角，且滿足 cos _. sin，那么是 A.第一象限角B.第三象限角C.可能第一象限角， 也

22、可能第三象限角D. 第二象限角 7.已知集合E|cossin，02，F(xiàn)|tansin，那么EF 的區(qū)間是_.（93 年全國(guó)文理） A. （，）B. （，）C. （，）D. （， ） 8.若復(fù)數(shù)z的輻角為，實(shí)部為2，則z_. A. 22iB. 22iC. 22iD. 22i 9.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式（x2） y3，那么 國(guó)理） 的最大值是_.（90 年全 A.B.C.D. 10.滿足方程|z3i|的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_. 答案答案 1 小題：將不等式解集用數(shù)軸表示，可以看出，甲乙，選A； 2 小題：由已知畫(huà)出對(duì)數(shù)曲線，選B； 3 小題：設(shè) sinxt后借助二次函數(shù)的圖像求f（x）的最小值，

23、選D； 4 小題：由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱畫(huà)出圖像，選B； 5 小題：將幾個(gè)集合的幾何意義用圖形表示出來(lái)，選B； 6 小題：利用單位圓確定符號(hào)及象限；選B； 7 小題：利用單位圓，選A； 8 小題：將復(fù)數(shù)表示在復(fù)平面上，選B； 9 小題：轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率范圍問(wèn)題；選D； 10 小題：利用復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示和兩點(diǎn)之間的距離公式求解，答案i. 【注】以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，即借 助數(shù)軸（題）、圖像（、題）、單位圓（、題）、復(fù)平面（、題）、方 程曲線（題）. 分類討論思想方法分類討論思想方法 在解答某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各

24、種情況加以分類，并逐類求解，然 后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想， 同時(shí)也是 一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思 想的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高 考試題中占有重要的位置。 引起分類討論的原因主要是以下幾個(gè)方面： 問(wèn)題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如|a|的定義分 a0、a0、a0 三種情 況。這種分類討論題型可以稱為概念型。 問(wèn)題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給 出的。如等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的公式，分

25、q1 和 q1 兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性 質(zhì)型。 解含有參數(shù)的題目時(shí)，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式 ax2 時(shí)分 a0、a0 和 a0 三種情況討論。這稱為含參型。 另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過(guò)分類 討論，保證其完整性，使之具有確定性。 進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不 重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。 解答分類討論問(wèn)題時(shí)，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對(duì)象以及所討論對(duì)象的全 體的范圍；其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，

26、即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒(méi)有重 復(fù)）；再對(duì)所分類逐步進(jìn)行討論，分級(jí)進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果；最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié) 論。 示范例題示范例題 例 1. 設(shè) 0 x1，a0 且a1，比較|log（1x）|與|log（1x）|的大小. 【分析】比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底數(shù)a 分兩類情況進(jìn)行討論. 【解】 0 x1 01x1 ， 1x1 當(dāng) 0a1 時(shí)，log（1x）0，log（1x）0，所以 |log （1x）|log （1x）|log （1x）log （1x）log （1x）0； 當(dāng)a1 時(shí)，log（1x）0，log（1x）0，所以 |log （1

27、x）|log （1x）|log （1x）log （1x）log （1x）0； 由、可知，|log（1x）|log（1x）|. 【注】本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a1 時(shí)其是增 函數(shù)，當(dāng) 0a1 時(shí)其是減函數(shù).去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符 號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性. 例 2. 已知集合 A 和集合 B 各含有 12 個(gè)元素，AB 含有 4 個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè) 條件的集合 C 的個(gè)數(shù)：. CAB 且 C 中含有 3 個(gè)元素；. CA . 【分析】由已知并結(jié)合集合的概念，C 中的元素分兩類：屬于A 元素；不屬于A 而屬于 B 的元

28、素.并由含 A 中元素的個(gè)數(shù) 1、2、3，而將取法分三種. 【解】 CC CC CC 1084 【注】 本題是排列組合中“包含與排除”的基本問(wèn)題， 正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類， 達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定 C 中元素如何取法.另一種解題思路是 直接使用“排除法”，即 CC 1084. 例 3. 設(shè)a是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項(xiàng)和. 證明： lgS；.是否存在常數(shù)c0，使得lg（Sc） 成立？并證明結(jié)論.（95 年全國(guó)理） 【分析】要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解.其中在應(yīng)用 等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q1 和q1

29、 兩種情況. 【解】設(shè)a的公比q，則a0，q0 .當(dāng)q1 時(shí)，Sna，從而SS 0； Sna（n2）a（n1）aa 當(dāng)q1 時(shí)，S，從而 SSSaq0； 由上可得 SSS， 所以lg（SS） lg（S） ， 即lgS. . 要使 （Sc） ， lg（Sc）成立，則必有（Sc）（Sc） 分兩種情況討論如下： 當(dāng)q1 時(shí)，Sna，則 （Sc）（S a0 c）（Sc） （nac）（n2）ac（n1）ac 當(dāng)q1 時(shí)，S，則（Sc）（Sc）（Sc） ccc a qac（1q） a q0ac（1q）0 即c 而 ScS0對(duì)數(shù)式無(wú)意義 由上綜述，不存在常數(shù)c0，使得lg（Sc）成立. 【注】本例由所用公式

30、的適用范圍而導(dǎo)致分類討論.該題文科考生改問(wèn)題為：證明 log 數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減. S，和理科第一問(wèn)類似，只是所利用的是底數(shù)是 0.5 時(shí)，對(duì) 例 1、例 2、例 3 屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的問(wèn)題 或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型. 例 4. 設(shè)函數(shù)f（x）ax2x2，對(duì)于滿足1x4 的一切x值都有f（x）0，求實(shí)數(shù) a的取值范圍. 【分析】含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)題，需要先對(duì)開(kāi)口 方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解. 【解】當(dāng)a0 時(shí)，f（x）a（x） 2

31、或 或 a1 或a1 或即a； 當(dāng)a0 時(shí)，解得； 當(dāng)a0 時(shí)，f（x）2x2，f（1）0，f（4）6，不合題意 由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a . 【注】本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開(kāi)口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a0、a0、a0 三種情況， 再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a0 時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、 右邊、 中間.本題的解答， 關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像， 也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法” 的運(yùn)用. 例 5. 解不等式0（a為常數(shù)，a） 【分析】含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了 2a1 的符號(hào)和兩根4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a 分四種情況a0、a0、a0、a分別加以討論. 【

32、解】 2a10 時(shí)，a 論： ；4a6a時(shí)，a0 .所以分以下四種情況討 當(dāng)a0 時(shí)，（x4a）（x6a）0，解得：x4a或x6a； 當(dāng)a0 時(shí)，x0，解得：x0； 當(dāng)a0 時(shí)，（x4a）（x6a）0，解得x6a或x4a；： 當(dāng)a時(shí)，（x4a）（x6a）0，解得： 6ax4a . 綜上所述，當(dāng)a0 時(shí)，x4a或x6a；當(dāng)a0 時(shí)，x0；當(dāng)a0 時(shí)，x6a或 x4a；當(dāng)a時(shí)，6ax4a . 【注】本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏.一般地，遇到題目 中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型. 例 6. 設(shè)a0，在復(fù)數(shù)集 C 中，解方

33、程：z2|z|a .（90 年全國(guó)高考） 【分析】由已知z2|z|a和|z|R 可以得到zR，即對(duì)z分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情況 進(jìn)行討論求解. 【解】 |z|R，由z2|z|a得：zR；z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù) 當(dāng)zR 時(shí)，|z| 2|z|a，解得：|z|1z（1）； 當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，設(shè)zyi（y0），y2ya解得：y 1（0a1） 由上可得，z（1）或（1）i 【注】本題用標(biāo)準(zhǔn)解法（設(shè)zxyi再代入原式得到一個(gè)方程組，再解方程組）過(guò)程十分 繁難，而挖掘隱含，對(duì)z分兩類討論則簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)問(wèn)題. 【另解】設(shè)zxyi，代入得xy22xyia； 當(dāng)y0 時(shí)，x2|x|a，解得x（1），所以z（1）； 當(dāng)x0 時(shí)，

34、y2|y|a，解得y（1），所以（1）i. 由上可得，z（1）或（1）i 【注】此題屬于復(fù)數(shù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解.其中抓住 2xy0 而分x0 和y 0 兩種情況進(jìn)行討論求解.實(shí)際上，每種情況中絕對(duì)值方程的求解，也滲透了分類討論思想. 例 7. 在xoy平面上給定曲線y2x，設(shè)點(diǎn)A（a，0），aR，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離的 最小值為f（a），求f（a）的函數(shù)表達(dá)式.（本題難度 0.40） 【分析】求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件 x0 下的最小值問(wèn)題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論. 【解】設(shè) M（x，y）為曲線y2x上任意一點(diǎn)，則 |MA|

35、（xa） y（xa） 2xx2（a1）xax（a1） （2a 1） 由于y2x限定x0，所以分以下情況討論： 當(dāng)a10 時(shí)，xa1 取最小值，即|MA2a1； 當(dāng)a10 時(shí)，x0 取最小值，即|MAa； 綜上所述，有f（a）. 【注】本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù).求二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題我們十分 熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x0 的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得 到df（a）的函數(shù)表達(dá)式. 再現(xiàn)題組再現(xiàn)題組 1.集合 Ax|x|4，xR，Bx|x3|a，xR，若 AB，那么a的范圍是_. A.0a1 B.a1 C.a1 D. 0a1 2.若a0 且a1，plog（

36、aa1），qlog（aa1），則p、q的大小關(guān)系 是_. A.pq B.pq C.pq D.當(dāng)a1 時(shí)，pq；當(dāng) 0a1 時(shí)， pq 3.函數(shù)y的值域是_. 4.若（0，），則的值為_(kāi). A. 1 或1 B. 0 或1 C. 0 或 1 D. 0 或 1 或1 5.函數(shù)yx的值域是_. A. 2， ） B.（， 22， ） C.（， ） D. 2，2 6.正三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是邊長(zhǎng)分別為 2 和 4 的矩形，則它的體積為_(kāi). A.B.C.D. 或 7.過(guò)點(diǎn) P（2，3），且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_. A. 3x2y0 B.xy50 C. 3x2y0 或xy50 D.不 能確定 答案答

37、案 1 小題：對(duì)參數(shù)a分a0、a0、a0 三種情況討論，選 B； 2 小題：對(duì)底數(shù)a分a1、0a1 兩種情況討論，選 C； 3 小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案4，2，0； 4 小題：分、0、三種情況，選 D； 5 小題：分x0、x0 兩種情況，選 B； 6 小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為 2 和 4、或 4 和 2 兩種情況，選 D； 7 小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選 C. 函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.方程思想，是從問(wèn) 題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等

38、式、 或方程與不 等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解.有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方 程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的. 笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題.宇宙世界，充斥著等式 和不等式.我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問(wèn)題是通 過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的等等；不等式問(wèn)題也與方程是近親，密切相關(guān).而函數(shù)和多元方程沒(méi)有什 么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0.可以說(shuō)，函數(shù)的 研究離不開(kāi)方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的. 函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，

39、函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型 的數(shù)學(xué)模型， 從而進(jìn)行研究.它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn).一般地， 函數(shù)思想是 構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周 期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指 數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性.在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù) 解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、 充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型.另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某 些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其

40、相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題. 函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考 中考查的重點(diǎn).我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)的不 等式、 方程、 最小值和最大值之類的問(wèn)題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析； 含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中， 選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題， 翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，建立數(shù)學(xué)模型 和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的 公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決. 示范例題示范例題 例 1. 設(shè)a0，a1，試求方程 log（

41、xak）log （89 年全國(guó)高考） （xa）有實(shí)數(shù)解的k的范圍. 【分析】由換底公式進(jìn)行換底后出現(xiàn)同底，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組，分離參數(shù)后分析式子 特點(diǎn)，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解. 【解】將原方程化為：log（xak）log，等價(jià)于 （a0，a1） k（ |1 ）， 設(shè)csc， （， 0） （0，） ， 則kf（） csc|cot| 當(dāng)（ 1； ，0）時(shí)，f（）csccotcot1，故k 當(dāng)（0， k1； ）時(shí)，f（）csccottan（0，1），故 0 綜上所述，k的取值范圍是：k1 或 0k1. 【注】求參數(shù)的范圍，分離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問(wèn)題，觀察所求函數(shù)式，引入新的變

42、量， 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，在進(jìn)行三角換元時(shí)，要注意新的變量的范圍.一般地，此種思路可 以解決有關(guān)不等式、方程、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問(wèn)題.本題還用到了分離參數(shù)法、 三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法. 另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”：將原方程化為：log （xak）log 等價(jià)于xak 0），如圖所示. （xak0），設(shè)曲線C：yxak，曲線C：y ， （y 由圖可知，當(dāng)aka或aak0 時(shí)曲線C與C有交點(diǎn)，即方程有實(shí)解.所以k的取 值范圍是：k1 或 0k1. 還有一種思路是直接解出方程的根，然后對(duì)方程的根進(jìn)行討論，具體過(guò)程是：原方程等價(jià)變 形為后，解得：，所以ak，即

43、k 0，通分得0，解得k1 或 0k1.所以k的取值范圍是：k1 或 0k1. 例 2. 設(shè)不等式 2x1m（x1）對(duì)滿足|m|2 的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立.求x的取值 范圍. 【分析】此問(wèn)題由于常見(jiàn)的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論.然而，若變換一個(gè) 角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式（x1）m（2x1）0 在2，2上恒成立的問(wèn) 題.對(duì)此的研究，設(shè)f（m）（x1）m（2x1），則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)） f（m）的值在2，2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件. 【解】問(wèn)題可變成關(guān)于m的一次不等式：（x1）m（2x1）0 在2，2 恒成立， 設(shè)f（m）（x1）m（2x1）， 則

44、 解得x（，） 【注】本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問(wèn)題變成函數(shù)在 閉區(qū)間上的值域問(wèn)題.本題有別于關(guān)于x的不等式 2x1m（x1）的解集是2，2時(shí)求m 的值、關(guān)于x的不等式 2x1m（x1）在2，2上恒成立時(shí)求m的范圍. 一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系， 使問(wèn)題更明朗化.或者含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈 活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題. 例 3. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，已知a12，S0，S0 . .求公差d的取值范圍；.指出S、S、S中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.（92 年 全

45、國(guó)高考） 【分析】問(wèn)利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問(wèn)利用S是n的二次 函數(shù)，將S中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S取最大值的函數(shù)最值問(wèn)題. 【解】由aa2d12，得到a122d，所以 S12a66d12（122d）66d14442d0， S13a78d13（122d）78d15652d0. 解得：d3. Snan（n11）dn（122d）n（n1）d n（5） （5） 因?yàn)閐0，故n（5） 最小時(shí)，S最大.由d3 得 6（5） 6.5，故正整數(shù)n6 時(shí)n（5） 最小，所以S最大. 【注】 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù) 思想來(lái)

46、分析或用函數(shù)方法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題.也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān) 系即方程，將問(wèn)題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快.由次可見(jiàn)，利用函數(shù)與方程的思想來(lái)解決問(wèn)題， 要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性. 本題的另一種思路是尋求a0、a0 ，即：由d0 知道aaa，由S 13a0 得a0，由S6（aa）0 得a0.所以，在S、S、S中，S的值 最大. 例 4. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC， PAAB2r，求異面直線PB和AC的距離. 【分析】 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而

47、設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值. 【解】在PB上任取一點(diǎn)M，作MDAC于D，MHAB于H， 設(shè)MHx，則MH平面ABC，ACHD . MDx（2rx）sin （sin1）x4rsinx4rsin （sin1）x 即當(dāng)x時(shí)，MD取最小值為兩異面直線的距離. 【注】 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小 值”，并設(shè)立合適的變量將問(wèn)題變成代數(shù)中的“函數(shù)問(wèn)題”.一般地，對(duì)于求最大值、最小值的 實(shí)際問(wèn)題， 先將文字說(shuō)明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后， 再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式， 然后利用函數(shù)性質(zhì)、 重要不等式和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答.比如再現(xiàn)性題組第 8 題就是典型的例子. 例

48、 5. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且 tanAtanC2 的對(duì)邊c上的高等于 4，求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角. ，又知頂點(diǎn)C 【分析】已知了一個(gè)積式，考慮能否由其它已知得到一個(gè)和式，再用方程思想求解. 【解】由A、B、C成等差數(shù)列，可得B60； 由ABC中 tanAtanBtanCtanAtanBtanC，得 tanAtanCtanB（tanAtanC1）（1） 設(shè) tanA、tanC是方程x（3）x20 的兩根，解得x1，x2 設(shè)AC，則 tanA1，tanC2，A，C 由此容易得到a8，b4，c44. 【注】本題的解答關(guān)鍵是利用“ABC中 tanAtanBtanCt

49、anAtanBtanC”這 一條性質(zhì)得到 tanAtanC，從而設(shè)立方程求出 tanA和 tanC的值，使問(wèn)題得到解決. 例 6. 若（zx）4（xy）（yz）0，求證：x、y、z成等差數(shù)列. 【分析】觀察題設(shè)，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b4ac0 的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)一元二次 方程進(jìn)行求解. 【證明】當(dāng)xy時(shí)，可得xz，x、y、z成等差數(shù)列； 當(dāng)xy時(shí)，設(shè)方程（xy）t（zx）t（yz）0，由0 得tt，并易知t 1 是方程的根. tt1，即 2yxz，x、y、z成等差數(shù)列 【注】一般地，題設(shè)條件中如果已經(jīng)具備或經(jīng)過(guò)變形整理后具備了“xxa、xx b”的形式， 則可以利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程；

50、 如果具備b4ac0 或b4ac0 的形式， 可以利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程.這種方法使得非方程問(wèn)題用方程思想來(lái)解決，體現(xiàn)了一 定的技巧性，也是解題基本方法中的一種“構(gòu)造法”. 例 7. ABC中，求證：cosAcosBcosC . 【分析】 考慮首先使用三角公式進(jìn)行變形， 結(jié)合三角形中有關(guān)的性質(zhì)和定理， 主要是運(yùn)用“三 角形的內(nèi)角和為 180”.變形后再通過(guò)觀察式子的特點(diǎn)而選擇和發(fā)現(xiàn)最合適的方法解決. 【證明】設(shè)kcosAcosBcosC cos（AB）cosC cos（AB）cos（AB）cosCcosC 整理得：cosCcos（AB）cosC2k0，即看作關(guān)于 cosC的一元二次方程

51、. cos （AB）8k0即 8kcos （AB）1 k即 cosAcosBcosC 【注】 本題原本是三角問(wèn)題，引入?yún)?shù)后， 通過(guò)三角變形，發(fā)現(xiàn)了其等式具有“二次”特點(diǎn)， 于是聯(lián)想了一元二次方程，將問(wèn)題變成代數(shù)中的方程有實(shí)解的問(wèn)題，這既是“方程思想”，也體 現(xiàn)了“判別式法”、“參數(shù)法”. 此題的另外一種思路是使用“放縮法”，在放縮過(guò)程中也體現(xiàn)了“配方法”，具體解答過(guò)程 是：cosAcosBcosCcos（AB）cos（AB）cosCcosCcos（A B）cosC cosC cos （AB）cos （AB）. 例 8. 設(shè)f（x）lg 取值范圍. ，如果當(dāng)x（，1時(shí)f（x）有意義，求實(shí)數(shù)a的

52、 【分析】當(dāng)x（，1時(shí)f（x）lg 4a0 在x（，1上恒成立的不等式問(wèn)題. 有意義的函數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為 12 【解】由題設(shè)可知，不等式 124a0 在x（，1上恒成立， 即：（）（）a0 在x（，1上恒成立. 設(shè)t（），則t，又設(shè)g（t）tta，其對(duì)稱軸為t tta0 在，）上無(wú)實(shí)根，即g（）（） a0，得a 所以a的取值范圍是a. 【注】對(duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和 單調(diào)性進(jìn)行解決問(wèn)題，其中也聯(lián)系到了方程無(wú)解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想.一般地，我們?cè)?解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問(wèn)題進(jìn)行相互轉(zhuǎn) 化. 在解

53、決不等式（）（）a0 在x（，1上恒成立的問(wèn)題時(shí)，也可使用 “分離參數(shù)法”：設(shè)t（），t，則有att（，所以a的 取值范圍是a.其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可 屬應(yīng)用“函數(shù)思想”. 再現(xiàn)題組再現(xiàn)題組 1.方程 lgxx3 的解所在的區(qū)間為_(kāi). A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3， ） 2.如果函數(shù)f（x）xbxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f（2t）f（2t），那么_. A.f（2）f（1）f（4）B.f（1）f（2）f（4） C.f（2）f（4）f（1）D.f（4）f（2）f（1） 3.已知函數(shù)yf（x）有反函數(shù)，則方程f（x）a（a是常數(shù)） _.

54、A.有且僅有一個(gè)實(shí)根B.至多一個(gè)實(shí)根C.至少一個(gè)實(shí)根D.不同于以上結(jié)論 4.已知 sincos，（，），則 tan的值是_. A. B. C.D. 5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S， 且SS（pq，p、qN） ， 則S_. 6.關(guān)于x的方程 sinxcosxa0 有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 7.正六棱錐的體積為 48，側(cè)面與底面所成的角為 45，則此棱錐的側(cè)面積為_(kāi). 8. 建造一個(gè)容積為 8m，深為 2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別 為 120 元和 80 元，則水池的最低造價(jià)為_(kāi). 答案答案 1 小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法），選C；

55、 2 小題：函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸為 2，結(jié)合其單調(diào)性，選A； 3 小題：從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B； 4 小題：設(shè)tanx（x0），則，解出x2，再用萬(wàn)能公式，選A； 5 小題：利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（，p）、 （， q）、（x，pq）在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0； 6 小題：設(shè)cosxt，t1，1，則att1，1，所以答案：，1； 7 小題：設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24； 8 小題：設(shè)長(zhǎng)x，則寬，造價(jià)y41204x80801760，答案：1760. 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法 等價(jià)轉(zhuǎn)化是把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問(wèn)題的一種重要的思想方法。

56、 通 過(guò)不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡(jiǎn)單的問(wèn)題。歷 年高考，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想無(wú)處不見(jiàn)，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺(jué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)，將有利于強(qiáng)化解決數(shù) 學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。 轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化與非等價(jià)轉(zhuǎn)化。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過(guò)程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn) 化后的結(jié)果仍為原問(wèn)題的結(jié)果。 非等價(jià)轉(zhuǎn)化其過(guò)程是充分或必要的， 要對(duì)結(jié)論進(jìn)行必要的修正 （如 無(wú)理方程化有理方程要求驗(yàn)根），它能給人帶來(lái)思維的閃光點(diǎn)， 找到解決問(wèn)題的突破口。我們?cè)?應(yīng)用時(shí)一定要注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與非等價(jià)性的不同要求，實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)確保其等價(jià)性，保證邏 輯上的正確。 著名的數(shù)學(xué)

57、家，莫斯科大學(xué)教授 C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表什么 叫解題的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題”。 數(shù)學(xué)的解題過(guò)程，就是從 未知向已知、從復(fù)雜到簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)換過(guò)程。 等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。 在應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問(wèn) 題時(shí)，沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在 宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，普通語(yǔ)言向數(shù)學(xué)語(yǔ)言的翻譯；它可以 在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換，即所說(shuō)的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問(wèn)題 等等，都體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不

58、等式之間進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化?？梢哉f(shuō)， 等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活 性，我們要合理地設(shè)計(jì)好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。 在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把 我們遇到的問(wèn)題，通過(guò)轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問(wèn)題來(lái)處理；或者將較為繁瑣、 復(fù)雜的問(wèn)題，變 成比較簡(jiǎn)單的問(wèn)題，比如從超越式到代數(shù)式、從無(wú)理式到有理式、 從分式到整式等；或者比較 難以解決、比較抽象的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問(wèn)題，以便準(zhǔn)確把握問(wèn)題的求解過(guò)程， 比如數(shù)形 結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過(guò)程省時(shí)省

59、力， 有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。 示范例題示范例題 例 1. 若x、y、zR且xyz1，求（1）（1）（1）的最小值. 【分析】由已知xyz1 而聯(lián)想到，只有將所求式變形為含代數(shù)式xyz，或者運(yùn)用 均值不等式后含xyz的形式.所以，關(guān)鍵是將所求式進(jìn)行合理的變形，即等價(jià)轉(zhuǎn)化. 【解】（1）（1）（1）（1x）（1y）（1z） （1xyzxyyzzxxyz）（xyyzzxxyz） 131119 【注】對(duì)所求式進(jìn)行等價(jià)變換：先通分，再整理分子，最后拆分 .將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 的最小值，則不難由平均值不等式而進(jìn)行解決.此題屬于代數(shù)恒等變形題型，即代數(shù)式在形變 中保持值不變. 例 2. 設(shè)x、yR 且 3x2y6x，求xy的范圍. 【分析】設(shè)kxy，再代入消去y，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解時(shí)求參數(shù)k范圍的問(wèn) 題.其中