1、導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的物理及幾何意義 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的單調(diào)性研究 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值與最值研究 最優(yōu)化問題 計(jì)算定積分 定積分與微積分 的基本定理 定積分的應(yīng)用 第第 1 1 講講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算 知知 識(shí)識(shí) 梳理梳理 1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟. （1）求函數(shù)的改變量y； （2）求平均變化率 yy .（3）取極限，得導(dǎo)數(shù) f （x0）=lim. x0 xx 2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義 幾何意義：曲線 f（x）在某一點(diǎn)（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過點(diǎn)（x0，y0）的切線

2、的 物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s（t） ，在點(diǎn) P（i0，s（t0） ）處導(dǎo)數(shù)的意義是 t=t0處 的 解析：斜率.；瞬時(shí)速度. 3. 幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) nn1 ；(x ) nx（nR） ；c0（c為常數(shù)） (sin x) ；(cos x)； (ln x) 11 ； (log a x) logae； xx (ex)ex；(ax)axlna. 解析：cosx;sin x; 4.運(yùn)算法則 求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則： u (u v)uv；(uv) ； (v 0). v uvuv 解析：uvuv； 2v 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：f x (x) f (u)(x)或y x yuux 重重 難難 點(diǎn)點(diǎn) 突突

3、破破 1.1.重點(diǎn)重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算法則，熟練掌握常見函數(shù)的計(jì)算和曲線的切線方程的求法 2.2.難點(diǎn)：難點(diǎn)：切線方程的求法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 3.重難點(diǎn)：重難點(diǎn)：借助于計(jì)算公式先算平均增長率,再利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)的問題. （1 1）平均變化率的實(shí)際含義是改變量與自變量的改變量的比。）平均變化率的實(shí)際含義是改變量與自變量的改變量的比。 問題問題 1 1.比較函數(shù)f (x) 2與g(x) 3,當(dāng)x1,2時(shí),平均增長率的大小. 點(diǎn)撥:解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 計(jì)算函數(shù)的平均增長率的基本步驟是 (1)計(jì)算自變量的改變量x x2 x 1 (2)計(jì)算對(duì)應(yīng)函數(shù)值的改變量y f (x2) f (x2)

4、(3)計(jì)算平均增長率: xx yf (x 2 ) f (x 1) xx 2 x 1 y 1 22213231 x y 23,又對(duì)于g(x) 3,8對(duì)于f (x) 2, x 1 21x 2 21 x 故當(dāng)x1,2時(shí),g(x)的平均增長率大于f (x)的平均增長率. （2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要堅(jiān)持“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”的原則, 問題 2. 已知y (1 cos2x),則y . 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其2x與x系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯(cuò)解 為:y 2sin2x(1 cos2x). 2 設(shè)y u,u 1cos2x,則 y x y u u x 2u(1 cos2x)

5、2u (sin 2x)(2x) 2 2u(sin2x)2 4sin2x(1 cos2x)y 4sin2x(1 cos2x). （3）求切線方程時(shí)已知點(diǎn)是否切點(diǎn)至關(guān)重要。 問題 3. 求y 2x2 3在點(diǎn)P(1,5)和Q(2,9)處的切線方程。 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：點(diǎn)P在函數(shù)的曲線上，因此過點(diǎn)P的切線的斜率就是 y 在x 1處的函數(shù)值； 點(diǎn)Q不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點(diǎn)的方法求切線 切忌切忌直接將P，Q看作曲線上的點(diǎn) 用導(dǎo)數(shù)求解。 y 2x23, y 4x. y x1 4 即過點(diǎn)P的切線的斜率為 4，故切線為：y 4x 1 設(shè)過點(diǎn)Q的切線的切點(diǎn)為T(x0, y0)，則切線的斜率

6、為4x0，又k PQ y09 ， x0 2 2x026 故 4x0，2x028x06 0.x01,3。 x0 2 即切線QT的斜率為 4 或 12，從而過點(diǎn)Q的切線為： y 4x 1, y 12x 15 熱熱 點(diǎn)點(diǎn) 考考 點(diǎn)點(diǎn) 題題 型型 探探 析析 考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1: 導(dǎo)數(shù)概念 題型 1.求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值 例 1 設(shè)函數(shù)f (x)在x0處可導(dǎo)，則lim x0 f (x 0 x) f (x 0 ) 等于 x Af (x0)B f (x0)Cf (x0)D f (x0) 【解題思路】由定義直接計(jì)算 解析lim x0 f (x 0 x) f (x 0 )fx 0 (x) f (x 0 )

7、lim f (x 0 ).故選B x0 x(x) 【名師指引】求解本題的關(guān)鍵是變換出定義式lim x0 f (xx) f (x) f (x 0 ) x 考點(diǎn) 2.求曲線的切線方程 例 2(高明一中 20XX 屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，函數(shù)y f (x)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是y x 8，則 f (5) f (5)= . 【解題思路】區(qū)分過曲線P處的切線與過P點(diǎn)的切線的不同，后者的P點(diǎn)不一定在曲線上 .解析:觀察圖形,設(shè) P(5, f (5),過 P 點(diǎn)的切線方程為 y f (5) f (5)(x5)即y f (5)x f (5)5f (5) 它與y x 8重合,比較系數(shù)知:f (5) 1

8、, f (5) 3 故f (5) f (5)=2 【名師指引】求切線方程時(shí)要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐 標(biāo) 題型 3.求計(jì)算連續(xù)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x x 0 處的瞬時(shí)變化率 例 3一球沿一斜面從停止開始自由滾下，10 s 內(nèi)其運(yùn)動(dòng)方程是 s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5 時(shí) 的加速度. 【解題思路】計(jì)算連續(xù)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x x 0 處的瞬時(shí)變化率實(shí)際上就是y f (x)在點(diǎn)x x 0 處的導(dǎo)數(shù). s(5t)s(5)(5t)252 lim 解析：加速度 v=lim t0t0 tt lim (10+t)=1

9、0 m/s. t0 加速度 v=2t=25=10 m/s. 【名師指引】計(jì)算連續(xù)函數(shù)y f (x)在點(diǎn)x x 0 處的瞬時(shí)變化率的基本步驟是 yf (x 0 x) f (x 0 ) xx y 2. 計(jì)算lim x0 x 1. 計(jì)算 【新題導(dǎo)練】. 1 2 和y x在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積是 . x 1 2 解析：曲線y 和y x在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是 y=x+2 和 y=2x1，它們與x軸所圍 x 3 成的三角形的面積是. 4 1.1. 曲線y 點(diǎn)撥:與切線有關(guān)的問題,應(yīng)有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí),求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)只要聯(lián)立解方程組即可. 2.2. 某質(zhì)點(diǎn)

10、的運(yùn)動(dòng)方程是S t (2t 1)，則在 t=1s 時(shí)的瞬時(shí)速度為 2 （） A1 x0 B3C7D13 解:B點(diǎn)撥:計(jì)算lim ss(1t)s(1)即可 tt 3.3. 已知曲線 C1:y=x2與 C2:y=(x2)2,直線 l 與 C1、C2都相切，求直線 l 的方程. 解：設(shè) l 與 C1相切于點(diǎn) P(x1,x12),與 C2相切于 Q(x2,(x22)2) 對(duì)于 C1：y=2x,則與 C1相切于點(diǎn) P 的切線方程為 yx12=2x1(xx1),即 y=2x1xx12 對(duì)于 C2：y=2(x2),與 C2相切于點(diǎn) Q 的切線方程為 y+(x22)2=2(x22)(xx2),即 y=2(x2

11、2)x+x224 兩切線重合，2x1=2(x22)且x12=x224,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 直線 l 方程為 y=0 或 y=4x4 點(diǎn)撥:利用解方程組求交點(diǎn),利用直線間的位置和待定系數(shù)法求斜率. 考點(diǎn) 2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 題型題型 1:1:求導(dǎo)運(yùn)算求導(dǎo)運(yùn)算 例 1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （1） y e cosx （2）y x tan x（3）y ln(x1) 【解題思路】按運(yùn)算法則進(jìn)行 解析 （1）Q y e cosx,y e 2 x2 x cosxe (cosx) e x xxcosxexsin x （2）Q y x tan x,y x 2 sin x cos2xsin

12、 x(sin x) () 2x 2cosxcos x 2x 1 cos2x 11 （3）y (x1) x1x1 x 【名師指引】 注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（分解求導(dǎo)回代） ；注意問題的變通：如y xe的導(dǎo)數(shù)容易求錯(cuò)，但 y x 的導(dǎo)數(shù)不易求錯(cuò). ex 題型題型 2:2:求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程 例例 2.2. ( ( 廣州市 20XX 屆二月月考)已知函數(shù)f (x) 2 3x 2ax23x(xR R ). 3 （1）若a 1，點(diǎn) P 為曲線y f (x)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn) P 為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程； （2）若函數(shù)y f (x)在(0,)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條

13、件的最大整數(shù)a. 【解題思路】先按運(yùn)算法則求導(dǎo),再按幾何意義求切線方程. 解析： （1）設(shè)切線的斜率為 k，則k f (x) 2x 4x 3 2(x 1) 1 又f (1) 22 55 ，所以所求切線的方程為：y x 1 即3x 3y 2 0. 33 【名師指引】求三次函數(shù)圖象的切線在高考中經(jīng)常出現(xiàn). 與曲線y 1 2x 相切于 P(e,e)處的切線方程是（ D ） e Ay ex2 By ex2 Cy 2xe Dy 2xe 題型題型 3:3:求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題 例例 3.3. 某市在一次降雨過程中 ,降雨量y(mm)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y f (t

14、) 10t,則在時(shí)刻 t 40min的降雨強(qiáng)度為() 11 mm/minD.mm/min 24 【解題思路】先對(duì)t的求導(dǎo),再代t的數(shù)值. A.20mmB.400mmC. 1 選 D 2 10t10t4004 【名師指引】求某一時(shí)刻的降雨量相當(dāng)于求瞬時(shí)變化率,即那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值. 【新題導(dǎo)練】. 解析:f (t) 1 10 5 , f (40) 5 4.4. 設(shè)函數(shù)f (x) x(xk)(x2k)(x3k)，且f (0) 6，則k A0 B-1 C3 D-6 思路分析: 按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo),然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于k的方程求解. 解 : f (x) (xk)(x2k)(x3k)+x(x2k)

15、(x3k)+x(xk)(x3k)+x(xk)(x2k) 故f (0) 6k3又f (0) 6,故k 1 5.5. 設(shè)函數(shù)f (x) (xa)(xb)(xc)， （a、b、c是兩兩不等的常數(shù)） ， 則 abc f (a)f (b)f (c) 解析:f (x) (xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)代入即得 0. 6.6. 質(zhì)量為10kg的物體按s(t) 3t2t 4的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),動(dòng)能E 解析:先求瞬時(shí)速度后,再代入公式求解提 3125J 搶搶 分分 頻頻 道道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1.1. ( 廣 東 省 六 校 20XX 屆 高 三 第 二 次 聯(lián) 考 試 卷 )f (x)

16、是 f (x) 是 解析: f (x) x 2故f (1)=3 2.2. (廣東省 20XX 屆六校第二次聯(lián)考)y xcosx在x 2 1 2 mv,則物體在運(yùn)動(dòng)4s后的動(dòng)能是 2 1 3x 2x1 的 導(dǎo) 函 數(shù) ， 則f (1)的 值 3 3 處的導(dǎo)數(shù)值是_. 解析：y cosx xsin x故填 13 26 上求一點(diǎn) P，當(dāng)PAB3. 已知直線 x+2y4=0 與拋物線 y2=4x 相交于 A、B 兩點(diǎn)，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，P 是拋物線的弧 面積最大時(shí)，P 點(diǎn)坐標(biāo)為. 解析：|AB|為定值，PAB面積最大，只要 P 到 AB 的距離最大，只要點(diǎn) P 是拋物線的平行于 AB 的切線的切點(diǎn)， 設(shè)

17、 P（x,y）.由圖可知，點(diǎn) P 在 x 軸下方的圖象上 y=2 x,y= 1111 ,kAB=, 22xx x=4,代入 y2=4x(y0)得 y=4.P(4,4) 17 4.(廣東省深圳市 20XX 年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試)已知 f (x) lnx ，g(x) x2mx（m 0） ， 直線l與函數(shù) f (x) 、 22 g(x) 的圖像都相切，且與函數(shù) f (x) 的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1求直線l的方程及m的值； 解：依題意知：直線l是函數(shù)f (x) lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線，故其斜率 1 k f (1)1， 1 所以直線l的方程為y x1 又因?yàn)橹本€l與g(x)的圖像相切，所以由

18、y x1 1 2 9 1 2 7 x (m1)x 0， 22y x mx 22 得 (m1)29 0 m 2（m 4不合題意，舍去） ； 5.( (湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 20XX20XX 屆高三第四次月考屆高三第四次月考) ) 已知函數(shù)f (x) ln x,g(x) 1 2x a(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f (x),g(x)的圖象都相切，且l與函數(shù)f (x)圖象 2 的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1,求直線l的方程及a的值； 解由f (x) | x1 1，故直線l的斜率為 1，切點(diǎn)為(1, f (1) 即（1，0）l : y x 1 又g(x) x 1, 1 切點(diǎn)為(1, a) 2 1 a 2 1

19、1 比較和的系數(shù)得 a 1,a 22 l : y ( a) x 1 即y x 綜合拔高訓(xùn)練綜合拔高訓(xùn)練 6. 對(duì)于三次函數(shù)f (x) ax bx cxd(a 0)，定義：設(shè)f (x)是函數(shù)y f (x)的導(dǎo)函數(shù)y f (x)的導(dǎo)數(shù)，若 32 f (x) 0有實(shí)數(shù)解x 0，則稱點(diǎn)(x0 , f (x 0 )為函數(shù)y f (x)的“拐點(diǎn)” 。現(xiàn)已知f (x) x 3x 2x2,請(qǐng)解答下列 1 2 32 問題: （1）求函數(shù)f (x)的“拐點(diǎn)”A 的坐標(biāo); （2）求證f (x)的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A 對(duì)稱;并寫出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（此結(jié) 論不要求證明）. 解析（1）f (

20、x) 3x 6x2，f (x) 6x6.令f (x) 6x6 0得 x 1，f (1)1 322 2.拐點(diǎn)A(1,2) 32 （2）設(shè)P(x0, y0)是y f (x)圖象上任意一點(diǎn)， 則y 0 x 0 3x 0 2x 0 2，因?yàn)镻(x 0 , y 0 )關(guān)于A(1,2)的對(duì)稱點(diǎn) 2 3 為P(2 x0,4 y0)，把 P 代入y f (x)得 32 左邊 4 y0 x 0 3x 0 2x 0 2, 3232 右邊 (2 x 0 ) 3(2 x 0 ) 2(2 x 0 )2 x 0 3x 0 2x 0 2 右邊=右邊P(2 x 0,4 y0 )在y f (x)圖象上y f (x)關(guān)于 A 對(duì)

21、稱 7.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f (x) 公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。 （1）若a 1，求b的值； （2）用a表示b，并求b的最大值。 解： （1）設(shè)y f (x)與y g(x)(x 0)在公共點(diǎn)(x0, y0)處的切線相同 1 2x 2ax,g(x) 3a2ln xb，其中a 0。設(shè)兩曲線y f (x), y g(x)有 2 f (x) x2,g(x) 3 x 1 2x 0 2x 0 3ln x 0 b 2 由題意知f (x0) g(x0), f (x0) g (x0)， 3 x 0 2 x 0 由x02 即有b 3 得，x01，或x0 3（舍去） x 0 5 2 （2）設(shè)y f (

22、x)與y g(x)(x 0)在公共點(diǎn)(x0, y0)處的切線相同 3a2 f (x) x2a,g(x) x 1 22x 2ax 3a ln x 0 b 00 2 由題意知f (x0) g(x0), f (x0) g (x0)， 23a x 0 2a x 0 3a2 由x 0 2a 得，x0 a，或x0 3a（舍去） x 0 1 2 5 a 2a23a2lna a23a2lna 22 5 令h(t) t23t2lnt(t 0)，則h(t) 2t(13ln t)，于是 2 即有b 當(dāng)2t(13ln t) 0，即0 t e時(shí)，h(t) 0； 當(dāng)2t(13ln t) 0，即t e時(shí)，h(t) 0 1

23、3 1 3 1 3 2 3 2 3 故h(t)在(0,)的最大值為h(e ) e3，故b的最大值為e3 22 32 8. 設(shè)三次函數(shù)f (x) ax bx cxd(a b c),在x 1處取得極值，其圖象在x m處的切線的斜率為3a。求 證：0 b 1； a 2 解：()方法一、f (x) 3ax 2bx c . 由題設(shè)，得f (1) 3a2bc 0 f(m) 3am22bmc 3a a bc，6a 3a2bc 6c，a 0,c 0。 由代入得3am2 2bm2b 0， 4b2 24ab 0， 得( ) b a 2 6bbb 0, 6或 0 aaa b 1 a 將c 3a2b代入a b c中，

24、得1 由、得0 b 1； a 方 法 二 、 同 上 可 得 ： 1）3a2bc 0（ 將 （ 1 ） 變 為 ：3a 2bc代 入 （ 2 ） 可 得 ： 23m a2bm3ac 0（2） m2cm2cb 2b 2 0，所以a b 0，則0 1 m m1 (m 1 )2 3 a 24 1）3a2bc 0（ 3am22b(m1) 0， 方法三： 同上可得：將 （1） 變?yōu)椋海?） 可得：c 3a2b代入 2 3m a2bm3ac 0（2） b3m2 顯然m 1，所以 a1m 因?yàn)閒 (x) 3ax 2bx c圖象的開口向下，且有一根為x1=1 由韋達(dá)定理得x 1 x 2 2 cc ,x2 0

25、x 1 3a3a b3m2cb 0，由a bc得：1f (m) 3a 0,所以m(,1)，即m 1，則 a1m3aa 所以：0 b 1 a 第第 2 2 講講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 知知 識(shí)識(shí) 梳理梳理 1. 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f (x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)；如果f (x)0，那么函數(shù) yf(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi) . 解析：單調(diào)遞增；單調(diào)遞減 2. 判別 f (x0)是極大、極小值的方法 若x 0 滿足f (x0) 0，且在x 0 的兩側(cè)f(x)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)， 則x 0 是f(x

26、)的極值點(diǎn)，f(x 0 )是極值， 并且如果f (x) 在x 0 兩側(cè)滿足“左正右負(fù)” ，則x 0 是f(x)的，f(x 0 )是極大值；如果f (x)在x 0 兩側(cè)滿足“左負(fù)右正” ，則 x 0 是f(x)的極小值點(diǎn)，f(x 0 )是 解析：極大值點(diǎn)；極小值. 3解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)的極值的步驟: (1) 確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x). (2) 求方程 f ( x)=0的根. (3) 用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 0 的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格. 檢查 f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f (x)

27、在這個(gè)根處 取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值. 4求函數(shù)最值的步驟： （1）求出f(x)在(a,b)上的極值. （2）求出端點(diǎn)函數(shù)值f(a),f(b). （3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值. 重重 難難 點(diǎn)點(diǎn) 突突 破破 1.1.重點(diǎn)重點(diǎn)：熟悉利用導(dǎo)數(shù)處理單調(diào)性、極值與最值的一般思路，熟練掌握求常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值與最值的方法 2.2.難點(diǎn)：難點(diǎn)：與參數(shù)相關(guān)單調(diào)性和極值最值問題 3.重難點(diǎn)：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問題重難點(diǎn)：借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)與不等式的綜合問題 （1）在求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)，應(yīng)注意可導(dǎo)函數(shù)的駐點(diǎn)可能是它的極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。 問

28、題問題 1.1. 設(shè)a0，f(x)x1ln2x2alnx(x0)令F (x)xf(x)，討論F (x)在(0 ， )內(nèi)的單調(diào)性并求極值； 點(diǎn)撥:根據(jù)求導(dǎo)法則有f (x) 1 2lnx2a，x 0， xx 2x2，x 0， xx x F(x) 故F (x) xf(x)x2lnx2a，x0，于是F (x) 1 列表如下： (0 ， 2) 2 (2 ，) 2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2 ，)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x2處 故知F (x)在(0 ， 取得極小值F (2) 22ln22a （2 2）借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)）借助導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究不等關(guān)系關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)

29、. . 減 0 極小值F (2) 增 F (x) 問題問題 2.2.已知函數(shù)f(x)是(0, )上的可導(dǎo)函數(shù)，若xf(x)f(x)在x0時(shí)恒成立. （1）求證：函數(shù)g(x) f (x) 在(0,)上是增函數(shù)； x （2）求證：當(dāng)x1 0,x2 0時(shí)，有f (x1 x2) f (x1 x2). 點(diǎn)撥:由xf (x) f (x)轉(zhuǎn)化為 f (x) 為增函數(shù)是解答本題關(guān)鍵.類似由 x xf (x) f (x) 0轉(zhuǎn)化為xf (x)為增函數(shù)等思考問題的方法是我們必須學(xué)會(huì)的. f (x)xf (x) f (x) 得g(x) ,因?yàn)閤f (x) f (x)， 2xx f (x) 所以g(x) 0在x 0時(shí)

30、恒成立，所以函數(shù)g(x) 在(0,)上是增函數(shù). x f (x) （2）由（1）知函數(shù)g(x) 在(0,)上是增函數(shù)，所以當(dāng)x1 0,x2 0時(shí)， x （1）由g(x) 有 f (x 1 x 2 )f (x 1 )f (x 1 x 2 )f (x 2 ) , 成立， x 1 x 2 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 x 2f (x 1 x 2 ), f (x 2 ) f (x 1 x 2 ) x 1 x 2 x 1 x 2 從而f (x1) 兩式相加得f (x1 x2) f (x1) f (x2) 熱熱 點(diǎn)點(diǎn) 考考 點(diǎn)點(diǎn) 題題 型型 探探 析析 考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 題

31、型 1.討論函數(shù)的單調(diào)性 1 ，x 1 例例 1(081(08 廣東高考廣東高考) )設(shè)kR R，函數(shù)f (x) 1 x，F(xiàn)(x) f (x)kx，xR R，試討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性 x1，x1 【解題思路】先求導(dǎo)再解f (x) 0和f (x) 0 1 kx, 1 x 【解析】F(x) f (x)kx x1kx, 對(duì)于F(x) 1 k, 2 x 1, (1 x) F (x) 1 k,x 1, 2 x1 x 1, x 1, 1 kx(x 1)， 1 x 當(dāng)k 0時(shí)，函數(shù)F(x)在(,1)上是增函數(shù)； 當(dāng)k 0時(shí)，函數(shù)F(x)在(,1 11 )上是減函數(shù)，在(1,1)上是增函數(shù)； kk 對(duì)于F(

32、x) 1 k(x 1)， 2 x1 當(dāng)k 0時(shí)，函數(shù)F(x)在1,上是減函數(shù)； 當(dāng)k 0時(shí)，函數(shù)F(x)在1,1 1 1 1, 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)。 2 4k24k 【名師指引】解題規(guī)律技巧妙法總結(jié): 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟. （1）求函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x)（2）令f (x) 0解不等式，得x的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令f (x) 0解不等式，得 x的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對(duì)照定義域得出結(jié)論. 誤區(qū)警示求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易忽視定義域，如求函數(shù)y ln(x1) 試，該題正確答案為(1,0). 題型 2.由單調(diào)性求參數(shù)的值或取值范圍 例 2: 若f (x) ax x在區(qū)間1,1上

33、單調(diào)遞增，求a的取值范圍. 【解題思路】解這類題時(shí),通常令f (x) 0(函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上遞增)或 f (x) 0(函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上遞減),得出恒成立的條件,再利用處理不等式恒成立的方法獲解. 解析：Q f (x) 3ax 1又f (x)在區(qū)間1,1上單調(diào)遞增 2 3 1 2x x的單調(diào)增區(qū)間，錯(cuò)誤率高，請(qǐng)你一 2 f (x) 3ax21 0在1,1上恒成立 即a 11 在1,1的最大值為 xt 3x23 11 a 故a的取值范圍為, 33 【名師指引】:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)值的關(guān)系,要特別注意導(dǎo)數(shù)值等于零的用法. 題型 3.借助單調(diào)性處理不等關(guān)系 例 3

34、. 當(dāng)x 0，求證e 1 x 【解題思路】先移項(xiàng),再證左邊恒大于 0 解析：設(shè)函數(shù)f (x) e (1 x) Q f (x) e 1 x0 當(dāng)x 0時(shí)， e e 1， f (x) e 1 0故f (x)在0,)遞增，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) f (0),又 x xx x f (0) e0(10) 0， f (x) 0，即ex(1 x) 0，故ex1 x 【名師指引】若要證的不等式兩邊是兩類不同的基本函數(shù)，往往構(gòu)造函數(shù)，借助于函數(shù)的單調(diào)性來證明 【新題導(dǎo)練】. 1. 若函數(shù) f(x)=x3ax2+1 在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 A.a3B.a=2C.a3D.0a0 恒成立，y=

35、x3+x 在(,+)上為增函數(shù)，沒有減區(qū)間. 答案：A 3. 已知函數(shù)f (x) ln x,g(x) a (a 0),設(shè)F(x) f (x) g(x) x （）求函數(shù)F(x)的單調(diào)區(qū)間； （）若以函數(shù)y F(x)(x(0,3)圖像上任意一點(diǎn)P(x0, y0)為切點(diǎn)的切線的斜率k 小值； 解析： （I）Fx f x gx ln x 1 恒成立，求實(shí)數(shù)a的最 2 a1axa x 0，F(xiàn) x 2 2 x 0 xxxx a 0，由Fx0 xa,， Fx在a,上單調(diào)遞增。 由Fx0 x0,a，F(xiàn)x在0,a上單調(diào)遞減。 Fx的單調(diào)遞減區(qū)間為0,a，單調(diào)遞增區(qū)間為a,。 （II）F x xa 0 x 3，

36、2 x x 0 a11 2 a x x0 x 3 恒成立 00 0 22x 0 2 max k F x 0 1 2 1 x 0 x 0 取得最大值。 22 11 a ，amin 22 當(dāng)x01時(shí)， 考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2: 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最大(小)值. 題型 1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最大(小)值 例 1. 若函數(shù)f (x) mcosx 1 sin2x在x 處取得極值,則m . 24 【解題思路】若在x0附近的左側(cè)f (x) 0，右側(cè)f (x) 0，且f (x0) 0,那么f (x0)是f (x)的極大值；若在x0附 近的左側(cè)f (x) 0，右側(cè)f (x) 0，且f (x0) 0,那么f (x0

37、)是f (x)的極小值. 解析因?yàn)閒 (x)可導(dǎo),且f (x) msin xcos2x,所以f ( ) msin 44 cos 2 0,解得m 0.經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m 0 時(shí), 函數(shù)f (x) 1 sin2x在x 處取得極大值. 24 【名師指引】 若f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，注意f (x0) 0是x0為函數(shù)f (x)極值點(diǎn)的必要條件.要確定極值點(diǎn)還需在x0左右 判斷單調(diào)性. 例 2 （2008深圳南中）設(shè)函數(shù)f (x) x(xa)（xR R） ，其中a 0，求函數(shù)f (x)的極大值和極小值 【解題思路】先求駐點(diǎn)，再列表判斷極值求出極值。 解析：.f (x) x(xa) x 2ax a x， 2322 2

38、 f (x) 3x24axa2 (3xa)(xa) 令f (x) 0，解得x a 或x a 3 由于a 0，當(dāng)x變化時(shí)，f (x)的正負(fù)如下表： x(, ) 3 aa 3 (，a) 3 a a(a,) f (x) 因此，函數(shù)f (x)在x a 00 aa4 3 處取得極小值f ()，且f ()a； 33327 函數(shù)f (x)在x a處取得極大值f (a)，且f (a) 0 【名師指引】求極值問題嚴(yán)格按解題步驟進(jìn)行。 例 3. ( (廣東省深圳外國語學(xué)校廣東省深圳外國語學(xué)校 20XX20XX 屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測屆高三上學(xué)期第二次統(tǒng)測) )已知函數(shù)f (x) xlnx. （）求f (x)的最小

39、值； （）若對(duì)所有x 1都有f (x) ax 1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 【解題思路】先求極值再求端點(diǎn)值,比較求出最大(小)值.當(dāng)區(qū)間只有一個(gè)極大(小)值時(shí),該值就是最大(小)值 解析：解析：f (x)的定義域?yàn)?0，+)， 1 分 f (x)的導(dǎo)數(shù)f (x) 1ln x. 3 分 11 ；令f (x) 0，解得0 x . ee 1 1 從而f (x)在0，單調(diào)遞減，在 ，+單調(diào)遞增. 5 分 e e 11 所以，當(dāng)x 時(shí)，f (x)取得最小值. 6 分 ee （）解法一：解法一：令g(x) f (x)(ax1)，則g(x) f (x)a 1aln x，8 分 若a 1，當(dāng)x 1時(shí)，g(x) 1

40、aln x 1a 0， 故g(x)在(1 ，+)上為增函數(shù)， 所以，x 1時(shí)，g(x) g(1)1a 0，即f (x) ax 1. 10 分 a1 若a 1，方程g(x) 0的根為 x 0 e ， 此時(shí)，若x(1 ，x0)，則g(x) 0，故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù). 令f (x) 0，解得x 所以x(1 ，x0)時(shí)，g(x) g(1)1a 0， 即f (x) ax 1，與題設(shè)f (x) ax 1相矛盾.13 分 綜上，滿足條件的a的取值范圍是(， 1.14 分 解法二：解法二：依題意，得f (x) ax 1在1 ， )上恒成立， 1 ， )恒成立 . 8 分對(duì)于x1 x 11 1 1 1 令

41、g(x) ln x，則g(x) 2 1. 10 分 xxxxx 1 1 當(dāng)x 1時(shí)，因?yàn)間(x) 1 0， xx ， )上的增函數(shù)， 所以g(x)的最小值是g(1)1， 13 分故g(x)是(1 1. 14 分所以a的取值范圍是(， 即不等式a lnx 【名師指引】求函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a,b上的最大值（或最小值）的步驟：求f (x)在a,b內(nèi)的極大（?。┲担?將極大（?。┲蹬c端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，其中較大者的一個(gè)是最大者，較小的一個(gè)是最小者 題型 2.已知函數(shù)的極值和最大(小)值，求參數(shù)的值或取值范圍。 例 3 （廣東省六校 20XX 屆高三第二次聯(lián)考） 已知函數(shù)f x x ax bxc

42、 圖像上的點(diǎn)P1,2處的切線方程為y 3x1 32 （1）若函數(shù)f x在x 2時(shí)有極值，求 fx的表達(dá)式 （2）函數(shù)f x在區(qū)間2,0上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍 【解題思路】求函數(shù)的解析式一般用待定系法法，求參數(shù)的取值范圍一般需建立關(guān)于參數(shù)的不等式（組） 解析：f x 3x22axb， -2分 因?yàn)楹瘮?shù)f x在x 1處的切線斜率為-3， 所以f 1 32ab 3，即2ab 0 ，-3分 又f 1 1abc 2得abc 1。-4分 （1）函數(shù)f x在x 2時(shí)有極值，所以 f 2 124ab 0，-5 分 解得a 2,b 4,c 3，-7分 所以f x x 2x 4x3 -8分 32 （2）

43、因?yàn)楹瘮?shù)f x在區(qū)間2,0上單調(diào)遞增，所以導(dǎo)函數(shù) fx 3x2bxb 在區(qū)間2,0上的值恒大于或等于零，-10分 則 f 2 122bb 0, 得b4，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為4,-14 分 f 0 b 0, 【名師指引】已知f (x)在x x0處有極值，等價(jià)于f (x) 0。 【新題導(dǎo)練】 4y x 2x3在區(qū)間a,2上的最大值為 A. 2 3 2 B. 1 2 15 ，則a=（） 4 113 C. D.或 222 15151 ，解之a(chǎn) 或a 1且在x a時(shí)，y 最大 a22a3 ， 442 解析：選 B Q y (x1)2 4在a,2上的最大值為 31 a （舍去） ，a 選 B. 22 5

44、f (x) x 3x 2在區(qū)間1,1上的最大值是 A2B0C2D4 2 解析f (x) 3x 6x 3x(x2)，令f (x) 0可得x 0或2（2 舍去） ，當(dāng)1 x 0時(shí)，f (x)0，當(dāng)0 x 1 32 時(shí)，f (x)0，所以當(dāng)x 0時(shí)，f（x）取得最大值為 2.選 C 6已知函數(shù)f (x) ax cxd(a 0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 1時(shí)f (x)取得極值2. （1）求f (x)的單調(diào)區(qū)間和極大值； （2）證明對(duì)任意x 1,x2 (1,1),不等式| f (x 1) f (x2 )| 4恒成立. 解析（1）由奇函數(shù)定義，有f (x) f (x),xR.即 ax cxd ax cxd,d

45、 0.因此， 33 3 f (x) ax3cx,f (x) 3ax2c. 由條件f (1) 2為f (x)的極值，必有f (1) 0, 故 ac 2 3ac 0 ,解得a 1,c 3. 因此f (x) x33x, f (x) 3x23 3(x1)(x1),f (1) f (1) 0. 當(dāng)x(,1)時(shí)，f (x) 0，故f (x)在單調(diào)區(qū)間(,1)上是增函數(shù). 當(dāng)x(1,1)時(shí)，f (x) 0，故f (x)在單調(diào)區(qū)間(1,1)上是減函數(shù). 當(dāng)x(1,)時(shí)，f (x) 0，故f (x)在單調(diào)區(qū)間(1,)上是增函數(shù). 所以，f (x)在x 1處取得極大值，極大值為f (1) 2. （2）由(1)知，

46、f (x) x33x(x1,1)是減函數(shù)，且 f (x)在1,1上的最大值為M f (1) 2,最小值為m f (1) 2. 所以，對(duì)任意x 1,x2 (1,1),恒有| f (x 1) f (x2 )| M m 2(2) 4. 方法技巧善于用函數(shù)思想不等式問題,如本題| f (x 1) f (x2 )| f (x) max f (x) min . 搶搶 分分 頻頻 道道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練 1 1 （廣東省六校 20XX 屆高三第二次聯(lián)考試卷） y 函數(shù)f (x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a,b) y=f(x) 數(shù)f (x)在(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)共有（） b a

47、 ox A1 個(gè) B2 個(gè) C 3 個(gè) 解析：觀察圖象可知，只有一處是先減后增的，選解析：觀察圖象可知，只有一處是先減后增的，選 A A 2 2 、函數(shù)y 13x x3有（） A. 極小值1，極大值 1B. 極小值2，極大值 3 C. 極小值2，極大值 2D. 極小值1，極大值 3 內(nèi)的圖象如圖所示，則函 D 4 個(gè) 解析：y 33x 3(1 x)(1 x)，令y 0得x 1, 2x 1 當(dāng)x 1時(shí)，y 0；當(dāng)1 x 1時(shí)，y 0；當(dāng)x 1，y 0 x 1時(shí)，y 極小 1，當(dāng)x 1y 極大 3，故選 D. D.0 3 3函數(shù) y=f(x)=lnxx,在區(qū)間(0,e上的最大值為 A.1eB.1C

48、.e 解析：y= 1 1,令 y=0,即 x=1,在(0，e上列表如下： x x(0,1)1 +0y y增函數(shù)極大值1 由于 f(e)=1e,而11e,從而 y最大=f(1)=1. 答案：B (1,e) 減函數(shù) e 1e 4 4( (廣東深圳外國語學(xué)校廣東深圳外國語學(xué)校 2008200820092009 學(xué)年高三第二次月考學(xué)年高三第二次月考) )若a 1，求函數(shù)f (x) 調(diào)區(qū)間. 解析f (x) x ln(x a)(x(0,)的單 1 2 x 1 1 , x a 1 2 x x a 4x (x a)2, x a 令f (x) 0,得 2 x f (x) 0 x2 (2a 4)x a2 0,

49、同樣, f (x) 0 x2(2a 4)x a2 0, 22 (2a 4) 4a 16(1a), （當(dāng)a.1 時(shí)，對(duì) x（0，+）恒有f (x)0，當(dāng)a.1 時(shí)，f(x)在（0，+）上為增函數(shù)； 5 5 （汕頭市金山中學(xué) 20XX 屆高三上學(xué)期 11 月月考）已知函數(shù)f（x）=ax+3xx+1，問是否存在實(shí)數(shù) a，使得f（x） 在（0，4）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的范圍；若不存在，說明理由。 2 解： f （x）=3ax+6x1. 要使 f（x）在0，4遞減，則當(dāng) x（0，4）時(shí)， f （x）0。 32 a 0 a 0 f (0) 0 a 0 或 f (0) 0或f (4) 0，解得a3.

50、0 f (4) 0 1 4或 1 0 aa 綜合拔高訓(xùn)練綜合拔高訓(xùn)練 6 （東莞高級(jí)中學(xué) 20XX 屆高三上學(xué)期 11 月教學(xué)監(jiān)控測試）已知函數(shù)f(x)=ax +bx 3x 在 x=1 處取得極值. （）求函數(shù) f(x)的解析式； （）求證：對(duì)于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4； （）若過點(diǎn) A（1，m） （m2）可作曲線 y=f(x)的三條切線，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍. 解： （I）f(x)=3ax +2bx3，依題意，f(1)=f(1)=0， 2 32 即 3a 2b 3 0, 2 分 3a 2b 3 0 解得 a=1，b=0. f(x)=x 3x.4

51、 分 （II）f(x)=x 3x,f(x)=3x 3=3(x+1)(x1)， 當(dāng)1x1 時(shí)，f(x)0，故 f(x)在區(qū)間1，1上為減函數(shù)， fmax(x)=f(1)=2，fmin(x)=f(1)=26 分 對(duì)于區(qū)間1，1上任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2， 都有|f(x1)f(x2)|fmax(x) fmin(x)| |f(x1)f(x2)|fmax(x)fmin(x)|=2(2)=48 分 （III）f(x)=3x 3=3(x+1)(x1)， 曲線方程為 y=x 3x，點(diǎn) A（1，m）不在曲線上. 3 設(shè)切點(diǎn)為 M（x0，y0） ，則點(diǎn) M 的坐標(biāo)滿足y 0 x 0 3x 0 . 2 因f

52、(x0) 3(x01)，故切線的斜率為 3 2 32 3 3x 0 3x 0 m ，3(x 1) x 0 1 2 0 32 整理得2x03x0 m 3 0. 過點(diǎn) A（1，m）可作曲線的三條切線， 32 關(guān)于x0方程2x03x0 m 3=0 有三個(gè)實(shí)根.10 分 322 設(shè) g(x0)=2x03x0 m 3，則 g(x0)=6x0 6x0， 由 g(x0)=0，得x0=0 或x0=1. g(x0)在（，0） ， （1，+）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減. 32 函數(shù) g(x0)=2x03x0 m 3的極值點(diǎn)為 x0=0，x0=112 分 32 關(guān)于 x0方程2x03x0 m 3=0 有三個(gè)

53、實(shí)根的充要條件是 g(0) 0 ，解得3m2. g(1) 0 故所求的實(shí)數(shù) a 的取值范圍是3m2.14 分 7 （廣東省北江中學(xué) 20XX 屆高三上學(xué)期 12 月月考 ） 已知f (x) ax ln x,x(0,e,g(x) ln x ，其中e是自然常數(shù)，aR. x （）討論a 1時(shí), f (x)的單調(diào)性、極值； （）求證：在（）的條件下，f (x) g(x) 1 ; 2 （）是否存在實(shí)數(shù)a，使f (x)的最小值是 3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由. 解： （）f (x) x ln x，f (x) 1 / 1x 1 1 分 xx 當(dāng)0 x 1時(shí)，f (x) 0，此時(shí)f (x)單調(diào)遞

54、減 當(dāng)1 x e時(shí)，f (x) 0，此時(shí)f (x)單調(diào)遞增3 分 f (x)的極小值為f (1) 14 分 （）f (x)的極小值為 1，即f (x)在(0,e上的最小值為 1， f (x) 0，f (x)min15 分 令h(x) g(x) / 1ln x11ln x ，6 分，h(x) 2x2x 當(dāng)0 x e時(shí)，h(x) 0，h(x)在(0,e上單調(diào)遞增7 分 h(x) max h(e) 1111 1| f (x)| min e222 1 9 分 2 在（1）的條件下，f (x) g(x) （）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f (x) ax ln x（x(0,e）有最小值 3， f/(x) a 1ax

55、 1 9 分 xx 4 （舍去） ，所以，此時(shí)f (x)無最小 e 當(dāng)a 0時(shí)，f (x)在(0,e上單調(diào)遞減，f (x) min f (e) ae 1 3 ，a 值.10 分 當(dāng)0 111 e時(shí)，f (x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(,e上單調(diào)遞增 aaa 1 f (x) min f ( ) 1 lna 3，a e2，滿足條件. 11 分 a 當(dāng) 14 ，所以，此時(shí)f (x)無最小 e時(shí)，f (x)在(0,e上單調(diào)遞減，f (x) min f (e) ae 1 3 ，a （舍去） ae 2 值.綜上，存在實(shí)數(shù)a e，使得當(dāng)x(0,e時(shí)f (x)有最小值 3. 8(潮南區(qū) 0809 學(xué)年度第一學(xué)

56、期期末高三級(jí)質(zhì)檢)已知函數(shù)f (x) (1) 求 f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2) 證明：lnx0，f(x)在(0,)上遞增 x 1 aln x（aR） 1ax2a x1 2 x1x2x x1 222 當(dāng)a 0時(shí)，令x 2a x1得x 4a x4a 0解得： ，故在(0,2a22a a21)上f (x)0，f(x)遞增. （2）由（1）知g(x) x1ln x在(0,2 2 2)內(nèi)遞減，在(2 2 2, )內(nèi)遞增. g(x)min g(22 2) 12 ln(22 2) 故 x1ln x 12 ln(2 2 2)，又因22 2 5 e2 2 1 0，得x1 ln x 2 故1 2 ln(2 2 2

57、) 12 lne 第 3 講 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 知知 識(shí)識(shí) 梳理梳理 利用導(dǎo)數(shù)解決生活、生產(chǎn)優(yōu)化問題，其解題思路是： 優(yōu)化問題函數(shù)模型 優(yōu)化問題的解 解決數(shù)學(xué)問題 重重 難難 點(diǎn)點(diǎn) 突突 破破 1.1.重點(diǎn)重點(diǎn)：利用于數(shù)學(xué)知識(shí)建立函數(shù)模型，借助于導(dǎo)數(shù)解決最優(yōu)化問題。 2.2.難點(diǎn)：難點(diǎn)：建模的過程 3.重難點(diǎn)：重難點(diǎn)：認(rèn)真審題，建立數(shù)學(xué)模型，解決與函數(shù)有關(guān)的最優(yōu)化問題. （1）關(guān)注由導(dǎo)數(shù)的定義和物理意義處理實(shí)際應(yīng)用問題 問題 1：路燈距地平面為8m,一個(gè)身高為1.6m的人以84m/min的速率在地面上行走，從路燈在地平面上射影點(diǎn)C，沿 某直線離開路燈，求人影長度的變化速率v. 點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)的物理意義解決 設(shè)路燈距地平面的距離為DC，人的身高為EB.設(shè)人從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B處路程為x米，時(shí)間為t(單位：秒)，AB