1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,我們知道，如果了解了隨機(jī)變量 X 的概率分布，那么 X 的全部概率特征也就知道了。,然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的。而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了。,1 . 數(shù)學(xué)期望,引例 曾有人用20枚簽（其中10枚標(biāo)有5分分值，10枚標(biāo)有10分分值）設(shè)賭。讓游客從中抽出10枚，以10 枚簽的分值總和為獎(jiǎng)、罰依 據(jù)。具體獎(jiǎng)罰金額見下表:,這些獎(jiǎng)是不是這么好拿呢？讓我們來(lái)做一番計(jì)算。,100元,10元,不獎(jiǎng)不罰,罰1元,用X 表示獎(jiǎng)罰金額,X 的取值范圍為 -1、0、10、100,我們來(lái)分別計(jì)算X取以上4個(gè)值

2、的概率：,首先從20枚簽中抽取10枚的取法共有 種。,抽到這些結(jié)果的將分別有:,如果抽到5個(gè)5分簽，5個(gè)10分簽，我們將得到75分；,而抽到6個(gè)5分簽，4個(gè)10分簽時(shí), 將得到70分；,抽到4個(gè)5分簽，6個(gè)10分簽時(shí)，將得到80分。,種情況。,所以“罰一元”的概率為:,再看看得到大獎(jiǎng)100元的概率有多大？,只有抽到10個(gè)5分簽，得到50分時(shí)，或抽到10個(gè)10分簽得到100分時(shí)，才能得到100元的大獎(jiǎng)。而這樣的取法只有 2 種情況。于是便有：,類似地，可以得到：,X 的概率分布為：,如何計(jì)算平均值？,例: 某班考試得分如下:,類 比,設(shè)想上表中的第二行不是相應(yīng),的概率值，而是n次試驗(yàn)相應(yīng)的頻率值

3、。那么在這 n 次試驗(yàn)中，X 的實(shí)際平均值為：,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越大時(shí)，頻率將穩(wěn)定于概率。而事實(shí)上，上表中的第二行正是相應(yīng)的概率值，所以，上式算出的不是n 次試驗(yàn)中 X 的實(shí)際平均值，而是：如果把試驗(yàn)一直進(jìn)行下去，我們期望能得到的理論上的平均值。數(shù)學(xué)上稱之為數(shù)學(xué)期望（expectation），記為EX。,定義1 設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率分布為： P( X = Xk ) = pk , k = 1, 2, ,定義2 設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為 f (x),如果 有限，定義X的數(shù)學(xué)期望為：,數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計(jì)意義,例 設(shè) X U( a , b ) ,求 EX,解：,例 設(shè) X b ( 1,

4、p ) ,求 EX,解：,例 在一個(gè)人數(shù)（N ) 很多的團(tuán)體里普查某種疾病。 如果檢驗(yàn)陽(yáng)性率 p 較低，用下面這種方法進(jìn)行驗(yàn)血是否可以減少化驗(yàn)次數(shù)： 按 k 個(gè)人一組進(jìn)行分組, 把從k 個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn)。如果這混合血液呈陰性反應(yīng)，就說(shuō)明 k 個(gè)人的血都呈陰性反應(yīng)。若呈陽(yáng)性，則再對(duì)這 k 個(gè)人的血分別進(jìn)行化驗(yàn)。,如果這種方法進(jìn)行驗(yàn)血可以減少化驗(yàn)次數(shù)的話，那么 k 等于幾時(shí)，可以使檢驗(yàn)次數(shù)最少？,以X 表示某人的驗(yàn)血次數(shù)。 若按常規(guī)方法驗(yàn)血，X=1為常數(shù)；,若進(jìn)行分組，則 X 為隨機(jī)變量：,當(dāng)此人所在小組的混合血液呈陰性反應(yīng)時(shí) X=1/k ；,當(dāng)此人所在小組的混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng)時(shí) X

5、=1+1/k 。,PX=1/k=P該小組的混合血液呈陰性反應(yīng),=P小組的每一位成員的血液均呈陰性反應(yīng),=（1-p）k,PX=1+1/k=P該小組的混合血液呈陽(yáng)性反應(yīng),=P小組中至少有一位成員的血液呈陽(yáng)性反應(yīng),=1-（1-p）k,X的概率分布為：,平均驗(yàn)血次數(shù),EX= 1/k*（1-p）k+(1+1/k )*( 1-（1-p）k),=1-（1-p）k+1/k,當(dāng) p已知時(shí)，我們可以選取 k 使之最小。,例如 p=0.1，當(dāng) k = 4時(shí)，EX=1-0.9 k+1/4=0.594。,合理驗(yàn)血問題,1000人所需的平均驗(yàn)血次數(shù)為： n=1000* 0.594= 594次,隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,問題

6、的提出：,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？,一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái). 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計(jì)算出來(lái)。,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù) g(X) 的分布，一般是比較復(fù)雜的。,另一種方法是不求 g( X ) 的分布而只根據(jù) X 的分布求得 E g (X ) 。,基本公式:,設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，Y = g ( X )，則：,公式的推廣：,設(shè) Z 是連續(xù)型隨機(jī)變量 X, Y 的函數(shù) Z = g( X,Y

7、)，（g 為連續(xù)函數(shù)），則有：,設(shè) Z 是離散型型隨機(jī)變量 X, Y 的函數(shù) Z = g( X,Y )，（g 為連續(xù)函數(shù)），則有：,例 設(shè)風(fēng)速 V 在 （ 0 , a ） 服從均勻分布。,機(jī)翼上受到的壓力 W=kV2 ( k0 為常數(shù)）。,求 EW,解：,例 設(shè)隨機(jī)變量 ( X , Y )的概率密度為：,解：,數(shù)學(xué)期望的基本性質(zhì),設(shè) C 是常數(shù)，則 E (C ) = C;,若 k 是常數(shù)，則 E( kX)= k E(X);,E ( X1+X2 ) = E ( X1 ) + E ( X2 ) ;,設(shè) X、Y 獨(dú)立，則 E ( XY ) = E (X) E (Y) ;,例 民航送客車,解： 設(shè)停車

8、次數(shù)為 X,i = 1, 2，10,則 X= X1+X2+X10,EX= EX1+EX2+EX10,P( Xi = 0 ) =,P(Xi =1) = 1- ( 9/10 )20,( 9/10 )20,=8.784 （次）,例 求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望,X B( n, p )，求 EX,解：X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)。,則 X= X1+X2+Xn,i=1,2，n,E(X) =,因?yàn)?P Xi =1 = p,P Xi =0 = 1- p,= np,可見，服從參數(shù)為 n 和 p 的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望是np.,2 . 方差,上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取

9、值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征。,但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的。,例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：,測(cè)量結(jié)果的均值都是 a,較好,你認(rèn)為哪臺(tái)儀器較好一些呢？,因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近,又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：,甲炮射擊結(jié)果,乙炮射擊結(jié)果,你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?,因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近 .,為此需要引進(jìn)另一個(gè)數(shù)字特征,用它來(lái)度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.,這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的,方差,方差的定義,設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，

10、若E(X-E(X)2，則稱：,D(X) = E ( X - EX )2 ( 1 ),為X的方差。,方差的算術(shù)平方根 稱為標(biāo)準(zhǔn)差,由于它與X具有相同的度量單位，在實(shí)際問題中經(jīng)常使用。,由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù) g ( X ) = X E X 2 的數(shù)學(xué)期望 。,X為離散型， P(X=xk)=pk,X為連續(xù)型， Xf(x),計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式,D( X ) = E ( X 2 ) ( E X )2,證：D(X) = E X - E(X) 2,=E X2 2 X E(X) + E(X) 2 ,= E( X2 ) 2 E(X) 2 + E(X) 2,= E ( X2 ) - E(X) 2,

11、方差的性質(zhì),1. 設(shè)C是常數(shù),則 D ( C ) = 0;,2. 若C是常數(shù),則 D ( CX )= C2 D( X ) ；,3. 若X1與X2 獨(dú)立，則： D ( X1 + X2 ) = D ( X1 ) + D ( X2 ) ;,4. D ( X ) = 0 P X= C=1， 這里 C = E ( X ),例2 二項(xiàng)分布的方差,設(shè) X B( n, p ), 則X表示 n 重貝努里試驗(yàn)中的“成功” 次數(shù)。,EXi = P Xi=1 = p,E ( Xi2 ) = p,故 D( Xi )= E ( Xi2 ) ( EXi ) 2,= p - p2= p ( 1- p ),由于X1 , X2

12、, , Xn 相互獨(dú)立,于是,= np( 1- p ),幾個(gè)重要隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差,二項(xiàng)分布 X B (n, p),特別，當(dāng) n=1 時(shí)， X 服從兩點(diǎn)分布，此時(shí)，EX = p , DX = p(1-p) 。,EX = np ; DX = np( 1-p ),Poisson 分布 X (）,解：,=,=?,均勻分布 X U (a , b ),解：,正態(tài)分布,解：,=,切比雪夫不等式,設(shè)隨機(jī)變量 X 有期望 EX 和方差 ，則對(duì)于 任給 0,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，則事件 |X- EX | 的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大。,例 已知正常男性成人血液中，每

13、一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率 .,解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意，E(X)=7300, D(X)=7002,所求為 P(5200 X 9400),P(5200 X 9400),=P(5200-7300 X-7300 9400-7300),= P(-2100 X-E(X) 2100),= P |X-E(X)| 2100,由切比雪夫不等式,P |X-E(X)| 2100 ,即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在52009400之間的概率不小于8/9 .,3 . 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于多維

14、隨機(jī)變量，反映分量之間關(guān)系的數(shù)字特征中，最重要的，就是本講要討論的,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù),一、協(xié)方差,1.定義：任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov ( X, Y ) , 定義為 ：,Cov( X, Y )= E ( X-EX ) ( Y - EY ) ,2.簡(jiǎn)單性質(zhì), Cov ( X,Y ) = Cov ( Y, X ), Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常數(shù), Cov(X1+X2, Y )= Cov( X1,Y ) + Cov( X2,Y ),3. 計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式,由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得,Cov ( X,Y )=E ( X-EX)(Y- EY

15、 ) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),即,Cov ( X, Y ) = E(XY) -EX EY,可見，若 X 與 Y 獨(dú)立， Cov(X,Y)= 0 .,4. 隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系,= DX+DY+ 2Cov( X, Y ),若 X1, X2, , Xn 兩兩獨(dú)立,，上式化為：,一般地，,協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響. 例如：,Cov( kX, kY )= k2Cov( X,Y ),為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù) 。,二、相關(guān)系數(shù),為

16、隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù) 。,在不致引起混淆時(shí)，記 為 。,相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：,證: 由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知，對(duì)任意實(shí)數(shù)b，有：,D(Y- bX)=,0,=b2DX + DY - 2b Cov ( X,Y ),DY + D(bX) - 2 Cov ( bX,Y ),D(Y- bX)=,0,b2DX + DY - 2b Cov ( X,Y ),D(Y- bX)=,由于方差 DY 是正的,故必有 1- 0,所以 | |1。,2. X和Y獨(dú)立時(shí)， =0，但其逆不真.,由于當(dāng) X 和 Y 獨(dú)立時(shí)，Cov ( X,Y ) = 0.,= 0,請(qǐng)看下例：,例1 設(shè)X服從(-1/2, 1/2)內(nèi)的均勻分布

17、,而 Y = cos X,因而 =0 ，,即 X 和Y 不相關(guān) .,但 Y 與 X 有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即 X 和 Y 不獨(dú)立。,= 0,存在常數(shù)a,b(b0），,使P Y= a+bX =1，,即 X 和Y 以概率 1 線性相關(guān).,4. X Y =0 稱 X，Y 不相關(guān),相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.,相關(guān)系數(shù)的直觀意義,以下幾個(gè)命題等價(jià)：,Cov( X, Y )=0 ；,D( X+Y )=DX+DY ；,E(XY )=EXEY ；,X Y =0 ；,X,Y 不相關(guān) 。,前面，我們已經(jīng)看到：,若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，但由 X 與 Y 不相關(guān)，不一定能推出 X 與Y 獨(dú)立。,但對(duì)

18、下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià),若二維隨機(jī)變量（ X,Y ）具有概率密度：,二維正態(tài)分布,三、 矩、協(xié)方差矩陣,設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，,k階原點(diǎn)矩：,k階中心矩：,k+l 階混合原點(diǎn)矩：,k, l = 1, 2, ,k+l 階混合中心矩：,k, l = 1, 2, ,協(xié)方差矩陣的定義,將二維隨機(jī)變量（X1, X2）的四個(gè)二階中心矩,排成矩陣的形式:,稱此矩陣為（X1, X2）的協(xié)方差矩陣。,類似定義n維隨機(jī)變量 ( X1, X2, , Xn ) 的協(xié)方差矩陣：,稱矩陣：,為 ( X1, X2, , Xn ) 的協(xié)方差矩陣。,下面給出n維正態(tài)分布的概率密度的定義.,設(shè) = ( X1, X2, , Xn ) 是一個(gè)n維隨機(jī)向量,若它的概率密度為：,f ( x1, x2, ,xn ),則稱 X 服從n元正態(tài)分布。,其中C是( X1, X2, ,Xn ) 的協(xié)方差矩陣。,|C|是它的行列式， 表示C的逆矩陣，,X 和 是n維列向量， 表示 X 的轉(zhuǎn)置。,n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì),1. X=(X1,X2, ,Xn)服從n元正態(tài)分布,2. 若 X = ( X1, X2, , Xn ) 服從n元正態(tài)分布，,Y1, Y2, , Yk 是 Xj（j=1,2,n）的線性函數(shù)，,則( Y1,Y2, , Yk )也服從多元正態(tài)分布.,這一性質(zhì)稱為正態(tài)變